Phân loại đa tạp khả vi một chiều

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạmHà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý ki

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Tất Thắng

Hà Nội – Năm 2016

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốtthời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đặc biệt em xin chân thànhcảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng đã trực tiếp hướng dẫn và chỉbảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu nên không thể tránhkhỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiếncủa các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiệnhơn Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Xuân

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Nguyễn Tất Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trìnhnghiên cứu em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà hoa họcvới sự trân trọng và biết ơn.

Em xin khẳng định nội dung của đề tài này không có sự trùng lặp với các

đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Xuân

Lời mở đầu iv

1.1 Cấu trúc tuyến tính của Rn 1

1.2 Chuẩn trên Rn 2

1.3 Khoảng cách trên Rn 2

1.4 Sự tương đương của các chuẩn trên Rn 3

1.5 Sự hội tụ của dãy trong Rn 4

1.6 Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận 4

1.7 Tập đóng, tập mở 5

1.8 Các điểm đặc biệt 6

1.9 Tập compact 7

1.10 Tập liên thông trong Rn 8

2 Đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều 10 2.1 Ánh xạ trơn và đa tạp trơn 10

2.2 Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân 13

2.3 Phân loại đa tạp khả vi một chiều 22

3 Đường cong trong R3 26

3.1 Đường cong trong R3 26

3.1.1 Cung tham số 26

3.1.2 Cung trong R3 27

3.1.3 Cung chính quy 28

3.1.4 Cung định hướng 28

3.1.5 Tiếp tuyến, pháp tuyến và pháp diện của cung 29

3.2 Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy 30

3.2.1 Độ dài cung 30

3.2.2 Tham số hóa tự nhiên của một cung 33

3.3 Cung song chính quy Mặt phẳng mật tiếp tại điểm song chính quy của cung 34

3.3.1 Cung song chính quy 34

3.3.2 Mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc 34

3.4 Độ cong của cung chính quy 35

3.4.1 Khái niệm độ cong 35

3.4.2 Công thức tính độ cong của cung trong R3 35

3.4.3 Cung thẳng 36

3.5 Mục tiêu Frénet và độ xoắn của cung song chính quy trong R3 37

3.5.1 Mục tiêu Frénet 37

3.5.2 Độ xoắn và công thức Frénet của cung song chính quy định hướng 38

3.5.3 Cung phẳng 39

3.6 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong R3 40

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học vi phân là môn học yêu thích của em Các đa tạp khả vi là

đối tượng nghiên cứu chính trong chủ đề này Một trong những bài toán

cơ bản là phân loại các đa tạp khả vi Đây là vấn đề khó và lời giải khá

là thú vị Vì vậy em đã chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi một chiều"

làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiều sâu hơn về cấu trúc của các đa tạp khả vi

Phân loại đa tạp khả vi một chiều

Tìm hiểu đường cong trong R3

3 Đối tượng nghiên cứu

Đa tạp khả vi trong Rn và chủ yếu là các đa tạp khả vi 1-chiều

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều và nghiên cứu đường cong trong R3

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc hiểu lý thuyết về đa tạp khả vi Sử dụng lý thuyết cơ bản của

hình học vi phân để chứng minh sự đồng phôi của các đa tạp trơn

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm

3 chương:

Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị” trình bày lại một số kiến thức về cấu

trúc của không gian Rn và tôpô của Rn

Chương 2 "Đa tạp khả vi và phân loại đa tạp khả vi 1-chiều" trình

bày về đa tạp khả vi (cấp vô hạn) và định lý chủ yếu của chương này là

Phân loại đa tạp khả vi một chiều

Chương 3 "Đường cong trong R3" trình bày một số lý thuyết vềđường cong trong R3 và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết đườngtrong R3

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta trình bày lại một số kiến thức về cấu trúc

của không gian Rn và tôpô của Rn

Kí hiệu

Rn = {x = (x1, , xn) : xi ∈ R, i = 1, , n} Đưa vào trong Rn phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử vớimột vô hướng được định nghĩa như sau: Nếu x = (x1, , xn) ,

X

i=1

x2i,

với x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, là một chuẩn trên Rn Chuẩn này được gọi

là chuẩn Euclide của Rn

Định nghĩa 1.3 Giả sử ϕ : Rn → R là một chuẩn trên Rn Khi đó dễkiểm tra hàm

ρ (x, y) = ϕ (x − y) ,

với mọi x, y ∈ Rn, xác định một khoảng cách trên Rn Khoảng cách nàyđược gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn ϕ

Định nghĩa 1.4 Hai chuẩn ϕ và ψ trên Rn được gọi là tương đương vàviết ϕ ∼ ψ nếu tồn tại các số dương C1, C2 sao cho

C1ψ (x) ≤ ϕ (x) ≤ C2ψ (x) , ∀x ∈ Rn.Nhận xét 1.1 Quan hệ ∼ là quan hệ tương đương

Ta phát biểu định lý sau trong [4]

Định lý 1.1 Hai chuẩn bất kỳ trên Rn là tương đương

Chứng minh Xem [4]

Vì mọi chuẩn trên Rn là tương đương nên từ đây về sau ta sẽ sử dụng

kí hiệu k.k để chỉ cho một chuẩn tùy ý trên Rn

1.5 Sự hội tụ của dãy trong Rn

Định nghĩa 1.5 Điểm a ∈ Rn được gọi là giới hạn của dãy xk
⊂ Rn

nếu với mọi ε > 0 tồn tại k (ε) sao cho ∀k > k (ε) ta có

xk − a < ε

Khi đó ta nói dãy xk
hội tụ đến a và viết lim

k→∞xk = a hay xk → a khi

k → ∞

Ta có các nhận xét sau: Dãy xk = xk1, , xkn
, k = 1, 2, hội tụ đến

a = (a1, , an) khi và chỉ khi dãy xki
⊂ R hội tụ đến ai, i = 1, 2, Như vậy sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo tọa độ

Định nghĩa 1.6 Giả sử x0 ∈ Rn và r > 0

1 Tập hợp

B x0, r
= x ∈ Rn

: x − x0 < r được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r trong Rn

2 Tập hợp

¯

B x0, r
= x ∈ Rn : x − x0 ≤ r được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r trong Rn

Định nghĩa 1.7 Cho x0 ∈ Rn

Tập con U ⊂ Rn được gọi là một lâncận của x0 nếu tồn tại r > 0 sao cho B x0, r
⊂ U

1 x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x.

Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A Kí

hiệu Int (A) hay Ao

2 x được gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận U của x chứa ít nhất

Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và kí

1.10 Tập liên thông trong Rn

Định nghĩa 1.13 Tập E ⊂ Rn được gọi là liên thông nếu không tồntại hai tập mở A và B của Rn sao cho

A ∩ B = ∅, A ∩ E 6= ∅, B ∩ E 6= ∅, E ⊂ A ∪ B

Ví dụ 1.10.1 R là tập liên thông

Mệnh đề 1.2 Tập E ⊂ R là liên thông nếu và chỉ nếu nó có tính chất

x ∈ E, y ∈ E, x < z < y ⇒ z ∈ E

Chứng minh Giả sử phản chứng z /∈ E Khi đó ta có A = (−∞, z) và

B = (z, +∞) là hai tập mở không giao nhau trong R Hơn nữa ta có,

A ∩ E 6= ∅, B ∩ E 6= ∅ và E ⊂ A ∪ B Ta suy ra E không liên thông (mâu

thuẫn với giả thiết E là tập liên thông)

Vậy z ∈ E

Định nghĩa 1.14 Tập E ∈ R gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm

x, y thuộc E tồn tại một đường liên tục trong E nối x và y, tức là tồn

tại một ánh xạ liên tục

f : [0, 1] → E

sao cho f (0) = x, f (1) = y

Mệnh đề 1.3 Tập E liên thông đường thì liên thông

Chứng minh Ta có [0, 1] là tập liên thông, f là ánh xạ liên tục nên

f ([0, 1]) là tập liên thông trong E Tập liên thông này chứa x và y Mà

ta có hệ quả trong [5] là nếu với hai điểm bất kỳ x và y của một không

gian tôpô E đều tồn tại một tập liên thông chứa x và y thì E là một

không gian liên thông Do đó, ta có E là liên thông

Đa tạp khả vi

Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều

Trong chương này chúng ta trình bày về đa tạp trơn, nhắc lại các khái

niệm của đa tạp trơn, ánh xạ trơn, không gian tiếp xúc, ánh vi phân và

định lý chính trong chương này là "Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều"

Kí hiệu Rk là không gian Euclide k-chiều Với mỗi x ∈ Rk, ta viết

x = (x1, , xk) trong đó xi ∈ R, i = 1, , k

Định nghĩa 2.1 Cho U ⊂ Rk là một tập mở Ánh xạ f : U → Rlđược gọi là trơn nếu tất cả các đạo hàm từng phần ∂nfi

trùng với f trên U ∩ X Với f (x) ∈ Y Do g : Y → Z là trơn nên tồn

tại tập mở V ⊂ Rl chứa f (x) và ánh xạ trơn

G : V → Rm

trùng với g trên V ∩ Y Ta có thể chọn U đủ nhỏ sao cho F (U ) ⊂ V

Thật vậy, ta thay U bởi U1 = U ∩ F−1(V ) nếu cần thiết Khi đó ánh xạ

G ◦ F : U → Rm

là trơn do tính khả vi vô hạn của hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn Hơn

nữa, G ◦ F đồng nhất với g ◦ f trên U ∩ X

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.3 Cho X ⊂ Rk, Y ⊂ Rl Ánh xạ f : X → Y được gọi làmột vi phôi nếu f là đồng phôi và cả f , f−1 là trơn Khi đó ta nói X viphôi với Y qua ánh xạ f hoặc f ánh xạ X vi phôi với Y

Định nghĩa 2.4 Tập con M ⊂ Rk được gọi là một đa tạp trơn m-chiềunếu với mỗi x ∈ M có một lân cận W ∩ M vi phôi với một tập mở

U ⊂ Rm

Định nghĩa 2.5 Ánh xạ g : U → Rk được gọi là tham số hóa của lâncận W ∩ M của x nếu g ánh xạ U vi phôi với W ∩ M Ánh xạ ngược

g−1 : W ∩ M → U được gọi là một hệ tọa độ của W ∩ M

Ví dụ 2.1.1 Đường tròn đơn vị S1 gồm những điểm (x, y) ∈ R2 thỏamãn x2 + y2 = 1 là đa tạp khả vi 1-chiều Thật vậy, ta chọn

Xét ánh xạ f1 −1

ta có

f1−1 : W ∩ S1 → (−1, 1) ,p1 − y2, y

7→ y

là ánh xạ chiếu nên nó là song ánh Hơn nữa, ta có f1, f1−1 khả vi

, x 7→ g (x) = Π



→ R1, t 7→ h (t) = tan t,

mà g, h là vi phôi nên f2 là vi phôi

Vậy f = f2 ◦ f1 là vi phôi

Tổng quát, hình cầu Sn−1 ⊂ Rn gồm tất cả các điểm (x1, , xn) thỏamãn

Ví dụ 2.1.2 Tập hợp M gồm tất cả các (x, y) ∈ R2 với y = sin x là đatạp khả vi 1-chiều (Chứng minh tương tự ví dụ trên)

Định nghĩa 2.6 Cho U ⊂ Rk là tập mở Không gian tiếp xúc của tập

U tại điểm x ∈ U được định nghĩa là không gian vectơ Rk Kí hiệu là

TxU

Định nghĩa 2.7 Cho U ⊂ Rk, V ⊂ Rl là các tập mở và f : U → V làánh xạ trơn bất kỳ Với x ∈ U , ánh xạ

dfx : Rk → Rlcho bởi công thức

dfx(h) = lim

t→0

f (x + th) − f (x)

với h ∈ Rk, được gọi là ánh xạ vi phân của f tại x

Khi đó ánh xạ vi phân dfx là ánh xạ tuyến tính và dfx có ma trậnbiểu diễn đối với cơ sở chính tắc của Rk và cơ sở chính tắc của Rl làh

∂fi

∂xj (x)i cấp l × k gồm các phần tử là đạo hàm cấp một các hàm thànhphần của f tại x

Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn

giữa các tập mở:

Tính chất 2.2.1 (Quy tắc dây xích) Cho U ⊂ Rk, V ⊂ Rl, W ⊂ Rm.Nếu f : U → V và g : V → W là các ánh xạ trơn, với f (x) = y thì

d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx

Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa

các tập mở của Rk, Rl, Rm; tương ứng với một tam giác giao hoán củacác ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Do f và g là trơn nên g ◦ f : U → W là trơn Gọi ma trận

của các ánh xạ tuyến tính dfx, dgy, d (g ◦ f )x lần lượt là

Mệnh đề 2.1 Nếu f : U → V là một vi phôi giữa các tập mở U ⊂ Rk

Định lý 2.1 (Định lý hàm ngược) Cho f : U → Rk là ánh xạ trơn với

U mở trong Rk Nếu ánh xạ vi phân dfx : Rk → Rk là không suy biếnthì f ánh xạ tập mở bất kì U0 ⊂ U đủ nhỏ chứa x vi phôi lên một tập

mở f (U0)

Chứng minh Xem trong [4]

Định nghĩa 2.8 Cho đa tạp trơn M ⊂ Rk Với x ∈ M , chọn một tham

số hóa

g : U → Rkcủa lân cận g (U ) ⊂ M của x, trong đó U ⊂ Rm là tập mở Ta có ánh

xạ vi phân của g tại u = g−1(x) là

dgu : Rm → Rk.Khi đó không gian tiếp xúc của đa tạp M tại x được định nghĩa là

Im dgu Kí hiệu là TxM

• Ta chứng minh định nghĩa không gian tiếp xúc TxM không phụthuộc vào việc chọn tham số g Thật vậy, cho h : V → Rk là tham

số hóa khác của lân cận h (V ) ⊂ M của x với v = h−1(x) Ta cóthể chọn U đủ nhỏ sao cho g (U ) ⊂ h (V ) Thật vậy ta thay U bởi

U1 = g−1(h (V )) ∩ U nếu cần thiết Khi đó h−1 ◦ g ánh xạ tập mở

U chứa u vi phôi với tập mở V chứa v Ta có sơ đồ giao hoán của

các ánh xạ trơn giữa các tập mở

Ta chuyển sang sơ đồ giao hoán của ánh xạ tuyến tính

Từ đây ta suy ra Im dgu = Im dhv Do đó TxM được xác định duynhất

• Ta chứng minh TxM là không gian vectơ m-chiều Thật vậy, vì

g−1 : g (U ) → U

là ánh xạ trơn nên ta có thể chọn một tập mở W chứa x và một

ánh xạ trơn F : W → Rm trùng với g−1 trên W ∩ g (U )

Đặt U0 = g−1(W ∩ g (U )), ta có sơ đồ giao hoán

Ta có sơ đồ giao hoán các ánh xạ tuyến tính

Sơ đồ này chỉ ra rằng dgu có hạng m và do đó ảnh TxM của nó có

số chiều m

Định nghĩa 2.9 Cho hai đa tạp trơn M ⊂ Rk, N ⊂ Rl và ánh xạ trơn

f : M → N

dfx(v) = dFx(v)với mọi v ∈ TxM ⊂ Rk.

Nhận xét 2.1 Để xác minh định nghĩa ta cần chứng minh dfx ánh xạ

TxM vào TyN và không phụ thuộc vào viêc chọn F Thật vậy, ta chọncác tham số hóa

g : U → Rk, h : V → Rl,của lân cận g (U ) ⊂ M của x và h (V ) ⊂ N của y Ta có thể chọn W đủ

nhỏ sao cho F (W ) ⊂ h (V ) (thay W bởi W1 = F−1(h (V )) ∩ W nếu cầnthiết) và U đủ nhỏ sao cho g (U ) ⊂ W (thay U bởi U1 = g−1(W) ∩ Unếu cần thiết) Khi đó F ánh xạ g (U ) vào h (V ) Ta suy ra

h−1 ◦ F ◦ g : U → V

là ánh xạ trơn

Xét sơ đồ giao hoán

của các ánh xạ trơn giữa các tập mở Chuyển sang ánh xạ vi phân,

ta có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ tuyến tính

trong đó u = g−1(x),và v = h−1(y)

Ta suy ra dFx ánh xạ TxM = Im dgu vào TyN = Im dhv, tức là dfx

ánh xạ TxM vào TyN Hơn nữa, dfx không phụ thuộc vào việc chọn F ,

ta có thể nhận được cùng biến đổi tuyến tính bằng cách đi vòng quanh

sơ đồ Đó là

dfx = dhv ◦ d h−1 ◦ f ◦ g

u◦ (dgu)−1.Điều này hoàn thành chứng minh

Tương tự như trước, ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn giữa hai đa tạp

trơn có hai tính chất cơ bản sau đây:

Tính chất 2.2.3 (Quy tắc dây xích) Cho M ⊂ Rk, N ⊂ Rl, P ⊂ Rh

là các đa tạp trơn Nếu f : M → N và g : N → P là các ánh xạ trơn

với f (x) = y thì d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx

Tính chất 2.2.4 Nếu cho M ⊂ Rk là đa tạp trơn và I là ánh xạ đồngnhất của M thì dIx là ánh xạ đồng nhất của TxM Trong trường hợptổng quát, nếu cho M, N ⊂ Rk là hai đa tạp trơn thoả mãn M ⊂ N và

i : M → N là phép nhúng thì TxM ⊂ TxN và dix : TxM → TxN là phépnhúng

Tương tự như trước, ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2 Nếu f : M → N là một vi phôi thì dfx : TxM → TyN ,trong đó f (x) = y, là một đẳng cấu của các không gian vectơ Hơn nữa,

số chiều của M bằng số chiều của N

Chứng minh Do f−1 ◦ f là ánh xạ đồng nhất của M nên d f−1

2.3 Phân loại đa tạp khả vi một chiều

Ta phát biểu định lý phân loại đa tạp khả vi một chiều trong [1]

Định lý 2.2 Đa tạp khả vi 1-chiều liên thông bất kỳ thì vi phôi với

đường tròn S1 hoặc vi phôi với khoảng mở của tập số thực R

Định nghĩa 2.10 Cho I là một khoảng của tập số thực R, M là đatạp khả vi 1-chiều liên thông Ánh xạ f : I → M được gọi là tham số

hóa bởi độ dài cung nếu f là vi phôi từ I đến một tập con mở của M

và nếu "vectơ vận tốc" dfs(1) ∈ Tf (s)M có độ dài đơn vị, với mỗi s ∈ I

Bổ đề 2.1 Cho f : I → M và g : J → M là hai tham số hóa bởi độ

dài cung Khi đó f (I) ∩ g (J ) có nhiều nhất hai thành phần Nếu nó chỉ

có một thành phần thì f có thể mở rộng đến một tham số hóa bởi độ dài

cung của hợp f (I) ∪ g (J ) Nếu nó có hai thành phần, khi đó M sẽ vi

dgf (s)◦ dg−1f (s)◦ dfs(1) = dfs(1) Suy ra

dgf (s)◦ dg−1f (s) ◦ dfs(1) = kdfs(1)k = 1, ∀s ∈ I (2.1)

Ta xét đồ thị Γ ⊂ I × J bao gồm tất cả cặp (s, t) sao cho f (s) = g (t).

Khi đó Γ là một tập con đóng của I × J Thật vậy, ta có

Hình 2.1:

Vì Γ là tập con đóng của I × J và g−1◦ f là vi phôi địa phương nênnhững đoạn thẳng này không thể kết thúc ở phần trong của I × J và nó

sẽ tiến đến biên Vì g−1◦ f là 1 − 1 và có giá trị là duy nhất nên mỗicạnh của hình chữ nhật I × J có duy nhất một điểm kết thúc Do đó Γ

có nhiều nhất hai thành phần (Hình 2.1) Hơn nữa, nếu nó có hai thành

phần thì độ dốc của chúng bằng nhau

Nếu Γ là liên thông, khi đó g−1 ◦ f có thể mở rộng tới ánh xạ tuyếntính L : R → R Bây giờ, f và g ◦ L nối lại, ta đươc kết quả của sự mởrộng

Hơn nữa, vì f và g là hai tham số hóa bởi độ dài cung nên F cũng là

tham số hóa bởi độ dài cung

Nếu Γ có hai thành phần, không mất tính tổng quát, ta giả sử Γ có

độ dốc +1, ta sẽ sắp xếp như hình chữ nhật trong Hình 2.1 (a) Thay

đổi khoảng J = (γ, β) nếu cần thiết, ta giả sử rằng γ = c và s = d, vậy

thì a < b ≤ c < d ≤ α < β