Phép quay và ứng dụng của nó vào bài toán chứng minh trong không gian

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về phép quay trong không gian và ứng dụng của nó vào một số lớp bài toán chứng minh cơ bản.. Chương 3: Ứng dụng của phép quay trong không gian vào bài to

PHẦN A: MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học không gian là một trong những môn học khó của chương trình toán phổ thông bởi ngoài tính chặt chẽ, logic nó còn đòi hỏi tính trừu tượng hóa cao Đặc biệt phép biến hình là một phần kiến thức tương đối khó đối với học sinh Các phép biến hình có vai trò vô cùng quan trọng, nó không chỉ cung cấp thêm một công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự vật hiện tượng xung quanh trong sự vận động và biến đổi

Phép biến hình trong không gian có liên hệ chặt chẽ với phép biến hình trong mặt phẳng Nhiều bài toán trong không gian có thể suy ra từ các bài toán trong mặt phẳng Phép biến hình trong không gian là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học không gian Tuy nhiên các khái niệm, định nghĩa, định lí về phép biến hình được đề cập ở chương trình toán phổ thông mới chỉ giới hạn trong mặt phẳng mà chưa được mở rộng ra không gian Vì những lí do trên, thêm vào đó là sự say mê, yêu thích môn hình nên tôi đã quyết định lựa chọn nghiên cứu về phép biến hình trong không gian Do khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp, do thời gian và năng lực còn có hạn nên tôi chỉ đi sâu nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó vào bài toán chứng minh Đó chính là lí do tôi chọn đề tài:

“Phép quay và ứng dụng của nó vào bài toán chứng minh trong không gian”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về phép quay trong không gian và ứng dụng của nó vào một

số lớp bài toán chứng minh cơ bản

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Trình bày cơ sở lý thuyết của phép quay trong không gian

- Trình bày về phép quay quanh trục trong không gian

- Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép

quay vào 3 lớp bài toán chứng minh cơ bản:

+ Chứng minh quan hệ vuông góc và quan hệ song song

+ Chứng minh đẳng thức hình học

+ Chứng minh bất đẳng thức hình học

Và một số bài toán chứng minh khác

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lí luận, sử dụng các công cụ toán học

5 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Phép quay trong không gian

Chương 3: Ứng dụng của phép quay trong không gian vào bài toán chứng minh

biến hình Ta gọi đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f (hay là

nghịch đảo của phép biến hình f)

Định nghĩa 4

Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f2 Id

Dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo 1

f của nó trùng nhau

1.2 TÍCH CỦA HAI PHÉP BIẾN HÌNH

Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho Khi đó ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh từ T vào T nên tích đó cũng là phép biến hình

của T Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g

1.3 PHÉP BIẾN HÌNH AFIN

1.3.1 Định nghĩa

Phép biến hình của không gian Ơclit E3 biến đường thẳng thành đường

thẳng gọi là phép biến hình afin gọi tắt là phép afin

1.3.2 Tính chất

a) Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng

b) Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng

c) Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng d) Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ

e) Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

1.3.3 Phân loại

+ Trong E 2, hai tam giác: ∆ABC và ∆A’

B’C’ được gọi là cùng chiều nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến

b) Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc phẳng

c) Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn (trong E 2), biến mặt cầu thành mặt cầu (trong E 3)

1.4.3 Điều kiện xác định phép đẳng cự

a) Trong E2, phép đẳng cự được xác định bởi hai tam giác bằng nhau b) Trong E 3, phép đẳng cự được xác định bởi hai tứ diện bằng nhau Trong đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau

1.4.4 Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1 Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu

CHƯƠNG 2: PHÉP QUAY TRONG KHÔNG GIAN

2.1 ĐỊNH HƯỚNG TRONG MẶT PHẲNG

2.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay:

chiều quay cùng chiều kim đồng hồ và chiều ngược lại Nếu chọn một trong hai chiều quay đó làm chiều dương thì chiều ngược lại là chiều âm và khi đó

ta nói mặt phẳng đã được định hướng

Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ làm chiều dương

Hình 1

2.1.2 Góc định hướng giữa hai tia

Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng ta gọi góc định hướng giữa

hai tia Ox, Oy lấy theo thứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay theo một chiều

xác định để đến trùng với vị trí của tia Oy

Góc định hướng đó được kí hiệu là Ox, Oyuuur uuur Trong đó Ox gọi là tia đầu, Oy gọi là tia cuối của góc Số đo của góc đó là dương hay âm tùy theo tia đầu quay xung quanh điểm O để cho nó trùng lên tia cuối theo chiều dương của mặt phẳng

( ) (+)

o

Hình 2.a Hình 2.b

Trong hình 2.a thì Ox, Oyuuur uuur

Trong hình 2.b thì Ox, Oyuuur uuur

Cho các tia OA1, OA2, OA3,…, OAn trong mặt phẳng định hướng ta có

hệ thức Salơ như sau:

2.2 ĐỊNH HƯỚNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian cho đường thẳng ∆ đã được định hướng Xung quanh ∆

sẽ có hai chiều quay Nếu ta chọn một chiều là chiều dương, một chiều là chiều âm thì ta nói rằng ta đã định hướng được không gian

2.3 PHÉP QUAY QUANH TRỤC TRONG KHÔNG GIAN

2.3.1 Định nghĩa

Trong không gian E3, cho trục d và góc phẳng định hướng φ ( 0 0

Phép biến hình của E3 cho ứng mỗi điểm M với điểm M' thỏa mãn:

a) Hai điểm M, M' nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với d tại O b) OM OM '

c) Nếu chiều dương của mặt phẳng (P) là chiều dương của vặn nút chai tiến theo chiều dương của trục d thì OM, OM 'uuuur uuuur

Gọi là phép quay trong không gian quanh trục d, góc quay φ

+ Hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) là B1 Thực hiện phép quay quanh

tâm O với góc quay φ biến A thành A’ và B1 thành B2 Trong đó O là giao

điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng d

+ Hình chiếu của B1 trên mặt phẳng (Q) là B’ Các điểm A’, B’ là ảnh cần

Giả sử N1 sao cho ONuuuur1 INuur

Khi đó ON1 thuộc giao tuyến của mặt phẳng (γ) qua N và d với mặt phẳng (α)

1 1

ON , ON

uuuur uuuur

Ta có: MNuuuur MO OI INuuuur uur uur

⇒ 2 2 2 2

MN MO OI IN 2 MO.OI MO.IN OI.INuuuur uur uuuur uur uur uur (1) Tương tự: ' ' ' '

M N M O OI IN uuuuur uuuur uur uuur ⇒ ' '2 ' 2 2 '2

uuuuruur uuuur uuur uur uuur

uuuur uuur uuuur uuuur

vì độ dài bằng nhau và các góc định hướng ' '

uuuur uuuur uuuur uuuur

2.3.3 Các cách cho 1 phép quay quanh trục

Từ định nghĩa phép quay quanh trục trong không gian ta thấy phép quay quanh trục d góc quay φ có thể cho bởi trục quay và góc quay hoặc trục quay

2.4 DẠNG CHÍNH TẮC

Định lý 2.4.1

Phép đẳng cự trong En n 2, 3 sẽ được phân tích thành tích không

quá (n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng

a) Giả sử Avà A ' phân biệt

Xét u là đường trung trực của AA' GọiB , C1 1 là ảnh của B, C qua phép đối xứng trục Su còn S u A A '

(1a) Nếu B , B ' 1 không trùng nhau:

A C

Giả sử C 1 C ', ta xét v là trung trực của của B B '1 Do AB A ' B 1 A ' B '

nên A ' nằm trên v Rõ ràng S v biến A ', B 1 thành A ', B' Gọi Sv C1 C2 Khi

đó, nếu C2 C ' ta có f S Sv u Ngược lại ta có A ', B'nằm trên đường trung trực t của C C '2 Xét St ta sẽ có: f S S St v u

Giả sử C 1 C ' khi đó A ', C ' nằm trên đường trung trực v của B B ' 1 và

v u

(2a) Nếu B , B '1 trùng nhau

Giả sử C 1 C ' Xét t là trung trực của C C ' 1 thì f S S t u

Vì phép dời hình trong E3 có điểm bất động là phép quay quanh trục nên

Phép dời hình trong E 3 khác phép tịnh tiến có thể phân tích bằng vô số

cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến hoặc theo thứ tự ngược lại là tích của một phép tịnh tiến và một phép quay

Chứng minh Giả sử f là phép dời hình của E3 Lấy điểm A của E 3 Đặt f A A '

Xét phép tịnh tiến T TAA'uuuur Ta có: 1 1

Định lý 2.4.4

Phép dời hình trong E 3 không phải là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy

nhất dưới dạng một phép dời hình xoắn ốc

Chứng minh

*) Theo định lý 2.4.3 nếu f là phép dời hình trong E 3 khác phép tịnh tiến ta

có thể phân tích: f T Q d, ar

Ta sử dụng định lý: Trong E 3 tích của một phép tịnh tiến với vectơ tịnh

tiến khác vectơ 0r và một phép quay quanh trục là một phép dời hình xoắn ốc

*) Ta chứng minh sự duy nhất như sau:

Giả sử có 2 cách phân tích như trên:

r // a '

ur

Giả sử M E 3 và f M M ' ta có biểu diễn:

MM'uuuuur MN NM'uuuur uuuuur, ở đó MNuuuur d và uuuuurNM ' // d

Rõ ràng trong cách biểu diễn f T Q Q T thì ar NM 'uuuuur

Tương tự ta có: a 'ur uuuuurNM' Vậy ar a 'ur hay T T' suy ra Q Q '

Tính duy nhất của cách biển diễn được chứng minh (đpcm)

Định lý 2.4.5

Trong không gian E 3:

a) Tích của một phép đối xứng mặt và một phép quay quanh trục giao hoán được khi và chỉ khi trục phép quay vuông góc với mặt phẳng đối xứng

và tích này được gọi là phép đối xứng quay

b) Tích của một phép đối xứng mặt và một phép tịnh tiến giao hoán được khi và chỉ khi vectơ tịnh tiến song song với mặt phẳng đối xứng và tích này được gọi là phép đối xứng trượt

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY TRONG KHÔNG

GIAN VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH 3.1 BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B là đúng trong đó A là giả thiết, B là kết luận

Bài toán chứng minh được chứa trong hầu hết các bài toán hình học như: bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích

Để giải bài toán chứng minh ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, tính chất, định lý của đối tượng toán học để đi đến kết luận

3.2 SỬ DỤNG PHÉP QUAY QUANH TRỤC VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Để chứng minh một bài toán hình không gian sử dụng phép quay

quanh trục ta cần chọn ra một hoặc nhiều mặt phẳng vuông góc với trục quay

và chứa các đối tượng hình học đang xét Trong mặt phẳng đã chọn ta tiến hành giải bài toán bằng phép quay quanh một điểm và kết hợp các kết quả thu được để tìm ra lời giải cho bài toán

Tổng quát, để giải một bài toán chứng minh sử dụng phép quay quanh trục ta thường tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Xác định yêu cầu bài toán

Bước 2: Xác định phép quay quanh trục (xác định trục quay và góc quay) Bước 3: Thực hiện phép quay quanh trục

Bước 4: Đưa ra kết luận bài toán

3.3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH TRONG KHÔNG GIAN VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Bài toán

Chứng minh rằng mọi mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng nối trung điểm

của hai cạnh đối diện của một tứ diện đều thì chia tứ diện đều thành 2 phần có

Quay mặt phẳng cắt quanh trục MN một góc 0

180 Ta có:

0

180 MN

PD

Vì điểm P CDnên qua

o 180 MN

Q điểm P biến thành một điểm thuộc AB Mặt khác P là điểm thuộc mặt cắt nên P phải biến thành 1 điểm của mặt phẳng này Ta thấy Q là điểm vừa thuộc AB vừa thuộc mặt phẳng cắt Vậy Q

là ảnh của P qua phép quay 180o

MN

Q Như vậy:

o 180 MN

Xét tứ diện đều ABCD:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh đối diện AB và CD Mặt phẳng (P) qua M, N cắt AC ở E, cắt BD ở F (hình 8)

Khi đó, mặt phẳng (P) chia tứ diện thành hai phần:

+ Phần 1: Gồm 2 hình chóp DMENF và AMED

+ Phần 2: Gồm 2 hình chóp CMENF và BMFC

N C

I F

Vì BC MECB và FN MENF nên I MECB I MENF (4)

Mà ME MECB I MENF (5)

Từ (4) và (5) suy ra: I ME Vậy BC, ME, NF đồng quy tại I

Áp dụng định lý Mênêlauyt vào ΔABC và ΔDBC ta có:

Nhận xét : Một số bài toán nếu không sử dụng phép quay quanh trục

thì sẽ rất khó giải quyết hoặc không giải được Như vậy ta thấy phép quay

quanh trục trong E 3 là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học

không gian

3.3.1 Phép quay trong E3 với bài toán chứng minh quan hệ vuông góc

và quan hệ song song

' P

M M

'

P

O P

d

Trường hợp 2: d // (P) (hình 10)

Nếu d // (P) thì với O d O P

Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O xuống mặt phẳng (P)

Nếu ảnh M' M, M ' P OM ' OM (vô lý vì phép quay là phép đẳng

Lấy N P có ảnh là N ' P sao choNN 'cắt MM '.

Ta có d vuông góc với mặt phẳng (Q’) qua NN ' và vuông góc với d tại O1

d⊥NN '

Do d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong (P) nên d ⊥(P)

Vậy nếu Q (d, φ) biến (P) thành chính nó và 0 0

Khi đó ảnh (P’) của (P) sẽ song song với (P) mâu thuẫn với giả thiết (P)

biến thành chính nó Vậy không xảy ra trường hợp d // (P)

Trường hợp 3: d I P (chứng minh tương tự phần a)

Khi đó gọi M, M ' là hai điểm tương ứng nhau qua Đd

Ta có: d MM ' (vì d vuông góc với mặt phẳng chứa MM ')

(hình 12) Khi đó, MM’ nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với (d)

Như vậy (x) và (P) có điểm chung M và cùng vuông góc với (d) nên (x) (P)

Gọi (x’) là ảnh của (x) qua phép quay Q (d, 0

90 ) Vì (x’), (P) có điểm chung M’ và cùng vuông góc với đường thẳng (d) nên (x’) (P)

Vậy (x) và (x’) cùng thuộc mặt phẳng (P)

Phép quay trong mặt phẳng (P) với góc quay 0

90 biến đường thẳng (x) thành đường thẳng (x’) nên (x) cắt (x’) và (x) (x’) (đpcm)

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng nếu mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d và (P’)

là ảnh của (P) qua phép quay Q (d, 0

90 ) thì (P) (P’)

Chứng minh

Hình13 Gọi O là điểm bất kì trên đường thẳng d Chọn điểm M trong mặt phẳng (P) sao cho OM (P) (hình 13)

Gọi M’ là ảnh của M qua phép quay Q (d, 0

90 ) Khi đó: O, M, M’ nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d) tại O và OM OM’ hay ta có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra OM’ là pháp tuyến của mặt phẳng (P’)

Theo chứng minh trên OM OM’ nên (P) (P’) (đpcm)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện đều ABCD Phép quay xung quanh AB, BC, CA biến điểm D thành D1, D2, D3 nằm trong mặt phẳng (ABC) và về phía ngoài ∆ABC Chứng minh rằng ∆D1D2D3 đều và các cạnh của nó song song với các cạnh của

∆ABC

Chứng minh

Hình 14

Vì ABCD là tứ diện đều nên: AB = BC = CA = AD = BD = CD (1)

Kí hiệu: QAB, QBC, QCA lần lượt là các phép quay quanh AB, BC, CA và

D1, D2, D3 lần lượt là ảnh của D qua các phép quay trên sao cho D1, D2, D3

nằm trong mặt phẳng (ABC) và về phía ngoài ∆ABC (hình 14)

Do trục quay nằm trong mặt phẳng trung trực nối ảnh và tạo ảnh của phép quay nên ta có: