Cực đại và cực tiểu

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Giá trị của hàm số tại điểm cực trị gọi là cực trị của hàm số đã cho... Ý nghĩa hình học của định lí Fecma Nếu fx có đạo hàm t

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x 0  (a;b) a) V() = (x 0 -  ; x 0 + ), trong đó  > 0 được gọi là một lân cận

của điểm x 0

b) Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu

với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x 0 , ta có

f(x) < f(x 0 ) (x≠ x 0 ) Kí hiệu f CĐ = f(x 0 ).

Điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

c) Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu

với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x 0 , ta có

f(x) > f(x 0 ) (x≠ x 0 ) Kí hiệu f CT = f(x 0 ).

Điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

1 Định nghĩa

O x

y

M 1

M 2

x 1

f(x 1 )

x 2

f(x 2 )

Hình vẽ dưới mô tả đồ thị của hàm số với điểm cực đại

M 1 và

điểm cực tiểu M 2

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Giá trị của hàm số tại điểm cực trị gọi là cực trị của hàm số đã cho

2 Điều kiện để hàm số cực trị

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x 0  (a;b).

Định lí Fecma

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm Đó thì f’(x 0 ) = 0.

Ý nghĩa hình học của định lí Fecma

Nếu f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x 0 ; f(x 0 )) song song với trục hoành.

Hệ quả Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm

tới hạn của hàm số đó.

3 Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị

Định lí 1 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm có đạo hàm trên Một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 )

1) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 -  ;x 0 ); f’(x) < 0 trên khoảng

(x 0 ;x 0 +  ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

2 ) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 -  ;x 0 ); f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 ;x 0 +  ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

x

f’(x)

x 0 -  x 0 x 0 + 

Cực đại

x

f’(x) f(x)

x 0 -  x 0 x 0 + 

+

Cực tiểu

_

f(x)

Qui tắc I để tìm các điểm cực trị của một hàm số.

1) Tìm f’(x)

2) Tìm các điểm tới hạn

3) Xét dấu của đạo hàm

4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Ví dụ : Tìm các điểm cực trị của hàm số

3

x

Giải

y’

y

-1

11

Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2

Tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f’’(x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực trị của hàm số.

Hơn nữa,

1) Nếu f’’(x0 ) > 0 thị x 0 là điểm cực tiểu.

2) Nếu f’’(x 0 ) < 0 thị x 0 là điểm cực đại.

Qui tắc II để tìm các điểm cực trị của một hàm số.

1) Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 Gọi x i (i = 1,2…) là các nghiệm.

2) Tính f’’(x).

3) Từ dấu của f’’(x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi

Ví dụ Tìm các điểm cực trị của hàm số

4

2

4

x

Giải.

Hàm số xác định với mọi x R.

1) f’(x) = x 3 – 4x = x(x 2 – 4) = 0  (x 1 = 0, x 2 = -2, x 3 = 2 ) 2) f’’(x) = 3x 2 – 4

3) f’’(2) = 8 > 0  x = 2 là hai điểm cực tiểu.

f’’(0) = -4 < 0  x = 0 là điểm cực đại.