nhóm con c – chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con sylow của nhóm hữu hạn

Việc tìm ra mối quan hệ giữa những tính chất của nhóm con tối đại và nhóm con tối tiểu của một nhóm với tính chất và cấu trúc của nhóm đó là một hướng nghiên cứu đã được nhiều nhà toán h

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ph ạm Thị Thu Hà

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ph ạm Thị Thu Hà

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Đại số Trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (ĐHQG TPHCM) đã

trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ những kiến thức cần thiết làm nền tảng trong quá trình viết luận văn

Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã giúp đỡ tôi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

B ẢNG KÍ HIỆU 3

L ỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 M ột số khái niệm cơ bản 6

1.2 Định lý Sylow 7

1.3 Nhóm gi ải được 11

1.4 Nhóm lũy linh 12

1.5 Nhóm con Frattini và nhóm con Fitting 14

1.6 π–Nhóm con Hall và p- nhóm lũy linh 16

1.7 Nhóm siêu gi ải được 20

C HƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW C ỦA NHÓM HỮU HẠN 22

2.1 Nhóm con c – chu ẩn tắc 22

2.2 Các b ổ đề 24

2.3 K ết quả chính 33

K ẾT LUẬN 44

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 45

BẢNG KÍ HIỆU

,

H ≤G H < G H là nhóm con, nhóm con th ật sự của G

H < ⋅ G H là nhóm con t ối đại của G

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhóm hữu hạn có một vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng và đại số nói chung Việc tìm ra mối quan hệ giữa những tính chất của nhóm con tối đại và nhóm con tối tiểu của một nhóm với tính chất và cấu trúc của nhóm đó là một hướng nghiên cứu đã được nhiều nhà toán học thực hiện đối với nhóm hữu hạn Năm 1970, Buckley đã chứng minh rằng một nhóm hữu hạn có cấp lẻ là nhóm siêu giải được nếu mọi nhóm con tối tiểu của nó đều chuẩn tắc Năm 1980, Srinivasan đã chỉ ra rằng một nhóm hữu

hạn là siêu giải được nếu mọi nhóm con tối đại của mọi nhóm con Sylow của nó đều chuẩn

tắc Đến năm 1996, Wang đã giới thiệu khái niệm nhóm con c – chuẩn tắc của một nhóm

hữu hạn Theo định nghĩa mà ông đưa ra thì rõ ràng một nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu

hạn là nhóm con c – chuẩn tắc của nhóm đó nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng Do đó

một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất nào đã đúng với các nhóm thỏa mãn các điều

kiện liên quan đến nhóm con chuẩn tắc của một nhóm vẫn còn đúng khi ta thay thế chúng

với nhóm con c – chuẩn tắc? Ông đã ứng dụng khái niệm này vào việc nghiên cứu các nhóm

hữu hạn bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng một điều kiện yếu hơn là c – chuẩn

tắc Từ đó các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả sâu sắc và thú vị là mở rộng của các

kết quả đã biết trước đó

Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi chỉ xét đến những nhóm hữu hạn Chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện liên quan đến nhóm con c – chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G để

G nằm trong một họ bão hòa chứa lớp các nhóm siêu giải được từ đó xem xét một vài tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn là siêu giải được có được bảo toàn khi thay thế điều kiện cho các nhóm con chuẩn tắc của chúng bằng những điều kiện với lớp các nhóm con hẹp hơn, các nhóm con c – chuẩn tắc

Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [10] Luận văn được chia làm 2 chương như sau:

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản, chứng minh một số định lý

và bổ đề được dùng trong luận văn

Chương II Nhóm con c – chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu

hạn

Đây là chương chính của luận văn, chương này gồm 3 phần như sau:

Phần 1: Nêu khái niệm về nhóm con c – chuẩn tắc và một số tính chất cơ bản của nhóm con c – chuẩn tắc

Phần 2: Đưa ra các bổ đề thể hiện mối quan hệ giữa nhóm con c – chuẩn tắc, nhóm con chuẩn tắc, nhóm lũy linh, nhóm giải được, nhóm siêu giải được …, các tính chất cần thiết để

sử dụng trong quá trình chứng minh các kết quả chính trong phần 3

Phần 3: Chứng minh, làm rõ 2 định lý chính của luận văn Qua đó nêu lên một số tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn là nhóm siêu giải được dựa trên các điều kiện có liên quan đến các nhóm con c – chuẩn tắc của chúng

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những sai sót Kính mong quý

thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa

CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 M ột số khái niệm cơ bản

Z G = g∈G g = ∀ ∈g x G được gọi là tâm của G

1.1.2 Định nghĩa phần trong chuẩn tắc

Cho G là nhóm và X là t ập con khác rỗng của G Phần trong chuẩn tắc (hay core hay

normal interior) c ủa X trong G là hợp của tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G chứa trong X , kí hiệu là X hay G core G( )X Nếu không có nhóm con nào như thế thì ta quy ước 1

G

Nhận xét Cho H là nhóm con của nhóm G Khi đó H là nhóm con chu G ẩn tắc lớn

nhất của G chứa trong H và 1

H = ∈ g Hg−

1.1.3 M ệnh đề (Luật Modular Dedekind) [6, 1.3.14]

Cho H K L là các nhóm con c, , ủa G và K L⊆ Khi đó HK∩ =L (H ∩L K)

1.1.4 Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc tối đại và tối tiểu

Cho G là một nhóm và H G  H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu

H < và không tồn tại N GG  sao cho H N G< < H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối

ti ểu của G nếu H G< và không tồn tại K G  sao cho 1 K H< <

1.1.5 Định nghĩa nhóm con đặc trưng

Cho G là m ột nhóm và H G ≤ H được gọi là nhóm con đặc trưng của G , kí hiệu là

H char G , nếu với mọi f ∈Aut G( ) ta có f H( )= H

1.1.6 Tính ch ất nhóm con đặc trưng [1, Mệnh đề 8.2]

i) Nếu H char G thì H G

ii) Nếu H char K K char G thì H char G ,

iii) Nếu H char K K,  thì H G G 

1.1.7 Định nghĩa nhóm con á chuẩn tắc

Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại dãy

1 2 n

1.1.8 Định nghĩa

Nhóm G được gọi là thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc hóa nếu mọi nhóm con thực sự của

G đều thực sự chứa trong chuẩn hóa tử của chính nó, nghĩa là H <N G( )H với H G<

1.1.9 Định nghĩa PN – nhóm

Một nhóm G được gọi là PN − nhóm nếu mọi nhóm con tối tiểu, nghĩa là nhóm có cấp

nguyên tố, đều chuẩn tắc trong G

1.1.10 Định nghĩa

Nếu cấp của các phần tử của nhóm G đều hữu hạn và bị chặn thì G được gọi là có số

mũ hữu hạn Khi đó, số mũ của G là bội chung nhỏ nhất của cấp của tất cả các phần tử trong G Kí hiệu: exp G ( )

1.1.11 Định nghĩa

Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với , H K  và H K là G

nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G K

1.2 Định lý Sylow

1.2.1 Định nghĩa tác động của một nhóm lên một tập hợp

Cho ( )G, là một nhóm, X là một tập hợp khác rỗng Tác động trái của nhóm G lên

Khi đó với mỗi x∈ , X G x ={g∈G g x: * =x} là một nhóm con của G , và gọi là nhóm

con ổn định của x trong G

Tập G x( )={g x* ∈X g: ∈G} được gọi là quỹ đạo của x trong X

Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố Khi đó:

i) G được gọi là p − nhóm nếu mọi phần tử của G có cấp là lũy thừa của p

ii) Nhóm con H của G được gọi là p − nhóm con của G nếu H là p − nhóm

iii) Nhóm con H của G được gọi là p − nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p − nhóm con của G theo quan hệ bao hàm

Nhận xét Một nhóm G hữu hạn là p − nhóm khi và chỉ khi cấp của G là lũy thừa của

p

1.2.4 Định lý Sylow [6, 1.6.16]

Cho p là số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn với G = p m m p n ,( , )= Khi đó: 1

i) V ới 1 k n ≤ ≤ , t ồn tại trong G một p − nhóm con cấp k

p Nói riêng, t ồn tại trong G

m ột p − nhóm con Sylow của G

ii) M ọi p − nhóm con H của G đều nằm trong một p − nhóm con Sylow nào đó của G

iii) T ất cả các p − nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

iv) S ố các p − nhóm con Sylow của G là ước của m và đồng dư với 1(mod p )

Ch ứng minh

i) Xem [1, định lý 6.4]

ii) Xét tác động G H× →H , với 1

g h∗  ghg− ∈H thì ta có công thức thành quỹ đạo: ( ) : ( )i

Vậy P là p−nhóm con Sylow duy nhất của G

Ngược lại, giả sử P là p−nhóm con Sylow duy nhất của G Khi đó, do mọi nhóm liên

hợp với P đều có cùng cấp với P nên chúng cũng là các p−nhóm con Sylow của G Vì tính duy nhất của P nên các nhóm liên hợp này đều bằng P Suy ra P là p−nhóm con

P đều là các p − nhóm con Sylow của H nên P và x

P liên hợp với nhau

trong H Suy ra tồn tại h H∈ sao cho x h

ii) Ta có [N P: ∩N] [= PN P: ]= PN : P =n với ( , ) 1n p = Mà P N P∩ ≤ nên

P ∩ là p − nhóm con c N ủa G Mặt khác, P N N ∩ ≤ nên P N ∩ là p − nhóm con c ủa N

Do N : P∩N =[N P: ∩N]=n với ( , ) 1n p = nên P N ∩ là p − nhóm con Sylow c ủa N

Chứng minh tương tự ta được PN N là một p − nhóm con Sylow của G N 

P ≤H (do tính chuẩn tắc của H ) và g

P là p− nhóm con Sylow của

H Theo định lý Sylow, tồn tại h H∈ sao cho g h

P =P Do đó 1 ( )

G

gh− ∈N P hay ( )

nhóm con thực sự của G , suy ra G C h: ( )i  là lũy thừa của p ; từ đó suy ra H ∩Z( )G là

bội của p Ω1( )G là p−nhóm abel sơ cấp nên Ω1( )G = y1 × y2 × × y k trong đó các

i

y là các nhóm con cấp p nên chúng là các nhóm con tối tiểu của G Theo tính chất

PN − nhóm thì chúng là các nhóm con chuẩn tắc trong G Suy ra y i ∩Z G( )≠1, và vì tính chất tối tiểu của các y i nên y i ∩Z G( )= y i , từ đó ta có y i ≤Z G( ),∀i dẫn đến ( ) ( )

1 G Z G

Ω ≤

Ngược lại, giả sử A là nhóm con tối tiểu của G , nhóm con có cấp p Khi đó

( ) ( )

1

1.2.12 Định lý [2, Định lý]

Cho E là nhóm con c ủa PN − nhóm G , tối đại chuẩn tắc abel và có số mũ p n > , khi 2

đó mọi phần tử có cấp tối đa là p giao hoán với mọi phần tử của n E đều nằm trong E

Nh ận xét Trong trường hợp n=1, định lý này dẫn đến kết luận rằng C G( )E là một

PN − nhóm Thật vậy, theo định lý 1.2.12, Ω1(C G( )E ) (nhóm con sinh bởi các phần tử có

cấp p của C G( )E hay nhóm con sinh bởi các phần tử có cấp p giao hoán với mọi phần tử

của E ) nằm trong E Theo định nghĩa ta có mọi phần tử trong E đều giao hoán với mọi

phần tử nằm trong C G( )E nên E≤Z C( G( )E ) Từ đó Ω1(C G( )E )≤Z C( G( )E ) Theo

mệnh đề 1.2.11 thì là một PN − nhóm

1.3 Nhóm gi ải được

1.3.1 Định nghĩa nhóm giải được

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các nhóm con

1=G  G G   G n =G (1)

thỏa mãn điều kiện G i+1 G i là nhóm Abel với mọi ,1i ≤ ≤ − i n 1

Dãy (1) trong định nghĩa trên được gọi là một dãy Abel

1.3.2 M ệnh đề

i) M ọi nhóm giao hoán là nhóm giải được

ii) M ọi nhóm con của một nhóm giải được là nhóm giải được

iii) N ếu G là nhóm giải được và : f G→H là m ột toàn cấu thì H giải được

iv) N ếu H G  và cả hai nhóm H và G H đều giải được thì G giải được

v) N ếu cả hai nhóm H và K đều giải được thì H K × gi ải được

vi) N ếu H và K là hai nhóm con chuẩn tắc giải được của G thì HK là nhóm giải được

1.3.3 Định nghĩa

Cho p là m ột số nguyên tố và G là một p − nhóm hữu hạn Khi đó G được gọi là một

p−nhóm Abel sơ cấp nếu

( )

G

Nhận xét Một p − nhóm hữu hạn G là p − nhóm Abel sơ cấp nếu G là nhóm Abel

thỏa mãn điều kiện x p = ∀ ∈ 1, x G

1.3.4 Định lý [1, Định lý 11.3]

N ếu G là một nhóm hữu hạn giải được thì nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là

p−nhóm con abel sơ cấp

1.3.5 Định lý (The Odd order theorem)

M ọi nhóm cấp lẻ đều là nhóm giải được

1.4 Nhóm lũy linh

1.4.1 Định nghĩa nhóm lũy linh

Nhóm G là nhóm lũy linh nếu nó có một dãy hữu hạn các nhóm con chuẩn tắc

1=G ≤G ≤G ≤ ≤ G n = (2) G

thỏa mãn điều kiện G i+1 G i ⊂Z G G( i),∀ ≤ ≤ − i,1 i n 1

Dãy (2) trong định nghĩa trên được gọi là dãy tâm

Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G

1.4.2 M ệnh đề

i) M ọi nhóm lũy linh đều giải được

ii) M ọi nhóm giao hoán đều lũy linh

iii) M ọi nhóm con của một nhóm lũy linh là nhóm lũy linh

iv) N ếu G là nhóm lũy linh và : f G→ H là m ột toàn cấu thì H lũy linh

v) N ếu cả hai nhóm H và K đều lũy linh thì H K × lũy linh

iii) G th ỏa điều kiện chuẩn tắc hóa

iv) M ọi nhóm con tối đại của G đều là nhóm con chuẩn tắc có chỉ số nguyên tố

v) G là tích tr ực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

con á chuẩn tắc của G sau c bước

(ii) → (iii) Cho H G < Vì H là nhóm con á chuẩn tắc của G nên tồn tại dãy

0 1 n

H =H H  H =G Gọi i là số nguyên nhỏ nhất sao cho H ≠H i, khi đó

1

H =H−  và H H i ≤ N G( )H (vì N G( )H là nhóm con lớn nhất của G mà H chuẩn tắc

trong N G( )H ) Do đó H ≤N G( )H Vậy G thỏa điều kiện chuẩn tắc

(iii) → (iv) Nếu M là nhóm con tối đại của G , thì M < N G( )M , do tính tối đại của M

nên N G( )M =G hay M  G

(iv) → (v) Cho P là một nhóm con Sylow nào đó của G Nếu P không chuẩn tắc trong

G thì N G( )P là nhóm con thật sự của G và do đó nó nằm trong nhóm con tối đại M nào

đó của G Khi đó M G hay N G( )M =G, tuy nhiên điều này mâu thuẫn với mệnh đề

1.2.8 Do đó mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc Suy ra tồn tại duy nhất một p −

nhóm con Sylow với mọi số nguyên tố p và hiển nhiên tất cả chúng đều phân biệt Tích

trực tiếp của tất cả các nhóm con Sylow này rõ ràng phải bằng G

(v) → (i) Do p − nhóm thì lũy linh và tích trực tiếp của các nhóm lũy linh là lũy linh

1.4.6 M ệnh đề

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó nếu P là p − nhóm con Sylow của G thì P là p − nhóm con Sylow duy nh ất của G

Ch ứng minh

Theo chứng minh mệnh đề 1.4.5, (iv) → (v), ta có P chuẩn tắc trong G Do đó theo

mệnh đề 1.2.7, P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G 

1.4.7 M ệnh đề [6, 5.3.5]

Trong m ột nhóm lũy linh có lớp tối đa là ta có ( ) [ ], ( )2

Cho M là nhóm con t ối đại của G Ta chứng minh M G  Thật vậy, nếu K M≤ thì

M K < ⋅G K Vì G K lũy linh nên M K G K (mệnh đề 1.4.5) và do đó M G

Trường hợp K M≤/ , ta có K ≤Z G( )≤N G( )M (do với mọi x∈Z G( ) thì rõ ràng M x =M

), khi đó N G( )M >M và do đó N G( )M =G Vậy M G  trong mọi trường hợp nên G lũy

1.5 Nhóm con Frattini và nhóm con Fitting

1.5.1 Định nghĩa nhóm con Fratini

Nhóm con Frattini c ủa nhóm hữu hạn G là giao của tất cả các nhóm con tối đại và bằng

G n ếu G không có nhóm con tối đại nào Kí hiệu ( )Φ G

1.5.2 M ệnh đề

Cho G là m ột nhóm Khi đó ( )Φ G char G , do đó ( )Φ G  G

Ch ứng minh

Nếu G không có các nhóm con tối đại thì mệnh đề hiển nhiên đúng Giả sử trong G có

các nhóm con tối đại Đặt ( )M i i I∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G Khi đó, với mọi

1.5.3 Định nghĩa phần tử không sinh

Cho G là nhóm Ph ần tử x G∈ được gọi là phần tử không sinh của G nếu G= x Y,

thì G= Y

1.5.4 M ệnh đề

Nhóm con Frattini c ủa nhóm G là tập tất cả các phần tử không sinh của G

2

Ch ứng minh

Lấy x là phần tử không sinh của G Nếu tồn tại M là nhóm con tối đại của G sao cho

x∉M thì G= x M, =M Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của M Do đó, x M∈ với

mọi nhóm con tối đại M bất kỳ của G hay x∈Φ( )G

Ngược lại, với x∈Φ( )G , giả sử G = x Y, và G≠ Y Khi đó tồn tại nhóm con tối đại

M c ủa G sao cho Y ≤M Mà x∈Φ( )G nên x∈M Suy ra G= x Y, ≤M (mâu thuẫn) Vậy G = Y hay x là ph ần tử không sinh của G 

iii) Chọn H G≤ là phần tử tối tiểu trong tập hợp các nhóm con {T ≤G G: =TA} Khi

đó H A H ∩  và H A A ∩  do tính giao hoán và chuẩn tắc của nhóm con A Suy ra

H ∩AHA=G Nếu H ∩ ≤ ΦA (H) thì theo i) H ∩ ≤ ΦA ( )G ∩ = Ngược lại nếu A 1

( )

H ∩ ≤ ΦA H thì tồn tại nhóm con tối đại M của H sao cho H ∩ ≤A M, trong trường

hợp này H =M H( ∩A) và G=HA=MA mâu thuẫn với tính tối tiểu của H 

1.5.6 Định nghĩa nhóm con Fitting

Cho G là một nhóm Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G được gọi là nhóm con Fitting của G Kí hiệu là ( ) F G

1.5.7 M ệnh đề

Cho G là m ột nhóm Khi đó:

i) F G( ) G

Đặt L=F G( ) Vì L lũy linh nên theo mệnh đề 1.4.5, mọi nhóm con tối đại của L đều

chuẩn tắc và có chỉ số nguyên tố trong L Khi đó L H là nhóm giao hoán với mọi nhóm

con tối đại H của L , do đó ' L ≤ Φ( )L Mặt khác L G nên theo mệnh đề 1.5.5 ( )L ( )G

Φ ≤ Φ và L'≤ Φ( )G = , suy ra L giao hoán Gọi N là tích của tất cả các nhóm con 1giao hoán chuẩn tắc tối tiểu của G Vì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm giải được đều là các nhóm abel sơ cấp nên chúng là nhóm lũy linh suy ra N L≤ Theo mệnh đề 1.5.5,

tồn tại nhóm con K sao cho G KN= và K∩ = N 1 Khi đó K L K ∩  và K L L∩  do tính giao hoán và chuẩn tắc của L Suy ra K L KL G∩  = Vì (K∩L)∩N =1 nên nhóm con chuẩn tắc K L∩ không thể chứa một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G ; suy ra

1

K∩ = và L L= ∩L (KN)= N 

1.6 π–Nhóm con Hall và p- nhóm lũy linh

1.6.1 Định nghĩa

Cho π là một tập hợp khác rỗng các số nguyên tố và 'π là phần bù của π trong tập tất

cả các số nguyên tố Một số nguyên dương được gọi là π − s ố nếu các ước nguyên tố của nó

thuộc π Nếu a là π − số và b là 'π − số thì a và b nguyên tố cùng nhau

Một phần tử của một nhóm được gọi là π − ph ần tử nếu cấp của nó là π − số Một nhóm được gọi là π − nhóm nếu mọi phần tử của nó đều là π − phần tử

Nếu H là nhóm con của G và H là π − nhóm thì H được gọi là π − nhóm con c ủa G

Trường hợp đặc biệt π ={ }p thì ta được khái niệm p − nhóm và p − nhóm con quen

thuộc

Nhóm con sinh bởi tất cả các π − nhóm con chuẩn tắc của G là một π − nhóm, kí hiệu

là O Gπ( ) Đây là π − nhóm con chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G

G = p pα α p q qα β β ), các trường hợp khác chứng minh tương tự

Vì H là π '− nhóm con chuẩn tắc của G nên ' 1 ' 2

Do mọi p − nhóm con sylow chuẩn tắc của một nhóm luôn chứa p − nhóm con bất kỳ

của nhóm đó nên H1⊆K H1, 2 ⊆K2 Suy ra H =H H1 2⊆ K K1 2 ⊆ K 

1.6.3 Định nghĩa

Nhóm con H của nhóm hữu hạn G được gọi là nhóm con Hall của G nếu H là ước Hall của G , nghĩa là ( H ,[G H: ] )= 1

Cho G là nhóm h ữu hạn và H là π − nhóm con của G sao cho G H: là π'− số Khi

đó H được gọi là π − nhóm con Hall c ủa G

Cho H là nhóm con của nhóm hữu hạn G Một nhóm con K của G được gọi là một

ph ần bù của H trong G nếu G HK= và H∩ = K 1

Cho G là nhóm hữu hạn Một phần bù của một p − nhóm con Sylow của G được gọi là

một p − bù của G Ta nhận thấy rằng một p − bù của G là một ' p − nhóm con Hall của G Nhóm G được gọi là p − lũy linh nếu G có một p − bù chuẩn tắc

G là nhóm t ối tiểu không p− −lũy linh nếu G là không là nhóm p − lũy linh và mọi

nhóm con thực sự của G đều là p − lũy linh

Nhận xét Cho P là p − một nhóm con Sylow của G Nếu G=PO p'( )G thì G có một

p− phần bù chuẩn tắc Thật vậy, nếu G =PO p'( )G thì O p'( )G là ph ần bù của p − nhóm con Sylow P

1.6.4 Định lý [6, Định lý 9.1.7]

Cho G là một nhóm hữu hạn giải được Khi đó:

i) M ọi π − nhóm con c ủa G đều chứa trong một π − nhóm con Hall c ủa G

ii) T ất cả các π − nhóm con Hall c ủa G đều liên hợp với nhau

Cho G là một nhóm hữu hạn giải được và N là một nhóm con Hall cấp k của G Khi

đó N là nhóm con Hall cấp k duy nhất của G nếu và chỉ nếu N G 

Ch ứng minh

Theo định lý 1.6.4 thì mọi nhóm con Hall cấp k của G đều liên hợp với nhau nên ta có

1.6.8 M ệnh đề

Cho G là một nhóm hữu hạn Khi đó G lũy linh nếu và chỉ nếu G là p − lũy linh với

m ọi số nguyên tố p

Ch ứng minh

Giả sử G lũy linh, ta chứng minh G có ' p − nhóm con Hall chuẩn tắc Gọi P là p −

nhóm con Sylow của G Khi đó theo định lý 1.6.4 thì G có một ' p − nhóm con Hall H Ta

chứng minh H là nhóm con chuẩn tắc của G Giả sử H không là nhóm con chuẩn tắc của

G Khi đó tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho N G(H)≤M < , theo mệnh đề G

1.6.5 thì M tự chuẩn hóa trong G , nghĩa là N G(M)=M Mặt khác vì G lũy linh nên theo

mệnh đề 1.4.5 thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa, do đó M < N G(M)≤ (vô lý) Vậy H G G  ,

các số nguyên tố khác nhau, ∀ =i 1, 2, m Do G là p i − lũy linh nên G= P N i i trong đó P i

là p i − nhóm con Sylow của G , N là ' i p i − nhóm con Hall chuẩn tắc Theo định lý 1.6.6, G

giải được Khi đó N là ' i p i − nhóm con Hall duy nhất của G theo mệnh đề 1.6.7 Do đó với

mỗi i∈{1, 2, , }m , ta có P i ≤N j,∀ ≠ Suy ra j i P i ≤j∈{1, , }\{ }m i N j,∀ =i 1, ,m Mặt khác {1, , }\{ }

Cho G là nhóm không p− −lũy linh tối tiểu với p là số nguyên tố Khi đó:

i) M ọi nhóm con thực sự của G đều lũy linh

ii) G=PQ trong đó P là p − nhóm con Sylow của G và Q là q − nhóm con Sylow xyclic c ủa G

iii) N ếu p > thì s2 ố mũ của P là p Nếu p = thì P có s2 ố mũ lớn nhất là 4

1.7 Nhóm siêu giải được

1.7.1 Định nghĩa nhóm siêu giải được

Nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy các nhóm con chuẩn tắc

sao cho là nhóm xyclic với mọi i,

1.7.2 M ệnh đề [5, 1.5 (b)]

Cho G là nhóm siêu gi ải được Khi đó G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm xyclic

c ấp vô hạn hay có cấp nguyên tố (Trường hợp nếu G hữu hạn, siêu giải được thì G có một

1.7.3 M ệnh đề [5, Hệ quả 3.2]

Cho G là nhóm siêu gi ải được

i) N ếu là ước nguyên tố lớn nhất của thì G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm con Sylow và có ph ần bù trong G

-ii) N ếu là ước nguyên tố nhỏ nhất của thì G có m ột nhóm con là -nhóm con Sylow và có ph ần bù chuẩn tắc trong G

Cho G là nhóm N ếu N G  , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các số

hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic thì N được gọi là nhóm

G − siêu gi ải được