Hàm lồi suy rộng và ứng dụng

Möc löc1.1 Khæng gian Ìclit... èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu H m lçi suy rëng trong khæng gian Euclid... C¡c iºm thuëc riA ÷ñc gåi l iºm trong t÷ìng èi cõa tªp A... Theo ành lþ gi¡ trà t

LÍI CƒM ÌN

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m

- tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ h÷îng d¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nh

º tæi ho n th nh luªn v«n n y

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Th¦y cæ cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m

H  Nëi 2 ¢ truy·n thö ki¸n thùc cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªpvøa qua

Tæi xin c£m ìn cì quan, b¤n b± çng nghi»p, gia ¼nh ¢ chia s´,gióp ï, ëng vi¶n, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º tæi ho n thi»n luªnv«n n y

H  Nëi, ng y 05 th¡ng 11 n«m 2013

T¡c gi£

inh Thøa Vô

LÍI CAM OAN

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m

Tæi xin cam oan luªn v«n l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n tæi ¢ k¸ thøa

th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn.C¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n n y ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

H  Nëi, ng y 05 th¡ng 11 n«m 2013

T¡c gi£

inh Thøa Vô

Möc löc

1.1 Khæng gian Ìclit 7

1.2 T½nh li¶n töc v  t½nh kh£ vi cõa h m sè 8

1.3 Tªp lçi 11

1.4 H m lçi 12

1.5 B i to¡n tèi ÷u 18

2 H m lçi suy rëng 21 2.1 H m tüa lçi 21

2.2 H m gi£ lçi 35

2.3 Mèi quan h» giúa nhúng h m lçi suy rëng 39

3 Ùng döng v o lþ thuy¸t tèi ÷u 413.1 Ùng döng v o b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc h¼nh håc 413.2 Ùng döng v o b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc b§t ¯ng thùc 45

R ÷íng th¯ng thüc

Rn khæng gian Euclid n - chi·u

R = R∪ {−∞, +∞} tªp sè thüc suy rëng

f : X → R ¡nh x¤ i tø X v o R

dom(f ) mi·n húu hi»u cõa f

epi(f ) tr¶n ç thà cõa f

ϕ0(x) ¤o h m cõa ϕ t¤i x

∇f (x) gradient cõa f t¤i x

ϕ00(x) ¤o h m bªc hai cõa varphi t¤i x

∇2f (x) ma trªn Hessian cõa f t¤i x

||.|| chu©n trong khæng gian Rn

af f (A) bao lçi affine cõa A

(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} o¤n th¯ng mð nèi x v  y

(x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]} o¤n th¯ng mð nèi x v  y

[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} o¤n th¯ng âng nèi x v  y

L(f, α) = {x ∈ X | f (x) 6 α} tªp mùc d÷îi

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

C¡c h m lçi v  h m lçi suy rëng âng mët vai trá quan trång trong

lþ thuy¸t tèi ÷u ho¡ (xem [8], [10] v  nhúng t i li»u tr½ch d¨n trong â)

H m lçi suy rëng ¢ ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu v thu ÷ñc nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c C¡c h m tüa lçi, h m gi£ lçi ¢ ÷ñcMangasarian tr¼nh b y trong [10] D Aussel ¢ nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t

°c tr÷ng cõa c¡c h m tüa lçi v  gi£ lçi khæng trìn qua t½nh tüa ìn

i»u v  gi£ ìn i»u cõa d÷îi vi ph¥n cõa h m â v  mèi quan h» giúac¡c kh¡i ni»m n y trong [5], [6] A Daniilidis v  N Hadjisavvas nghi¶ncùu c¡c h m tüa lçi ch°t v  tüa lçi b¡n ch°t khæng trìn [2] Sau khi

÷ñc håc nhúng ki¸n thùc v· To¡n gi£i t½ch, vîi mong muèn t¼m hiºus¥u hìn v· nhúng ki¸n thùc ¢ håc, mèi quan h» v  ùng döng cõa chóng,tæi ¢ chån · t i nghi¶n cùu : H m lçi suy rëng v  ùng döng

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Hiºu bi¸t têng quan v· h m lçi suy rëng, n­m ÷ñc nhúng t½nh ch§t

cì b£n cõa h m lçi suy rëng v  nhúng ùng döng v o tèi ÷u hâa

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

C¡c kh¡i ni»m h m lçi suy rëng, nhúng t½nh ch§t cì b£n cõa h mlçi suy rëng, nhúng ùng döng cõa h m lçi suy rëng v o b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n v  tèi ÷u hâa.

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

H m lçi suy rëng trong khæng gian Euclid

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Thu thªp t i li»u v· h m lçi v  h m lçi suy rëng åc, ph¥n t½ch v têng hñp º ÷ñc mët nghi¶n cùu têng quan v· h m lçi suy rëng v  ùngdöng

6 Dü ki¸n âng gâp mîi cõa · t i

+ Nghi¶n cùu têng quan v· h m lçi suy rëng v  ùng döng

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m cì b£nnh§t cõa tªp lçi v  h m lçi tr¶n khæng gian Rn còng vîi nhúng t½nhch§t °c tr÷ng cõa nâ Nhúng ki¸n thùc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y

÷ñc chån chõ y¸u tø c¡c t i li»u [1], [2], [8]

1.1 Khæng gian Ìclit

Tªp hñp

Rn := {x = (x1, , xn)T : x1, , xn ∈ R},trong â

lªp th nh mët khæng gian v²c tì Ìclit n−chi·u.

N¸u x = (x1, , xn)T ∈ Rn th¼ xi gåi l  th nh ph¦n ho°c tåa ë thù

i cõa x V²c tì khæng cõa khæng gian n y gåi l  gèc cõa Rn v  ÷ñc k½hi»u ìn gi£n l  0, vªy 0 = (0, , 0)T

Trong Rn ta ành ngh¾a t½ch væ h÷îng ch½nh t­c h., i nh÷ sau: vîi

n

X

i=1

(xi)2

v  gåi l  chu©n Euclid cõa v²c tì x

ành ngh¾a 1.1 Cho x0 ∈ Rn, ε > 0, ta gåi tªp

B(x0, ε) := {x ∈ Rn : kx − x0k < ε}

l  h¼nh c¦u mð trong Rn câ t¥m t¤i x0, b¡n k½nh ε

ành ngh¾a 1.2 Tªp U ⊂ Rn gåi l  mð n¸u vîi måi x0 ∈ U, tçn t¤i

ε > 0 sao cho B(x0, ε) ⊂ U

Tªp F ⊂ Rn gåi l  âng n¸u U := Rn \ F l  mð

Tªp V ⊂ Rn gåi l  l¥n cªn cõa x ∈ Rn n¸u tçn t¤i ε > 0 sao choB(x, ε) ⊂ V

1.2 T½nh li¶n töc v  t½nh kh£ vi cõa h m sè

ành ngh¾a 1.3 i) H m f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x ∈ Rn

(vîi f (x) < ∞), n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho

f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U )

ii) N¸u f (x) = +∞, th¼ f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x, n¸u vîimåi N > 0, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U) iii) H m f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi, n¸u f nûa li¶n töc d÷îi t¤imåi x ∈ Rn

ành ngh¾a 1.4 Cho f : X → R Ta nâi f li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸uvîi måi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi x ∈ X ∩ B(x0, δ) ta câ

f (x0) ∈ B(x0, ε)

Ta nâi f li¶n töc tr¶n X n¸u f li¶n töc t¤i måi x0 ∈ X

ành ngh¾a 1.5 Cho U ⊂ Rn l  tªp mð, h m sè f : U → R, v 

x0 = (x01, , x0n)T ∈ U Khi â tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi h ∈ R m 

|h| < δ ta câ x(h) = (x0, , x0i−1, x0i + h, x0i+1, , x0n) ∈ U

N¸u tçn t¤i giîi h¤n

lim

h→0

f (x0, , x0i−1, x0i + h, x0i+1, , x0n) − f (x0)

hth¼ ta gåi nâ l  ¤o h m ri¶ng (c§p 1) theo bi¸n xi cõa f t¤i x0, k½ hi»u

N¸u ¤o h m ri¶ng ∂f

∂x i(x) tçn t¤i t¤i måi x ∈ U th¼ ta câ h m ∂f

∂x i : U →

R x¡c ành bði quy t­c x 7→ ∂f

∂x (x) N¸u tçn t¤i ¤o h m ri¶ng theo bi¸n

thù j cõa h m ∂f

∂x i t¤i x0 th¼ ta gåi nâ l  ¤o h m ri¶ng c§p 2 theo bi¸n

xi v  xj cõa f t¤i x0, k½ hi»u l 

khk → 0 khi khk → 0

N¸u f kh£ vi t¤i måi x ∈ U th¼ ta nâi f kh£ vi tr¶n U

N¸u f kh£ vi tr¶n U v  c¡c h m f0

x i(.) : U → R, i = 1, , n, ·uli¶n töc tr¶n U, th¼ ta nâi f kh£ vi li¶n töc tr¶n U

ành ngh¾a 1.7 Ta nâi f kh£ vi hai l¦n t¤i x0 n¸u vîi måi i, j = 1, , ntçn t¤i ¤o h m ri¶ng c§p hai f00

ành l½ 1.1 Cho f : Rn →R v  x0 ∈ Rn Khi â

(i) N¸u f kh£ vi li¶n töc tr¶n mët l¥n cªn n o â cõa x0 th¼ vîi

h ∈ Rn m  khk õ nhä ta câ

f (x0 + h) = f (x0) + h∇f (x0), hi + r(khk),trong â r(khk)

M»nh · 1.2 Cho c¡c tªp Xi ⊂ Rn lçi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi

â λ1X1+ + λmXm công l  tªp lçi

M»nh · 1.3 Cho c¡c tªp Xi ⊂Rni lçi, (i = 1, 2, , m) Khi â t½ch

ành l½ 1.2 Cho tªp X ⊂ Rn lçi; x1, , xm ∈ X Khi â X chùa t§tc£ c¡c tê hñp lçi cõa x1, , xm.

ành ngh¾a 1.10 Cho X ⊂ Rn Giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa X

÷ñc gåi l  bao lçi (convex hull) cõa tªp X, k½ hi»u l  coX

ành ngh¾a 1.11 Gi£ sû X ⊂ Rn Giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi ângchùa X ÷ñc gåi l  bao lçi âng cõa tªp X v  k½ hi»u l  coX

M»nh · 1.4 Cho X ⊂Rn lçi Khi â,

i) Ph¦n trong intX v  bao âng X cõa X l  c¡c tªp lçi;

ii) N¸u x1 ∈ intX, x2 ∈ X, th¼

{λx1+ (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intX

ành ngh¾a 1.12 nh x¤ f : Rn →Rm ÷ñc gåi l  affine n¸u

∀x, y ∈ E1, λ ∈ R; f ((1 − λ) x + λy) = (1 − λ) f x + λf y

ành ngh¾a 1.13 Ph¦n trong t÷ìng èi cõa A ⊂ E l  ph¦n trong cõa

A trong affA; k½ hi»u l  riA

C¡c iºm thuëc riA ÷ñc gåi l  iºm trong t÷ìng èi cõa tªp A

ành ngh¾a 1.14 Tªp A \ riA ÷ñc gåi l  bi¶n t÷ìng èi cõa A

Tªp A ÷ñc gåi l  mð t÷ìng èi, n¸u riA = A

1.4 H m lçi

ành ngh¾a 1.15 Cho h m f : X → R, trong â X ⊂ Rn, R =

R∪ {−∞, +∞}, c¡c tªp

epi(f ) = {(x, α) ∈ X ×R| f (x) ≤ α} ,dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞}

÷ñc gåi l¦n l÷ñt l  tr¶n ç thà v  mi·n húu hi»u cõa f.

ành ngh¾a 1.16 Cho X ⊂ Rn l  mët tªp lçi, f : X → R

H m f ÷ñc gåi l  lçi tr¶n X n¸u tr¶n ç thà epi(f) cõa nâ l  mëttªp lçi trong Rn×R

N¸u dom f 6= ∅ v  −∞ < f(x) vîi måi x ∈ X ta nâi h m f l  ch½nhth÷íng

H m f ÷ñc gåi l  lãm tr¶n X n¸u −f l  h m lçi tr¶n X

V½ dö (H m ch¿) Cho C 6= ∅ l  mët tªp lçi trong Rn

°t

δC(x) :=



0 khi x ∈ C,+∞ khi x /∈ C

Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC(y)

V½ dö (H m tüa) Cho C 6= ∅ l  mët tªp lçi trong Rn

°t SC(y) := supx∈C hy, xi vîi y ∈ Rn Ta nâi SC l  h m tüa cõa

C Vîi måi x, y ∈ C v  vîi måi , λ ∈ (0, 1), ta câ

ành l½ 1.3 Gi£ sû f1, , fm l  c¡c h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n X Khi

â, têng f1 + + fm l  mët h m lçi

Ta nh­c l¤i mët sè °c tr÷ng v  t½nh ch§t cõa h m lçi mët bi¸n kh£vi

iii) N¸u ϕ lçi tr¶n [a, b] th¼ ϕ li¶n töc tr¶n (a, b)

ành l½ 1.5 Cho X l  tªp lçi trong khæng gian Rn v  f : X → R Khi

â, c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X.b) f (λx + (1 − λ) y)> λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X sao cho

λx + (1 − λ) y ∈ X

c) f (λx + (1 − λ) y)> λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ < 0, ∀x, y ∈ X sao cho

l  tªp lçi vîi måi α ∈ R

ành l½ 1.8 Cho X ⊂ Rn l  mët tªp mð v  f : X → R kh£ vi tr¶n X.Khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng:

a) f lçi tr¶n X

b) Vîi måi x ∈ X v  vîi måi y ∈ Rn h m

ϕ0x,y(t) = hy, ∇f (x + ty)i,bi¸n t, khæng gi£m tr¶n o¤n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

c) Vîi måi x, y ∈ X, h m

ψx,y0 (λ) = h(x − y), ∇f (λx + (1 − λ)y)i,bi¸n λ, khæng gi£m tr¶n o¤n [0, 1]

d) Vîi måi x, y ∈ X, f(x) − f(y) > h(x − y), ∇f (y)i

e) Vîi måi x, y ∈ X, f(x) − f(y) 6 h(x − y), ∇f (x)i

f) Vîi måi x, y ∈ X, h(x − y), ∇f(x) − ∇f(y)i > 0

ành l½ 1.9 Cho f : X → R l  h m sè kh£ vi li¶n töc hai l¦n tr¶n tªplçi mð X ⊂ Rn Khi â, f lçi tr¶n X khi v  ch¿ khi ma trªn Hessian

∇2f (x) nûa x¡c ành d÷ìng vîi måi x ∈ X

ành ngh¾a 1.17 Cho X l  tªp lçi trong khæng gian Rn, f : X → R

Ta nâi f lçi ch°t tr¶n X n¸u

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X, x 6= y

ành l½ 1.10 Cho X l  tªp lçi trong khæng gian Rn v  f : X → R Khi

â, c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

a) f lçi ch°t tr¶n X

b) Vîi måi x ∈ X, vîi måi y ∈ Rn, h m ϕx,y(t) = f (x + ty) l  h m lçich°t tr¶n o¤n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

c) Vîi måi x, y ∈ X, h m ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) lçi tr¶n o¤n [0, 1].

ành l½ 1.11 Cho X ⊂ Rn l  mët tªp mð v  f : X → R kh£ vi tr¶n

X Khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng:

a) f lçi ch°t tr¶n X

b) Vîi måi x, y ∈ X, x 6= y, f(x) − f(y) > h(x − y), ∇f(y)i

c) Vîi måi x, y ∈ X, x 6= y, f(x) − f(y) < h(x − y), ∇f(x)i

d) Vîi måi x, y ∈ X, h(x − y), ∇f(x) − ∇f(y)i > 0

ành l½ 1.12 Cho f : X → R l  h m sè kh£ vi li¶n töc hai l¦n tr¶n tªplçi mð X ⊂ Rn Khi â, n¸u ma trªn Hessian ∇2f (x) x¡c ành d÷ìngvîi måi x ∈ X, ngh¾a l  vîi måi x ∈ X, hy, ∇2f (x)yi > 0 vîi måi

y ∈ Rn, y 6= 0, th¼ f lçi ch°t tr¶n X

i·u ki»n n¶u tr¶n ch¿ õ chù khæng c¦n º f lçi ch°t V½ dö nh÷,

f (x) = x4 lçi ch°t tr¶n R, nh÷ng ∇2f (x) = 12x2 khæng x¡c ành d÷ìngtr¶n R, v¼ ∇2f (0) = 0

ành ngh¾a 1.18 H m f : X →R x¡c ành tr¶n tªp lçi X ⊂ Rn ÷ñcgåi l  h m aphin tr¶n X n¸u nâ vøa lçi vøa lãm tr¶n X, ngh¾a l 

ii) f li¶n töc t¤i x ;

iii) int(epif) 6= ∅ ;

iv) int(domf) 6= ∅ v  f li¶n töc tr¶n int(domf)

çng thíi, int(epif) = {(x, µ) ∈ X ×R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} 1.5 B i to¡n tèi ÷u

B i to¡n tèi ÷u l  b i to¡n ÷ñc mæ t£ d÷îi d¤ng:

min f (x) vîi x ∈ X, (P)trong â f : Rn −→ R l  mët h m cho tr÷îc, X ⊂ Rn l  mët tªp concho tr÷îc, Rn l  khæng gian Euclid n-chi·u

Ta cán vi¸t b i to¡n (P ) nh÷ sau:

min{f (x) : x ∈ X}

ành ngh¾a 1.19 B i to¡n (P ) ÷ñc gåi l  mët b i to¡n tèi ÷u H m

f gåi l  h m möc ti¶u, X l  tªp r ng buëc (hay mi·n ch§p nhªn ÷ñccõa (P )) C¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l  c¡c ph¦n tû ch§p nhªn ÷ñccõa (P )

N¸u X = Rn th¼ ta nâi (P ) l  mët b i to¡n khæng câ r ng buëc,ng÷ñc l¤i, (P ) l  b i to¡n câ r ng buëc

ành ngh¾a 1.20 iºm x∗ ∈ X m 

f (x∗) 6 f (x) vîi måi x ∈ X

÷ñc gåi l  nghi»m, ho°c nghi»m tèi ÷u, ho°c nghi»m tèi ÷u to n cöc,ho°c cüc tiºu to n cöc cõa b i to¡n (P )

Ta nâi x ∈ X l  mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng ho°c nghi»m cüctiºu àa ph÷ìng cõa (P ) n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x sao cho

f (x) ≤ f (x) vîi måi x ∈ X ∩ U

Ta nâi x ∈ X l  mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng ch°t ho°c nghi»mcüc tiºu àa ph÷ìng ch°t cõa (P ) n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x saocho

ành sau ¥y chùng minh i·u â

ành l½ 1.15 Cho X ⊂ Rn l  tªp lçi, f : X → R l  mët h m lçi Khi

â, n¸u x∗ l  mët nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P):

min{f (x) : x ∈ X},th¼ nâ công l  mët nghi»m tèi ÷u to n cöc cõa b i to¡n â

Chùng minh Gi£ sû x∗ l  nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa (P) Khi â

x∗ ∈ X v  tçn t¤i l¥n cªn mð V trong Rn cõa x∗ sao cho

f (x∗) 6 f (x) ∀x ∈ V ∩ X

L§y x ∈ X tòy þ V¼ X lçi n¶n vîi måi t ∈ (0, 1) õ nhä, ta câ

xt := tx + (1 − t)x∗ ∈ V ∩ X

Do f lçi tr¶n X n¶n

f (x∗) 6 f (xt) 6 tf (x) + (1 − t)f (x∗),

suy ra f(x∗) 6 f (x) V¼ x ∈ X tòy þ, ta suy ra x∗ l  nghi»m tèi ÷u to ncöc cõa (P)

ành l½ 1.16 Cho X ⊂ Rn l  tªp lçi, f : X → R l  mët h m lçi tr¶n

X Khi â, tªp nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P):

Ch֓ng 2

H m lçi suy rëng

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè nëi dung cõa h m lçi suy rëng, bao

h m h m tüa lçi v  cõa h m gi£ lçi Nhúng nëi dung tr¼nh b y trongch÷ìng n y chõ y¸u chån tø c¡c t i li»u [3], , [11]

x, y ∈ X, f (x) 6 f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) 6 f (y), ∀λ ∈ [0, 1]Nhªn x²t 2.2 Måi h m lçi f : X → R ·u l  h m tüa lçi.Thªt vªy,gi£ sû f lçi Khi â

f (λx + (1 − λ)y) 6 λf (x) + (1 − λ)f (y)

6 max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

V½ dö sau chùng tä r¬ng, i·u ng÷ñc l¤i trong nhªn x²t tr¶n khæng

óng

V½ dö 2.1 L§y X = {(x, y) ∈ R2 | x, y > 0}, f : X → R; f(x, y) = −xy

ành l½ 2.1 Cho X ⊂ Rn l  mët tªp lçi v  f : X → R Khi â, c¡c

i·u ki»n sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:

a) f l  h m tüa lçi tr¶n X, ngh¾a l 

f (λx + (1 − λ)y) 6 max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

b) Vîi måi x ∈ X v  vîi måi y ∈ Rn h m sè gx,y(t) = f (x + ty) l  tüalçi tr¶n o¤n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ X}

c) Vîi måi x, y ∈ X h m hx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) l  tüa lçi tr¶n o¤n[0, 1]

d)Vîi måi α ∈ R tªp mùc d÷îi

Tx,y v  λ ∈ [0, 1] Ta câ λt1+ (1 − λ)t2 ∈ Tx,y V¼ f tüa lçi tr¶n X, ta câ

c) =⇒ d) : L§y tòy þ x, y ∈ X v  λ ∈ [0, 1] Tø t½nh ch§t tüa lçi cõa

hx,y ta câ

hx,y(λ)6 max{hx,y(1), hx,y(0)},ngh¾a l 

f (λx + (1 − λ)y)6 max{f (x), f (y)} 6 α

v  do â, λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α), ngh¾a l  L(f, α) lçi

d) =⇒ a) :L§y tòy þ x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1] v  °t α = max{f(x), f(y)}.V¼ x, y ∈ L(f, α) v  L(f, α) lçi, ta câ λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α), ngh¾a l 

f (λx + (1 − λ)y) 6 α v  nh÷ vªy f tüa lçi tr¶n X

d) =⇒ e) : L§y tòy þ x, y ∈ SL(f, α), λ ∈ [0, 1] v  °t

α0 = max{f (x), f (y)} < α

Khi â, x, y ∈ L(f, α0) v  λx + (1 − λ)y ∈ L(f, α0) Do â, f(λx + (1 −λ)y) 6 α0 < α, ngh¾a l  λx + (1 − λ)y ∈ SL(f, α)

e) =⇒ d) : L§y tòy þ x, y ∈ L(f, α), λ ∈ [0, 1] Khi â,

x, y ∈ SL(f, α + ε) vîi måi ε > 0

v  λx+(1−λ)y ∈ SL(f, α +ε) vîi måi ε > 0 Do â, f(λx+(1−λ)y) <

α + ε vîi måi ε > 0, ngh¾a l  f(λx + (1 − λ)y) 6 α

ành l½ 2.2 Cho X ⊂ Rn l  mët tªp lçi mð, f : X → R l  mët h mkh£ vi tr¶n X Khi â, f tüa lçi tr¶n X khi v  ch¿ khi

x, y ∈ X, f (x) 6 f (y) ⇒ h(x − y), ∇f (y)i6 0

Chùng minh Gi£ sû f tüa lçi v  f(x) 6 f (y) Khi â,

f (y + λ(x − y)) = f (λx + (1 − λ)y) 6 f (y) ∀λ ∈ [0, 1]

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû i·u ki»n n¶u trong ành lþ thäa m¢n v  f(x)6 f (y)

Ta gi£ sû ph£n chùng l  ¯λ ∈ (0, 1) v  f(¯λx + (1 − ¯λ)y) > f(y) i·u n yngh¾a l  vîi h m

hx,y = f (λx + (1 − λ)y)

ta câ

hx,y(¯λ) > hx,y(0) > hx,y(1)

Khi â, tø t½nh kh£ vi cõa h suy ra h li¶n töc v  tªp

{λ ∈ [0, ¯λ] | h(λ) = h(0)}

l  âng v  câ ph¦n tû lîn nh§t Do â, tçn t¤i ˆλ ∈ [0, ¯λ] sao cho h(ˆλ) =h(0) v  h(λ) > h(0) vîi måi λ ∈ (ˆλ, ¯λ] Theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh