Bài Tập Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn ôn thi THPT môn Toán

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu 1.. Lời giải Chọn A Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp..

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Câu 1. Cho

0

ln( 2)

x

A. T13 B. T15 C. T 17 D. T 11

Lời giải Chọn A

Phân tích:

Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản

Ta có:

1 2

1

x

*Tính

1 1 0 ln( 2)

I x x dx

2

dx du

v

 







Khi đó :

1

0

0

1

0

ln 3 ( 2 4 ln 3) 2 ln 2 ln 3 2 ln 2

x

x

 



*Tính

1 2

0 2

x

x





2

1

0

1 2 ln 3 2 ln 2

 

2

1 2

7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7

4 ln 2 ln 3

Ta có a4,b2,c7 Vậy T      a b c 4 2 7 13

0

x



A T13 B T15 C T 10 D T 11

Lời giải Chọn C

Ta có   2 1 2

1

x

x



* Tính 1 3  

0

ln 1 d

I x x x

2

d d

2

x u

x

v x x

v

 







0

3 2

0

x

ln 4 3 ln 4 4 ln 4

* Tính

3

0

d 1

x

x





Đặt 2

ux   u x x

Đổi cận: x  0 u 1;x  3 u 10

Khi đó :

10 10

2

1 1

u

1

x

x



Ta có a5,b2,c3 Vậy T   a b c 10

0

x



A T 18 B T16 C T 18 D T 16

Lời giải Chọn A

0

1

1

x



0

1

x

x



1   1 2

1

x

x



- Đặt 1 1  

0

ln 2 d

I x x x và

1

0

d 1

x

x





+ Tính 1 1  

0

ln 2 d

I x x x Ta đặt  

2

1 d

d

2

v

 









, khi đó ta có:

1 2   1 2

0 0

1

x





1 0



1 2

0

x

1ln 3 1 1 2 4 ln 3 4 ln 2

2 ln 2 3ln 3 3

+ Tính

1

0

d 1

x

x





2 0

1 1

d x x



 



2 0

1

2 x

2

- Khi đó 1 2 2 ln 2 3ln 3 3 1ln 2

3ln 2 3ln 3 3

3.2.ln 2 3.2.ln 3 3

4

3.2.ln 2 2. 3 ln 3  3

4

Ta suy ra:

3 2 3

a b c





 



  



Vậy T a b c 3.2.   3 18

Câu 4. Cho f x là hàm liên tục và   a0 Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f x 0 và

f x f a x  Tính

  0

1 d 1

a

f x





A

3

a

2

a

Lời giải Chọn D

Ta có

  0

1 d 1

a

f x







  0

1

d 1 1

a

x

f a x







0

d 1

a

f a x

x

f a x





 

0

d 1

a

f t

f t

 



0

d 1

a

f x

x

f x







Do đó, ta có

1

a

f x

2

a

I 

Câu 5. Cho f x  à hàm i n tục tr n  0;1 iả sử rằng với mọi x 0;1 , ta có f x 0và

   1  4

f x f x  T nh

  1

02

dx

f x



1

4

Lời giải Chọn D

Ta có

       

1

dx



Đặt t    1 x dt dx, đổi cận : x  0 t 1; x  1 t 0

 

 

       

1 2 2 0 2 2

       

2

f x dx

Câu 6. Cho hàm số f x  liên tục trên và     2

3f  x 2f x tan x Tính 4  

4

d

f x x







A 1

2



2

 

4



2





Lời giải Chọn D

Theo đề bài, ta có     2

3f  x 2f x tan x  1 Thay x bởi  x ta được:     2  2

3f x 2f  x tan  x tan x  2

Từ  1 và  2 suy ra:   2

tan

f x  x

 

0

2

2

1

cos

x

2 0

x x

Câu 7. Biết

0

.ln

x

e m e n e Với m n p, , là các số nguy n dương

Tính tổng S m n p

Lời giải Chọn A

Ta có:

3

0

.2

1 0

e

Vậy

4

1

m

p

Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa

1 2 0

x f x dx và

2f 1 f 1 2 Tính

1 0

f x dx

Lời giải Chọn D

Đặt

2

2

du xdx

u x

v f x

1 1 2

0 0

I x f x x f x dx

dv f x dx v f x Suy ra

1 0

2 x f x dx 2 x f x 2f x dx

Do đó

12 f 1 2f 1 2 f x dx f x dx 5

Câu 9. Cho hàm số thỏa mãn ∫ và Tính ∫

Lời giải Chọn A

Áp dụng phương pháp t nh t ch phân từng phần

Từ giả thiết đề cho, Đặt { {

Khi đó:

∫ ∫

Suy ra ∫

Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên   và thỏa mãn f   x 2018f x xsin x Tính

  2

2

I f x dx





 

A 2

1

1

1

2018

Lời giải Chọn A

Đặt t    x dt dx

x  t 

x  t 





     

2019.I f x dx 2018 f x dx xsinxdx 2

2 2019

I

 

Câu 11. Cho hàm số f x xác định trên khoảng   0;  \ e thỏa mãn    1 

ln 1

f x

 

 , 2

1

ln 6

f

e

  

 

  và  2

3

f e  Giá trị của biểu thức 1  3

e

  

 

A 3 ln 2 1   B 2 ln 2 C 3ln 2 1 D ln 2 3

Lời giải Chọn A

ln ln 1

d x





 Trường hợp 1: lnx  1 0 lnx  1 x e

  ln ln 1 1

1

f e  C   f x ln ln x 1 3

  3 3 

ln ln 1 3 3 ln 2

 Trường hợp 2: lnx  1 0 lnx   1 0 x e

  ln 1 ln  2

    , f 12 ln 6 ln 3 C2 ln 6 C2 ln 6 ln 3 ln 2

e

 

  ln 1 ln  ln 2

ln 1 ln ln 2 2 ln 2

f

     

2ln 2 3 ln 2 3 ln 2 1

e

 

Câu 12 Cho hàm số   3 2

y f x ax bx  cx d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng đồ thị hàm số y f x  tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là

A 4 B 1 C 2 D 4

Lời giải Chọn A

Ta có f x ax x 2 mà

f      a f x  x  x f x  f x dxx  x C

Gọi x à hoành độ tiếp điểm 0 x0 0 suy ra  

0

4 0

f x x x C

f x



     

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4

Câu 13 Cho y f x  là hàm số chẵn, liên tục trên Biết đồ thị hàm số y f x đi qua điểm

1

; 4 2

M 

  và  

1 2 0

3

f t dt

6

sin 2 x f sinx dx





A I 10 B. I  2 C I 1 D I  1

Lời giải Chọn B

Đặt sin x t ; đổi cận 1; 0 0

x     t x  t

1

sin 2 sin 2

Đặt

f t dt dv f t v

1 1 2 2





 

y f x là hàm số chẵn:    

1

2

2f t dt 2f t dt 2.3 6



Đồ thị hàm số y f x đi qua điểm 1; 4

2

M 

 :

1 4 2

f  

 

 

 

1 2

   



Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn      

1

f x f x dx

 và f  1 1, f  2 1 Giá trị của f  2 bằng

A f  2 2 B f  2 3 C f  2 e D   2

2

f e

Lời giải Chọn C

 

ln

dv f x dx









 

 

 

f x

f x

v f x









 

 



Khi đó, 2         2 2  

1

f x f x dx f x f x   f x dx

           

1 f 2 ln f 2 f 1 ln f 1 f 2 f 1

 

     

1 1

f



 

 

2 1

f

f



    f  2 e

Câu 15. Cho hàm số f x thỏa mãn   2  

0

f x x

 và f  2 2 Tính 4  

0

d

f x x

Lời giải Chọn A

Xét tích phân 4  

0

d

f x x

d 2 t

x    t x t x td Đổi cận: Khi x  4 t 2; Khi x0 thì t0

I  f x x tf t t

Đặt

dt=dv

0

I  f x x tf t t tf t   f t t

2 0

4f 2 2 f x dx 4.2 2.3 2

Câu 16. Cho hàm số y f x  liên tục trên và thỏa f 4x f x  Biết 3  

1

xf x x

Tính 3  

1 d

f x x

A 5

7

9

11

2

Lời giải

Chọn A

5xf x xd xf 4x xd

Đặt

4

4

1; 3 3; 1

x

xf x x  t f t x t f t x f t t tf t t

5

2

1

5 d 2

f x x

Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên    0;1 và thỏa mãn 1    

0

x f  x   x f

trị của 1  

0 d

I f x x bằng

Lời giải Chọn C

Đặt

 

u x





    

2

u x

v f x x





0

f x f  x   xx f x  x f x  x x f   I Suy ra I  1

Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn

1 0

x f x x f Giá trị

của

1 0 d

I f x x bằng

Lời giải

Chọn B

4

v f x x

0

f x f  x   xx f x  x f x  x x f   I Suy ra I 2

Câu 19. Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa

1 0

x f x x và 2 1f f 0 2 Tính

1 0

d

I f x x

Lời giải Chọn D

d

dv f x x v f x

Khi đó

0

Suy ra I 8

Câu 20. Biết rằng hàm sốy f x liên tục trên ( ) thỏa   2  

0

2 16;  4

0 2





I xf x dx

A.I 13 B.I 12 C.I 20 D.I7

Lời giải Chọn D

Đặt

2







du dx

u x

dv f x dx v f x

0



0 2



A f x dx.

t x dt x A f x dx f t dt f x dx

2

Câu 21. Cho hàm số f x   liên tục tr n đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện

f x  f x  x  x  x Tính 1  

2 0

1

I  f x dx

15

I  B I 1 C 2

15

I   D 2

15

I 

Lời giải Chọn C

Đặt t   1 x, x  0;1  t  0;1

f x  f x  x  x f x  f x  x 

Ta có hệ phương trình

   

   

   

   

Khi đó  2  2 2 2 4 2

f x  x  x  x  x 

2

15

I  f x dx x  x  dx 

Câu 22. Cho hàm số y f x  liên tục với mọi x1 thỏa mãn 1 3, 1

1

x

x



  

  1 2

e

I f x dx



A I 4e1 B I  e 2 C I 4e2 D I e 3

Lời giải Chọn C

3 4

t

f t



4 1

f x

x

 



2 2

2

1

e

e

x



Câu 23. Cho hàm số y f x  liên tục với mọi x0thỏa mãn   1

x

 

 

2

1 2

f x

x

A 3

2

2

2

3

I 

Lời giải Chọn A

x

 

 

1 , 2 3 f x f

    

 

  1 1  

3

 

      2

x

   

 

2

2

2 2

f x

          