PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP RUNGE KUTTA NYSTRӦM TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG của cơ hệ có PHẦN tử đàn PHỚT cấp PHÂN số

Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân sốvào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputonghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới… Các nhà cơ học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-DƯƠNG VĂN LẠC

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA-NYSTRӦM

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐÀN PHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành : CƠ ĐIỆN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CƠ ĐIỆN TỬ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN KHANG

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 6

MỞ ĐẦU 8

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 9

1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 9

1.2 BIỂU THỨC HỢP NHẤT GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 10

1.2.1 Đạo hàm cấp n 10

1.2.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số 11

1.2.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp 12

1.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 13

1.3.1 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Grünwald-Letnikov 13

1.3.2 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville 13

1.3.3 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Caputo 14

1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm cấp phân số khác 15

1.3.5 Sự tương đương của định nghĩa Riemann-Liouville và Grüwald-Letnikov 17

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 18

1.4.1 Tính chất tuyến tính 18

1.4.2 Quy tắc Leibniz 18

1.4.3 Tính chất biến đổi thang bậc 18

1.4.4 Đạo hàm cấp phân số của một chuỗi 19

1.4.5 Tính chất hợp thành 19

1.5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 20

1.5.1 Đạo hàm cấp phân số của một hằng số 20

1.5.2 Đạo hàm cấp phân số của hàm f t ( )   t a 21

1.5.3 Đạo hàm cấp phân số của f t( ) ( t a)p 21

1.5.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f t( ) (1  t)p 21

1.5.5 Đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta-Dirac 22

1.5.6 Đạo hàm cấp phân số của hàm f t( )e at 23

1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ LAPLACE CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 23

1.6.1 Phép biến đổi Laplace 23

1.6.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 24

1.6.3 Tính chất phép biến đổi Laplace 24

1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số 24

1.6.5 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm cấp phân số 25

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 27

2.1 HAI THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 27

2.1.1 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp một 27

2.1.2 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp hai 32

2.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 35

2.2.1 Phương pháp sai phân 35

2.2.2 Phương pháp Newmark 35

2.2.3 Phương pháp Runge-Kutta 37

2.2.4 Phát triển phương pháp Runge-Kutta-Nyström tính toán dao động cơ hệ có đạo hàm cấp phân số 39

2.2.5 So sánh độ chính xác và thời gian tính giữa các phương pháp 40

CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA-NYSTRӦMM 44

3.1 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG VA ĐẬP 44

3.1.1 Mô hình dao động của hệ chịu kích động va đập 44

3.1.2 Tính toán dao động của hệ chịu kích động va đập 45

3.2 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 49

3.2.1 Dao động của hệ Duffing 49

3.2.2 Dao động của hệ Vander Pol 59

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

PHỤ LỤC 73

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là DƯƠNG VĂN LẠC, học viên cao học lớp 14BCĐT.KH, khóaCH2014B, chuyên ngành Cơ điện tử Sau thời gian học tập, nghiên cứu tại trường ĐạiHọc Bách Khoa Hà Nội, được sự giúp đỡ hướng dẫn của thầy NGUYỄN VĂN KHANG,tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Tôi xin cam đoan các nội dung được trình bày trong luận văn này là kết quả nghiêncứu của bản thân tôi, không có sự sao chép hay copy của bất cứ tác giả nào

Tôi xin tự chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, Ngày 28 tháng 02 năm 2016

Tác giả

DƯƠNG VĂN LẠC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT

Ký hiệu Nội dung, ý nghĩa

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 So sánh nghiệm chính xác và kết quả tính toán của các phương pháp 41

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 3.3 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=30mm 45Hình 3.4 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=60mm 46Hình 3.5 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=100mm 46Hình 3.6 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=30mm 46Hình 3.7 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=60mm 47Hình 3.8 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=100mm 47Hình 3.9 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=30mm 47Hình 3.10 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=60mm 48Hình 3.11 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=100mm 48Hình 3.12 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=30mm 48Hình 3.13 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=60mm 49Hình 3.14 Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=100mm 49

Hình 3.17 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.1) 51

Hình 3.21 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.2) 52

Hình 3.25 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.3) 53

Hình 3.29 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.4) 55

Hình 3.34 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5) 57Hình 3.35 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5) 57

Hình 3.36 Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.6) 57

Hình 3.39 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.6) 58

Hình 3.43 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.7) 60

Hình 3.47 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.8) 62

Hình 3.51 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.9) 63

Hình 3.54 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.10) 64

Hình 3.57 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.11) 65

Hình 3.60 Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.12) 66

MỞ ĐẦU

Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong các lĩnh vựcvật lý, hóa học, cơ khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài chính và các ngành khoa họckhác đã được quan tâm nghiên cứu Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân sốvào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputonghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới…

Các nhà cơ học cũng bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vàocác hệ dao động, động lực học như hệ đàn nhớt và nhớt dẻo Nutting (1921, 1943) là mộttrong những nhà nghiên cứu đầu tiên nghĩ rằng hiện tượng chùng ứng suất có thể được môhình thông qua thời gian bậc phân số Shimizu (1995) nghiên cứu dao động và đặc tínhxung của bộ dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số của vật liệu đàn nhớt dựa trêngel silicone và chứng minh một số tính chất khác biệt giữa khả năng giảm chấn của vậtliệu này so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên Zhang và Shimizu (1999) nghiên cứu mộtvài phương diện quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt được mô hìnhbởi quy luật kết cấu Kelvin – Voigt phân số Họ đã thảo luận sự ảnh hưởng của điều kiệnđầu tới trạng thái tắt dần …

Ta đã biết quan hệ giữa lực và biến dạng của các bộ giảm chấn đàn nhớt có dạng

là toán tử đạo hàm cấp phân số

Thực tế rằng đối với những biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất hiện Một số môhình được đề xuất để giải thích sự đáp ứng phi tuyến Một mô hình có thể được đưa ra làmột lò xo phi tuyến được thêm vào vế phải của phương trình trên Một mô hình khácđược đưa ra bởi Zhimizu và Nasuno yêu cầu đối với một số vật liệu đàn nhớt, tính phituyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số của biến dạng nén

Luận văn này trình bày các phương pháp số để giải phương trình vi phân chứa đạohàm cấp phân số, trong đó phương pháp Runge-Kutta-Nyström được phát triển để tínhtoán dao động của cơ hệ có thành phần đạo hàm cấp phân số Luận văn sử dụng cácphương pháp số này để tính toán một vài mô hình dao động phi tuyến của các hệ đàn nhớt

có chứa đạo hàm cấp phân số

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy GS.TSKH Nguyễn VănKhang, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

111Equation Chapter (Next) Section 1 CHƯƠNG 1

ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, và p là số bất kỳ Cho mộthàm số f t  Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp n,…của hàm f t  như sau

  2    

2

n n

n n

313\* MERGEFORMAT (.)

Đạo hàm của hàm f t  theo t a bằng đạo hàm theo t của nó

0

t

d f t

f t dt dt



 

515\* MERGEFORMAT (.)Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu

Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết

Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân

Đạo hàm cấpn thường được viết f n  t

Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân

Trước khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho đạo hàm

và tích phân cấp nguyên Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm f t 

t dt

Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta

Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và t tiến tới 0 liên tục, nghĩa là tất cảnhững giá trị của nó đều tiến tới 0 Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích phân, ta sẽ cần

có một giới hạn chặt Để làm được điều này, chia khoảng t a  thành N đoạn bằng

Chú ý rằng hệ số nhị thức

n j

 

 

  = 0 nếu j n , (1.20) được viết lại như sau

1.2.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số

Bây giờ ta sẽ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f t  Vì một tích phân cấpnguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann

1 2 0

Đối với tích phân 3 lớp :

a t a t

a a a N

Tương tự với tích phân n lớp viết như sau :

N n

1.2.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp

Bây giờ ta thay n n với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.27) có dạng

   

11

Do đó có thể viết biểu thức (1.22) và (1.28) dưới một dạng chung

Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương.

1.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

1.3.1 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Grünwald-Letnikov.

Công thức (1.32) đúng với mọi tùy ý, ta đạt được định nghĩa cơ bản và tổng quát nhất theo Grünwald - Letnikov

Cách định nghĩa theo Grunwald - Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm, tích phâncấp phân số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân và đạohàm của nó

Mặt khác người ta đã chứng minh được rằng hàm   p  p0có thể không hữu hạnnhưng tỉ số

 

j p p

được gọi là hệ số Grünwald

1.3.2 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville.

Với p0 đạo hàm, tích phân cấp phân số có dạng

 

11

t

p p

Với p0

t n

n p p

Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến Tích phân trongphương trình 136 chỉ hội tụ với p  Tuy nhiên,với 0 p  bài toán được biến đổi bằng0việc áp đặt điều kiện n p trong phương trình.

1.3.3 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Caputo.

Ta có

 

11

t n

n p p

Với các giá trị đầu

ra một định nghĩa khác của đạo hàm và tích phân cấp phân số như sau

 

11

Quan hệ giữa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville và đạo hàm cấp phân số Caputo

hàm Riemann Liouville và đạo hàm Caputo có quan hệ như sau:

( ) 1

j n

Chứng minh: Cho f(t) là hàm liên tục tại t=0 và khả vi khi t>0, ta có

Để chứng minh công thức 142 chúng ta chú ý đến dẳng thức sau

t n p

n p a

Sau khi tích phân từng phần n lần ta dược công thức

a

t n p

n a

Đạo hàm n lần hai vế của biểu thức trên ta được công thức 142

1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm cấp phân số khác

1.3.4.1 Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)

n

p

p p p

n

n p p

Nếu sử dụng dạng Caputo

1.3.4.2 Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, cho a    ta có định nghĩa dạng Weyl

 

11

1.3.4.3 Định nghĩa Davison – Essex

,1

n k p

0

1

.1

t n

p n p

1.3.4.4 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo công thức Cauchy

a Công thức tích phân Cauchy

Cho  là một đường cong Jordan trơn từng khúc có hai điểm mút ,a b

Gọi C là đường cong kín trong miền D thuộc mặt phẳng phức, công thức tích phânCauchy có dạng

f n

Ta có kết luận: mọi hàm giải tích trong miền D nào đó đều có đạo hàm mọi cấp trên miền

đó Hơn nữa tất cả các đạo hàm đó đều là các hàm giải tích trong miền D đó

b Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

Dựa vào công thức 154 ta có định nghĩa

1

.2

Trong đó x là 1 điểm trên trục thực, z là 1 điểm trong mặt phẳng phức

Công thức (c) chỉ đúng với n  , do đó ta thấy công thức 155 chỉ đúng với điều kiện0

q  Tuy nhiên với 00 q  và không nguyên ta cũng có định nghĩa:

1

.2

1.3.5 Sự tương đương của định nghĩa Riemann-Liouville và Grüwald-Letnikov

Ta có công thức định nghĩa đạo hàm cấp phân số bậc p (p 0) theo Riemann – Liouville

Bây giờ ta biến đổi phương trình 157 như sau

,:

1

0 0

Mặt khác theo định nghĩa đạo hàm cấp phân số Grüwald-Letnikov ta có

Do biểu thức trong dấu ngoặc tiến tới 0 hay kết quả của hai định nghĩa sẽ tương đương nhau khi N tăng lên vô cùng, biểu thức  sẽ tiến tới không khi N tăng lên vô cùng

1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

Trong đó hệ số nhị thức được xác định bằng việc thay thế giai thừa với hàm Gammatương ứng.

1.4.3 Tính chất biến đổi thang bậc

Phép biến đổi thang bậc của một hàm số đối với giới hạn dưới a

1.4.4 Đạo hàm cấp phân số của một chuỗi

Cho 1 chuỗi hàm hội tụ đều

 

0

j j

j j

d f d

Với hàm được khai triển thành chuỗi lũy thừa

0

j j

Trong đó qlấy giá trị bất kỳ nhưng  p j n 1, a0 0, n 

Khi đó (1.60) chỉ đúng khi f t  thỏa mãn điều kiện dưới đây

d f t d

d f t d

n q

d f t d

1.5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

1.5.1 Đạo hàm cấp phân số của một hằng số

Trước tiên ta sử dụng định nghĩa Grunwald , ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số của1

Theo tính chất của hàm Gamma

p N

N j

p p

1.5.2 Đạo hàm cấp phân số của hàm f t ( )   t a

Sử dụng định nghĩa Grunwald - Letnikov đối với hàm f t  t a

Kết hợp với tính chất của hàm Gamma, sự liên hệ giữa các hàm Gamma

p p

1.5.3 Đạo hàm cấp phân số của f t( ) ( t a)p

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, mối liên hệ giữa các hàm Bêta và hàmGamma, ta có đạo hàm và tích phân cấp qcủa hàm f t 

1.5.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f t( ) (1  t)p

Để xây dựng công thức cho tất cả giá trị p q , ta viết 1 t  1 a t a 

Áp dụng công thức nhị thức cho hàm f t 

Từ công thức đạo hàm và tích phân cấp phân số của một chuỗi số, công thức Riemanncùng với tính chất của hàm Gamma và hàm Bêta, ta được

q q p q

với t là hàm bêta không đầy đủ

1.5.5 Đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta-Dirac

t p

Mở rộng với hàm f t H t t    0

 

0 0

d f t d

 0    0

t a



nếu a t 0 t.Chọn

p a

t at

Laplace ngược của ảnh f s L 

Nếu f t là một hàm gốc và f s L  là ảnh của nó thì tại mọi điểm liên tục của f t ta có

2

i st L i

1.6.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace

Hàm f t  được gọi là hàm cấp mũ khi t   nếu tồn tại các hằng số C, K, T sao cho

Khi đó Laplace của f t  sẽ tồn tại với   s C

1.6.3 Tính chất phép biến đổi Laplace

Nếu f t  L f L s ,g t  L g L s , ảnh của tích chập bằng tích các ảnh

 f g    f  g f s g s L  L 

MERGEFORMAT (.)

1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số

1.6.4.1 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số Riemann - Liouville

0

1

,

n p d

      

1

1 0

 

1 1

1.6.4.2 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số Caputo

1 0

1.6.5 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm cấp phân số

1.6.5.1 Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 1: Phép biến đổi thuận

Chú ý: Phép biến đổi Fourier của hàm f t  tồn tại khi f t  là hàm khả tích tuyệt đối tức

1.6.5.2 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm cấp phân số

Do vậy ta có cặp biến đổi Fourier đối với đạo hàm cấp phân số là:

p p

D x t   F i X 

Trong đó: F   là ảnh của f t qua phép biến đổi Fourier:

1.6.5.3 Tính chất của phép biến đổi Fourier

a Biến đổi Fourier của đạo hàm

p

p p

Nếu f t  F F  ,g t  F G  , ảnh của tích chập bằng tích các ảnh

 f g    f  g F  G 

MERGEFORMAT (.)

12222Equation Chapter (Next) Section 2CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA

CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 2.1 HAI THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 2.1.1 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp một

Sử dụng định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Lionville-Riemann như sau:

Theo định nghĩa của Caputo:

Trong đó p  và hệ số 0

p j

Chia lưới với bước là h với t0 a t, n1  t n h, phân tích thành phần đạo hàm cấpphân số trên bằng cách sử dụng công thức 2125 và tách cận tích phân:

n n

Khi đó biểu thức 2129 được viết gọn thành

,2

Trong đó x  thay đổi trong khoảng t n1,t n và ký hiệu xn x t n Theo công thức sai phân:

Thay 2135 vào phương trình 2134 ta được công thức tính x 

Sau đó thế phương trình 2136 vào phương trình 2133, ta được

Biểu thức x  trong khoảng thời gian t n1,t n là một hàm của x n và xn1 Áp dụng khaitriển Taylor ta có:

Trong đó x 3  t là đạo hàm cấp 3 của véc tơ x t theo thời gian,   x 4  t là đạo hàm cấp

Tương tự nhân phương trình đầu của 2138 với1 2 , phương trình thứ hai với 2 rồicộng lại ta có

Thế 2139 và 2140 vào các số hạng tích phân xác định vận tốc và dịch chuyển 2141 củamột hệ động lực ở thời điểm t n

ta nhận được công thức cầu phương

n

n n

n

t

t t

1

.6

Các hằng số  và  là những tham số liên quan đến sơ đồ cầu phương

Thế các biểu thức 2142 vào các biểu thức 2141 ta nhận được các công thức xấp xỉ theophương pháp Newmark [28]

x x     h x h x 1462146\* MERGEFORMAT (.)

2 2

1

.2

Thay x n từ 2148 vào 2146 ta được

Như vậy gia tốc và vận tốc đều được biểu diễn qua x n và các giá trị đã biết của x n1, xn1,1

Thay 2151 vào 2137 ta được:

1 1

Bây giờ thay 2151 vào 2152 ta có

Thay 2150 vào 2153 ta được:

Tiếp theo ta chú ý đến tích phân I n1 của phương trình 2132 Nó là kiểu tích phân chập.Tích phân xác định này có thể được xấp xỉ bằng công thức hình thang như sau

22

n n

Thay các biểu thức 2131, 2153, 2155 vào 2130 ta thu được xấp xỉ của thành phần đạo hàm cấp phân số như sau

2.1.2 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp hai

Việc xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp Newmark sử dụngđạo hàm cấp một có nhược điểm không tính trực tiếp ngay được vì đối với các phươngtrình vi phân chuyển động của các hệ động lực tại thời điểm t n thì x n còn chưa xác định

thì chúng ta không thể xấp xỉ R D x t p  n ngay được Để cải tiến công thức 2156 ta sử dụngtích phân có chứa thành phần đạo hàm cấp hai bằng cách như sau.

Chia lưới với bước là h , hay t n1  t n h, ta phân tích thành phần đạo hàm cấp phân

Sử dụng phương pháp tích phân riêng phần ta có:

0

111

n

t p

n

t t

Thay 2159 vào 2157 ta được

Biểu thức 2160 viết gọn thành

Với: 0 0 1  n n, hnn1 , j 0  jhjh 1652165\* MERGEFORMAT (.)

Sử dụng công thức hình thang để xấp xỉ tích phân 2164 ở trên:

Hình 2.1 Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang

Tiến hành xấp xỉ tích phân 2164 bằng cách tính tổng diện tích của các hình thang trênhình vẽ, tính được :

0

Rõ ràng là khi sử dụng đạo hàm cấp hai để xấp xỉ thời điểm t n thì hàm p khôngcòn phụ thuộc vào x n nữa, mà chỉ phụ thuộc vào các điểm lưới đã biết x x x x0, , , ,   0 1 2 xn1

điều này rất tiện lợi vì chúng ta tính ngay được R D x t p  n khi chưa biết x n

Ngoài ra chúng ta cũng có thể xấp xỉ 2164 tại thời điểm   t h2 như sau:

Do vậy thay 2168 vào 2161 ta được xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số như sau

Với ( n  0), xấp xỉ trên được sử dụng khi chúng ta giải các hệ phương trình vi phân mà phải tính các thời điểm t  n h2

2.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

2.2.1 Phương pháp sai phân

Giả sử hệ 2 phương trình vi phân cấp phân số có dạng sau [48]