Dao động dao động tắt dần

Hiện tượng Một vật thực hiện quá trình dao động điều hoà là một quá trình lý tưởng, thực tế bất cứ một vật dao động cơ học nào khi xảy ra trong môi trường cũng chịu tác dụng của lực cản

DAO ĐỘNG TẮT DẦN

I Hiện tượng

Một vật thực hiện quá trình dao động điều hoà là một quá trình lý tưởng, thực tế bất cứ một vật dao động cơ học nào khi xảy ra trong môi trường cũng chịu tác dụng của lực cản mà kết quả làm

cho vật dao động với biên độ giảm dần Dao động như vậy gọi là dao động tắt dần

II Nguyên nhân

Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ Năng lượng tiêu hao dưới dạng nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động

III Bài toán ma sát khô

1 Phương trình động lực học của chuyển động của vật nặng

Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia

cố định Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ

mx" = −kx ± μmg Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu (−) trong khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox

2 Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động

Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia

cố định Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ

Ban đầu vật ở VTCB O Dùng tay kéo vật sao cho lò xo dãn A Vật đi từ biên dương vào, nhưng bây giờ vậy chịu tác dụng của lực ma sát Fms= μmg

Vị trí cân bằng là nơi sao cho ∑ F⃗ = 0 Gọi vị trí đó là vị trí sao cho độ biến dạng lò xo là x0 thì:

kx0 = μmg → x0 = μmg

k

Ta có 2 vị trí cân bằng mới là O1 và O2 tương ứng với các

li độ x0 và −x0

Xét chi tiết chuyển động:

+ Ban đầu vật ở vị trí +A

+ Vật chuyển động hướng tới VTCB, và sẽ lấy O1 làm VTCB mới

+ Sau khi qua O1, vật sang “bên kia”, và dừng lại tại vị trí A1, với A1 đối xứng với A qua O1 (tại sao ?)

A

O O1 = x0

O2

Fms

Fms

Fms

Fđh

Fđh

Fđh

OA1 = ?

+ Bây giờ, vật đang ở O1, chuyển động về phía O Khi chuyển động như thế này, vật lấy O2 làm VTCB mới Và vật sẽ chuyển động đến vị trí A2 với A2 đối xứng với A1 qua O2

OA2 = ?

+ Tương tự như trên, vật lại chuyển động từ A2 sang A3 với A3 đối xứng với A2 qua O1

+ Điều kiện để vật dừng lại là lực kéo về (lực đàn hồi nếu lò xo nằm ngang) nhỏ hơn lực ma sát

nghỉ (vật dừng lại nên không phải là ma sát, mà là ma sát nghỉ)

k|x| ≤ μmg → |x| ≤ x0 Vật sẽ dừng lại khi vị trí biên độ An nằm trong khoảng O1O2

* Nhận xét: Cứ sau mỗi nửa chu kì, ‘biên độ’ lại giảm đi một lượng là 2x0, hay nói cách khác, vật

‘tiến lại gần O’ một khoảng là 𝟐𝐱𝟎

Bài tập

- Tính vận tốc tại một vị trí nào đó

- Tìm vị trí dừng lại sau cùng

- Tìm số lần dao động

- Tìm quãng đường mà vật đi được cho đến khi dừng hẳn

Cách xử lý:

- Tìm vận tốc tại một vị trí nào đó: Sử dụng định lý bảo toàn năng lượng: Luôn đúng

Ví dụ 1 Cho vật nặng m, móc vào lò xo có độ cứng k, dao động với hệ số ma sát μ Ban đầu kéo vật

ra khỏi VTCB O một đoạn A rồi buông tay Hỏi vật có vận tốc cực đại tại vị trí nào?

Giải

+ Trong quá trình di chuyển, lực ma sát gây ra công âm Ams= −μmgs, càng di chuyển nhiều, vật càng mất năng lượng

+ Ta đã biết, nếu vật dao động không có ma sát, thì vận tốc cực đại tại VTCB Nhưng ở đây có các vị trí là O, O , O :

A

• •

A A1

A − x0

A − x0

A

•

•

A A1

A − 3x0

A − 3x0

•

A2

A

• •

O O1

A

A − x0

nhiều năng lượng

Tại O1, ta gọi là VTCB mới, nhưng lò xo đang dãn một đoạn x0 =μmgk , nên động năng chỉ là ‘một phần’ của cơ năng

Tại O, tuy rằng lò xo không biến dạng, không có thế năng, nhưng cơ năng tại O lại nhỏ hơn O1 Vậy bây giờ ta sẽ đi tính vận tốc tại O và O1:

+ Tại O:

1

2mvO2 =

1

2kA2 − μmgA → 𝐯𝐎𝟐 =

𝐤

𝐦𝐀𝟐− 𝟐𝛍𝐠𝐀 + Tại O1:

1

2mvO12 +

1

2kx02 =

1

2kA2− μmg(A − x0)

vO12 = k

mA2−

k

mx02− 2μg(A − x0) = [mk (A + x0) − 2μg] (A − x0) Lại có x0 =μmgk →mkx0 = μg

→ vO12 = (k

mA − μg) (A − x0) = 𝐤

𝐦(𝐀 − 𝐱𝟎)𝟐

So sánh:

vO12 − vO2 = k

m(A − x0)2− k

mA2+ 2μgA = −

2k

mAx0+

k2

m2x02+ 2μgA = k2

m2x02 > 0 Vậy, vận tốc tại O1 lớn hơn, trong toàn bộ quá trình dao động tắt dần, vật đạt tốc độ cực đại tại O1, lần đầu tiên

Tương tự, nếu yêu cầu tính tại một vị trí bất kì: Sử dụng bảo toàn năng lượng

- Tìm vị trí dừng lại sau cùng

- Tìm số lần dao động

- Tìm quãng đường mà vật đi được cho đến khi dừng hẳn

Cách xử lý: Đếm, hơi lâu nhưng luôn đúng

Ví dụ 2 Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang Ban đầu kéo vật đến vị trí lò xo bị

dãn 9,5cm và thả ra thì sau khi đi được quãng đường 8,5cm; vật đạt tốc độ cực đại là 85 cm/s Bỏ qua lực cản không khí tác dụng vào vật

a) Tính quãng đường vật chuyển động từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại

b) Tính thời gian chuyển động của vật

Giải

Ta thấy kéo lò xo dãn 9,5cm nhưng đi được 8,5cm vật

đã đạt tốc độ cực đại → Dao động tắt dần

A = 9,5cm; x0 = 9,5 − 8,5 = 1cm

A

• •

O O1

A

A − x0

Lại có vmax = √mk(A − x0)2 = 85 cm/s → T = 2π√mk = 0,2π s

a) Vẽ mỗi lần dao động, nhớ là phải lấy đối xứng qua O1 và O2:

Điểm dừng cuối cùng là điểm F

Tổng quãng đường vật đi được là:

s = 2(8,5 + 6,5 + 4,5 + 2,5 + 0,5) = 45cm b) Vật đi được 5 nửa chu kì (3 lượt đi 2 lượt về) nên

t =5T

2 =

5.0,2π

2 = 0,5π s

Ví dụ 3 Chứng minh biên độ dao động tắt dần giảm theo cấp số cộng, với trường hợp con lắc lò xo

nằm ngang, hệ số ma sát là μ

Giải Gọi ΔA là độ giảm biên độ sau mỗi lần đi qua VTCB lần thứ i thì

ΔA = Ai− Ai+1

Độ giảm cơ năng trước và sau là do công của lực ma sát:

1

2kA2i −

1

2kA2i+1 = |Ams| = μmgs với s = Ai+ Ai+1

Biến đổi ta được:

ΔA = Ai− Ai+1= 2μmg

k = const Như vậy, sau mỗi nửa chu kì, biên độ giảm một lượng là 2μmgk = 2x0, biên độ giảm theo cấp số cộng với công sai là

Số lần vật dao động:

n = N

2 =

A0 ΔA

Ví dụ 4 Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả đến lúc vật dừng lại, một cách tổng quát

Giải Giả sử vật dừng tại vị trí x với −x0 ≤ x ≤ x0 thì gọi tổng quãng đường vật đi được là s, ta có:

1

2kA2 =

1

2kx2+ μmgs → s =

k(A2− x2)

A2− x2

ΔA Xét tỉ số ΔAA = n + q với (q < 1) thì:

+ Nếu q = 0: Vật dừng lại ở VTCB O, khi đó:

s = A2 ΔA + Nếu q = 0,5: Vật dừng lại tại O1 hoặc O2, khi đó:

s = A2− x0

2

ΔA

+ Nếu 0,5 < q < 1: Vật dừng lại trước khi qua VTCB O, biên độ cuối cùng của vật là

An = qΔA = x0+ r ΔA với r = q − 0,5 Khi đó

1

2k(A2n− x2) = μmg(An− x) → An+ x = 2x0 → x0+ rΔA + x = 2x0

Ta tính được x và quãng đường s

s = A

2− x2

ΔA

+ Nếu 0 < q < 0,5: Vật dừng lại sau khi qua VTCB O, biên độ cuối cùng của vật là

An = ΔA + p Khi đó

1

2k(A2n− x2) = μmg(An+ x) → An− x = ΔA

Ta tính được x và quãng đường s

s = A

2− x2

ΔA

Ta thấy rằng ta hoàn toàn có thể giải được bài toán này một cách tổng quát, nhưng công thức khá loằng ngoằng !

Không khuyến khích cách sử dụng này

Bài tập

Câu 1 Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động trên

mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,02 Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là:

A s = 50m B s = 25m C s = 50cm D s = 25cm

Câu 2 Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 1000g, dao động trên

mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,01 Cho g = 10m/s2, lấy π2 = 10 Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 8cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Số chu kì vật thực hiện từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là:

Câu 3 Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 50N/m và vật m = 1kg, dao động trên

mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,1 Cho g = 10m/s2, lấy π2 = 10 Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 5cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Vật dao động tắt dần và dừng lại tại vị trí cách vị trí cân bằng đoạn xa nhất Δℓmax bằng bao nhiêu?

A Δℓmax = 5cm B Δℓmax = 7cm C Δℓmax = 3cm D Δℓmax = 2cm

Câu 4 Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m Vật nhỏ được

đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần (g = 10 m/s2) Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là:

A 10√30 cm/s B 20√6 cm/s C 40√2 cm/s D 40√3 cm/s

Câu 5 Một con lắc đơn gồm dây mảnh dài ℓ có gắn vật nặng nhỏ khối lượng m Kéo con lắc ra khỏi

vị trí cân bằng một góc α0 = 0,1 rad rồi thả cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g Trong quá trình dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn FC không đổi và luôn ngược chiều chuyển động của con lắc Tìm độ giảm biên độ góc ∆α của con lắc sau mỗi chu kì dao động Con lắc thực hiện số dao động N bằng bao nhiêu thì dừng? Cho biết FC = mg 10−3 N

A ∆α = 0,004rad, N = 25 B ∆α = 0,001rad, N = 100

C ∆α = 0,002rad, N = 50 D ∆α = 0,004rad, N = 50

Câu 6 Cho một con lắc đơn dao động trong môi trường không khí Kéo con lắc lệch khỏi phương

thẳng đứng góc 0,1 rad rồi thả nhẹ Biết lực cản của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật Coi biên độ giảm đều trong từng chu kì Số lần con lắc con lắc

đi qua vị trí cân bằng từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại là:

Câu 7 Một con lắc đồng hồ được coi như 1 con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s, vật nặng có

khối lượng m = 1kg Biên độ góc dao động lúc đầu là α0 = 50 Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi FC = 0,011 N nên nó chỉ dao động được mo ̣t thời gian ròi dừng lại Xa c định t

lượng m = 1kg, dao động tại nơi có g = π2 = 10 m/s2 Biê n đo ̣ go c dao động lúc đầu là α0 = 50 Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi FC= 0,011 N nên nó dao động tắt dần Người ta dùng một pin co suất điện động 3V điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lượng cho con lắc với hiệu suất của qua trình bổ sung là 25% Pin có điện lượng ban đầu Q0 = 104 C Hỏi đồng hồ chạy được thời gian t bao lâu thì lại phải thay pin?

A t = 40 ngày B t = 46 ngày C t = 92 ngày D t = 23 ngày