Khoá luận tốt nghiệp phép quay và ứng dụng

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học trong không gian E71.. Trong mặt phẳng cho điểm o thì xung quanh o có hai chiều quay; nếu

Trang 1

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 3

N hân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân th à n h tới gia đình, b ạ n bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em tro n g suốt quá trìn h học tậ p và thực hiện đề tà i thực tậ p này.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N g u y ễ n T h ị L ụ a

Trang 4

LỜI C A M Đ O A N

K hóa luận tố t nghiệp này là kết quả của qu á trìn h học tậ p , nghiên cứu của em dưới

sự chỉ bảo, dìu d ắ t của các th ầ y cô giáo, đặc b iệt là sự hướng dẫn n hiệt tìn h của th ầy Nguyễn N ăng Tâm

Em xin cam đoan K h óa luận tố t nghiệp với tên đề tài: "Phép quay và ứng dụ n g "

không có sự trù n g lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N g u y ễ n T h ị L ụ a

Trang 5

M ụ c lục

1.1 Không gian ơ c l i t 3

1.2 Định h ư ớ n g 3

1.2.1 Định hướng trên đường t h ẳ n g 3

1.2.2 Định hướng trong mặt p h ẳ n g 4

1.2.3 Định hướng trong không g i a n 7

1.3 Phép biến h ì n h 9

1.3.1 Các khái niệm về phép biến h ì n h 9

1.3.2 Phép biến hình a fin 10

1.3.3 Phép biến hình đẳng c ự 12

2 Phép Quay 14 2.1 Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Tính c h ấ t 15

2.2 Phép quay quanh trục trong không gian 20

2.2.1 Định nghĩa 20

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa

2.2.2 Tính c h ấ t 20

2.3 Phép quay quanh (n — 2)- p h ẳ n g 22

3 ứ n g dụng phép quay vào giải một số bài toán hình học 23

3.1 Phép quay và bài toán tính to á n 233.1.1 Bài toán tính t o á n 233.1.2 Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình 233.2 Phép quay và bài toán quỹ t í c h 273.2.1 Bài toán quỹ t í c h 273.2.2 Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình 283.3 Phép quay với bài toán dựng h ìn h 323.3.1 Bài toán dựng h ìn h 323.3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 333.4 Phép quay với bài toán chứng m in h 383.4.1 Bài toán chứng m in h 383.4.2 Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình 39

Trang 7

Lời m ở đ ầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác Bất kì một sinh viên khoa toán nào cũng đều

có niềm say mê nghiên cứu toán học

Hình học là môn học khó đối với bất kì sinh viên nào, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trìu tượng của hình học cao hơn các môn học khác Các phép biến hình sơ cấp là một phần khá hay và quan trọng của hình học, nó là một công cụ hữu ích, thể hiện tính ưu việt trong giải toán hình học

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng linh hoạt trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán quỹ tích Tuy nhiên, việc ứng dụng phép quay để giải các bài toán đó không phải việc dễ dàng Bằng những kiến thức đã học cùng với sự say mê, tìm tòi, ham học hỏi và niềm yêu thích môn hình học nên em đã lựa chọn nghiên cứu một mảng nhỏ của hình

học với tên đề tài: “Phép quay và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học trong không gian E71

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay

Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa+ Các VÍ dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc giải các lớp bài toán hình học cơ bản và nâng cao.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phép quay

+ Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện về trình độ và thời gian, em chỉ nghiên cứu một số bài toán hình học cơ bản có thể áp dụng phép quay trong quá trình giải

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết về phép quay

+ Nghiên cứu sách giáo trình hình học, các tạp trí toán học và các tài liệu có liên quan đến phép quay

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần

Mở đầu

Nội dung gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép quay

Chương 3: ứng dụng của phép quay vào giải một số bài toánhình học

Kết luận

Trang 9

Không gian ơclit thường được kí hiệu là E, không gian véctơ ơclit

liên kết với nó được kí hiệu là Ê.

Ví dụ: Không gian ơclit thông thường E3 học ở phổ thông

Trang 10

Đ ộ d à i đ ạ i số

Cho đường thẳng a có định hướng và hai điểm A, B thuộc a Ta gọi

độ dài đại số của AB, kí hiệu là AB là một số có trị số là khoảng cách giữa hai điểm A và B mang dấu dương nếu AB cùng hướng với hướng dương của a, mang dấu âm trong trường hợp ngược lại.

Trong mặt phẳng cho điểm o thì xung quanh o có hai chiều quay;

nếu ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm, thì ta nói rằng ta đã định hướng được mặt phẳng

Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh o ngược chiều kim

đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm

G ó c đ ịn h h ư ớ n g g iữ a h a i t ia

Cho hai tia OA, OB Góc định hướng giữa hai tia OA và OB là hình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phân

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụahoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta qui ước tia nào

là gốc(tia đầu) Tia nào là tia cuối

Kí hiệu: (ÕÃ, ÕB) hay (OA,OB).

Dễ thấy với hai tia OA và OB có hai góc định hướng tạo bởi hai tia

Nhận xét: Nếu a là một giá trị của góc định hướng tạo bởi hai tia OA

*Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b.

Nếu a n b = o thì mỗi đường thẳng bị o chia làm hai tia và ta định

nghĩa:

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị LụaGóc định hướng giữa hai đường thẳng a và 6 là góc định hướng giữa

hai tia ũị và bị (i=l,2).

Kí hiệu: (a,b)

* Trong không gian:

Nếu a không cắt b (chéo nhau hoặc song song) thì ta xét hai tia cùng

xuất phát từ một điểm trong không gian theo thứ tự song song với các đường thẳng đã cho Khi đó đối với những góc do chúng tạo thành, có thể chứng minh được rằng: với mọi cách chọn điểm và tia như vậy, ta luôn có hoặc là những góc bằng nhau hoặc là những góc bù nhau thành một góc bẹt hay đầy Một đại diện bất kì của lớp vô số các góc phẳng tạo thành bằng cách đó được xem là góc giữa hai đường thẳng đã cho.Vậy: góc định hướng giữa hai đường thẳng không cắt nhau là góc định hướng giữa hai tia xuất phát từ một điểm chung theo thứ tự song song với các đường thẳng đã cho

*Nhận xét: Nếu a là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b thì các giá trị a' của nó có dạng:

a' = a + kĩĩ (k € Z)

*Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường

thẳng ữi, a2, , an cắt nhau tại o Khi đó ta có:

(«1, «2) + (ữ2i «3) + • • • + (Un—1, ữn) = (ữi, an) + kĩĩ

Trang 13

1.2.3 Định hướng trong không gian

Tập hợp hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng phân hoạch không gian ra làm hai phần Góc nhị diện là tập hợp hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng và một trong hai phần của không gian do hai nửa mặt phẳng đó phân hoạch ra Đường giới hạn gọi

là cạnh của nhị diện

Góc phẳng nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh nhị diện còn cạnh của nó nằm trên(thuộc) các mặt của góc nhị diện và tương ứng đều vuông góc với các cạnh của nhị diện

+ Góc nhị diện định hướng

Góc nhị diện định hướng là góc có phân biệt thứ tự các mặt

Trang 14

G ó c ta m d iệ n đ ịn h h ư ớ n g

+ Góc đa diện(góc đa diện hai chiều)

Góc đa diện là một tập hợp sắp thứ tự gồm một số hữu hạn các góc

phẳng có định hướng A ị S A 2, A2S A 3, , AnSAị, cùng chung một đỉnh,

sắp xếp trong không gian sao cho cạnh cuối của mỗi góc là cạnh gốc của góc đi liền sau và cạnh cuối của góc đi sau cùng trùng với cạnh gốc của góc đầu tiên

Các góc phẳng tạo nên góc đa diện gọi là các diện của nó, đỉnh chung

củ chúng gọi là đỉnh góc đa diện, các cạnh của chúng gọi là các cạnh của góc đa diện

Góc đa diện gọi là đơn (không tự cắt) nếu mỗi điểm của nó, ngoài đỉnh ra, hoặc là thuộc chỉ một diện, hoặc là chỉ thuộc hai diện khi là điểm trên cạnh chung hai diện đó

Góc đa diện không đơn gọi là góc đa diện sao

+ Góc đa diện ba chiều

Có thể chứng minh được rẳng mỗi góc đa diện đơn là (hai chiều) phân

Trang 15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụahoạch không gian thành hai phần Góc đa diện đơn hai chiều cùng với một trong hai phần đó được gọi là góc đa diện đơn ba chiều.

+ Góc tam diện định hướng

Góc đa diện có ba mặt gọi là góc tam diện

Cho góc tam diện 0(x,y,z) Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A,

B, c và theo chiều A—»B—»c Ta định hướng mặt phẳng (ABC) và phía của không gian chứa nó

Góc tam diện 0(x,y,z) là âm hay dương tùy theo chiều A—>B—>c là

âm hay dương (ta chọn chiều quay theo chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương) Khi đó ta nói rằng góc tam diện 0(x,y,z) đã được định hướng

Nhận xét: Góc tam diện không đỏi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh

ba tia

Góc tam diện sẽ đổi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh hai trong ba tia

1.3 P h é p b iến h ìn h

1.3.1 Các khái niệm về phép biến hình

Định nghĩa 1.1 Một song ánh f : En —» En được gọi là một phép biến hình của En.

Định nghĩa 1.2 Giả sử f và g là hai phép biến hình của En đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của En vào En Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g.

Trang 16

Định nghĩa 1.3 Phép biến hình f của En được gọi ỉà phép biến hình đối hợp nếu p = Id, dễ thấy lúc đó ta có Ị và phép biến hình nghịch đảo của Ị là / -1 trùng nhau.

Ví dụ: Phép quay quanh một điểm; phép quay quanh trục

Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình f của En Điểm M G En được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình Ị nếu

f ( M) = M.

Định nghĩa 1.5 Cho phép biến hình f của En Hình H bộ phận của En

được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có f ( H ) = H Hình

H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình ĩ nếu ta có mọi điểm của H bất động đối với f.

Định nghĩa 1.6 Cho f và g là hai phép biến hình của En Phép biến hình h=g-fg~1 gọi là phép biến đổi của phép biến hình f bởi phép biến hình g.

f biến đường thẳng thành đường thẳng Do vậy nó biến ba điểm thẳng

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụahàng thành ba điểm thẳng hàng.

Xét bộ ba điểm A, B, c không thẳng hàng của En và gọi A',B', C' tương

ứng là ảnh của A, B, c qua f Ta phải chứng minh A ',B ': C' không thẳng hàng Ta chứng minh phản chứng Giả sử A',B',C' thẳng hàng, ta có f

là phép afin nên f biến đường thẳng AB thành đường thẳng A'B' Vậy tồn tại D nằm trên A B để f(D)=C" Do D , c phân biệt điều này vô lý

do f(D)=C"=f(C) và f là song ánh

Điều này vô lý nên ta kết luận: A',B', ơ không thẳng hàng.

Ngược lại: Nếu f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng được

T ín h c h ấ t

Tính chất 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng Tính chất 2: phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng Tính chất 3: Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng

Tính chất 4: Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

Trang 18

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Lụa

+ Trong E2, phép đẳng cự xác định bởi hai tam giác bằng nhau

+ Trong E3, phép đẳng cự xác định bởi hai tứ diện bằng nhau Trong

đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau

Trang 19

P h â n lo ạ i

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1 Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu

Trang 20

OM = OM1 và (OM, OM') = a gọi là phép quay tâm o với góc quay

Oi Kí hiệu: Q q hoặc Q(0,a).

Ta thường chọn a sao cho — 7T < a < 7T.

* Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(0, à) nếu a = 0 nó trở thành phép đồng nhất, còn nếu a = lĩ hoặc a = — 7T thì nó là phép đối xứng

tâm o

Trang 21

Trang 22

(AB, A'B') = a.

- Trường hợp A và B không trùng với o Trong trường hợp này ta có {ÓẤÀDA') = {ÓB^OB') = a, OA = OA',OB = OB'.

Theo hệ thức Sáclơ đối với góc định hướng ta có

( ơ X o B ) + { 0 ^ 0 A') = {0'B^OA') = (ÓẤ^ÕB') (ÓẤ^OB)+(OẤÃOB').

Ta thấy A AOB — AOA'B'(c.g.c), do đó AB = A'B' Gọi s là gốc chung của hai tia cùng chiều với các tia AB và A'B' Vì bốn điểm

o, B, s , B' (hoặc o, A, s, A') cùng nằm trên một đường tròn, nên

Nếu Mị, M2 có cùng một ảnh là điểm M' thì Q ( 0 , —a ):

M' ^ M UM' ^ M2.

Khi đó OMị = OM2.

(ỠM7, ÕMi) = (ÕM ĩì ÕM2) = -OL.

Trang 23

*Hệ quả: Phép quay Q ( 0 , a ) biến:

• Một đường thẳng d thành đường thẳng d' và góc định hướng (d, d') bằng a, d _L d' khi OL = ±90°.

• Biến tia S x thành tia S 'x' và góc tạo bởi hai tia đó bằng a.

• Biến đoạn PQ thành đoạn P'Q' và PQ = P'Q'.

• Biến góc x S y thành góc x'S 'y' và hai góc x S y = x 'S 'y '.

• Biến đường tròn (/, R ) thành đường tròn ự', R !).

Trang 24

BỔ đề: Tích của hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay quanh

giao điểm với góc quay 2(ã, a') (a và a' là hai trục)

an a' = I,Đ„ o Đ„ =

Chứng minh

M = I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

Trang 25

ị M' = I

\ m " = 1 Vậy I là điểm bất động của Q — Đu/ o Đa

Nếu M ^ I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có

< I M = I M ’ = IM"

{ Ĩ M, Ĩ M") = (7 m , 7 m ĩ) + Ợ M , Ĩ M " ) = 2(õ, õ7)

Chứng minh tính chất:

Gọi b là đường thẳng qua o và O'

Dựng đường thẳng a qua o và (a, b) = —

Dựng đường thẳng a' qua O' và (6, a') =

Trang 26

= > Qo' ° Q o = ° Đ a = Ql

*Chú ý: A 1 0 0 ' thường được gọi là tam giác quay.

2.2 P h é p q u ay q u a n h trụ c tr o n g k h ô n g gian

2.2.1 Định nghĩa

Trong không gian E3 cho trục d và góc phẳng định hướng

ụ> (0° < (f < 180°) Phép biến hình của E3 cho tương ứng mỗi điểm M với điểm M' thỏa mãn:

• Hai điểm M , M' nằm trên mặt phẳng (p ) vuông góc với d tại o.

• OM = OM'

• Nếu chiều dương của mặt phẳng (p) là chiều quay của vặn nút chai

tiến theo chiều dương của trục d thì (Oill, OM') = ÍỌ

gọi là phép quay trong không gian quanh trục d, góc quay ip Kí hiệu Q{d,(f).

2.2.2 Tính chất

P h é p q u a y Q(d,ip) là p h é p dờ i h ìn h

Chứng minhThật vậy:

Xét cặp điểm bất kỳ M ,N Xét phép quay Q(d, <p):

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,41 MB