Phép đồng dạng và ứng dụng

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này nhằm: • Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn và áp dụng tốt hơn phép đồng dạng vào giải các bài toán.. • Phạm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Hồng Hạnh

PHÉP ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Hồng Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm đề tài "Phép đồng dạng và ứng dụng" đượchoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác Trong quá trìnhhoàn thành đề tài, em đã thừa kế những thành tựu của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Hồng Hạnh

LỜI MỞ ĐẦU 1

1.1 Không gian afin 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Tọa độ afin 5

1.2 Ánh xạ afin và biến đổi afin 6

1.2.1 Ánh xạ afin 6

1.2.2 Đẳng cấu afin Biến đổi afin 6

1.3 Không gian Euclide 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Mục tiêu trực chuẩn 8

1.3.3 Khoảng cách trong En 8

1.3.4 Góc trong En 9

1.4 Định hướng 11

1.4.1 Mặt phẳng định hướng 11

1.4.2 Góc định hướng giữa hai tia 11

1.4.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 11

1.4.4 Định hướng trong không gian 12

1.5 Phép biến hình 13

1.5.1 Định nghĩa 13

1.5.2 Điểm bất động, hình bất động của phép biến hình 14 1.5.3 Phép biến hình đảo ngược 14

1.5.4 Phép biến hình đối hợp 15

1.5.5 Tích các phép biến hình 15

Kết luận 16 2 PHÉP ĐỒNG DẠNG 17 2.1 Ánh xạ tuyến tính đồng dạng 17

2.2 Định nghĩa 18

2.3 Các trường hợp đặc biệt và tính chất 18

2.4 Phân loại các đồng dạng 22

2.5 Hình học của nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 23

2.5.1 Khái niệm hai hình đồng dạng 23

2.5.2 Định lý 23

2.5.3 Hình học của nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 24 Kết luận 24 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 25 3.1 Dạng 1: Bài toán quỹ tích 25

3.1.1 Quỹ tích và bài toán quỹ tích 25

3.1.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng 26

3.1.3 Ví dụ về bài toán quỹ tích 27

3.1.4 Nhận xét chung 33

3.1.5 Bài tập tự luyện 34

3.2 Dạng 2: Bài toán dựng hình 35

3.2.1 Bài toán dựng hình 35

3.2.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép đồng dạng 35

3.2.3 Ví dụ về bài toán dựng hình 36

3.2.4 Nhận xét chung 42

3.2.5 Bài tập tự luyện 43

3.3 Dạng 3: Chứng minh các tính chất hình học 43

3.3.1 Bài toán chứng minh 43

3.3.2 Giải bài toán chứng minh nhờ phép đồng dạng 44

3.3.3 Ví dụ về bài toán chứng minh 45

3.3.4 Nhận xét chung 49

3.3.5 Bài tập tự luyện 49

3.4 Dạng 4: Tính toán các đại lượng hình học 50

3.4.1 Bài toán tính toán 50

3.4.2 Giải bài toán tính toán nhờ phép đồng dạng 51

3.4.3 Ví dụ về bài toán tính toán 51

3.4.4 Nhận xét chung 55

3.4.5 Bài tập tự luyện 55

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một vấn đề khó đối với học sinh, bởi hình học là mônhọc có tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng hóa cao Với một bài toánhình học ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau, trong đó ta có thể

sử dụng phép biến hình Trong nhiều trường hợp giải bài toán hình học

sử dụng phép biến hình cho ta cách giải đơn giản hơn, lời giải ngắn gọnhơn và cho ta cái nhìn tổng quát hơn về bài toán

Phép đồng dạng là một trong những phép biến hình tiêu biểu và cónhiều ứng dụng trong hình học Vậy: phép đồng dạng được ứng dụngnhư thế nào trong giải toán hình học? Được sự gợi ý của thầy giáo hướngdẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm và muốn trả lời một phần cho câuhỏi trên em mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phép đồng dạng và ứngdụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

• Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu

rõ hơn và áp dụng tốt hơn phép đồng dạng vào giải các bài toán

• Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số dạng toán

như: bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán chứng minh,bài toán tính toán.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Phép đồng dạng

• Phạm vi: Phép đồng dạng và một số bài toán của hình học trong

En: bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán chứng minh,bài toán tính toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu lý luận nội dung phép đồng dạng trong En

• Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để giải một số lớpbài toán hình học: bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toánchứng minh, bài toán tính toán

5 Phương pháp nghiên cứu

• Phân tích tài liệu liên quan

• Tổng kết kinh nghiệm giải toán

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo cấutrúc luận văn gồm có

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2: Phép đồng dạng

• Chương 3: Ứng dụng của phép đồng dạng giải một số bài toán hìnhhọc

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Vũ Thị Hồng Hạnh

1 Với mọi điểm M ∈ A và mọi vecto−→u ∈ V ,có duy nhất điểm N ∈ Asao cho −−→M N = −→u.

2 Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có −−→M N +−−→

N P = −−→

M P.Không gian afin (A, ϕ, V ) còn gọi là không gian afin liên kết với khônggian vecto V , còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K-

không gian afin A) Không gian vecto liên kết V thường được kí hiệu là

−

→A

Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n.Khi K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực, khi

K = C, ta nói A là không gian afin phức

Ví dụ 1.1.1 Không gian Euclide hai chiều E2 và không gian ba chiều

E3 đã học ở trường phổ thông trung học là những không gian afin liênkết với không gian vecto (tự do) hai chiều, ba chiều ở phổ thông trunghọc

Tọa độ của điểm: Cho không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin{O : −→e1, −→e2, , −→en} Với mỗi điểm X ∈ A ta có −−→OX ∈ −→A và vì vậy códuy nhất n phần tử x1, x2, xn của trường K sao cho

1.2 Ánh xạ afin và biến đổi afin

Ánh xạ f như vậy gọi là ánh xạ hằng

Định lý 1.1 (Định lý cơ bản của ánh xạ afin giữa các không gian afinthực)

Cho A và A’ là các không gian afin thực n chiều (n > 1) và songánh f : A → A’ Nếu f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểmthẳng hàng thì f là phép afin

1.2.2 Đẳng cấu afin Biến đổi afin

Đẳng cấu afin: Ánh xạ afin f : A → A’ giữa hai không gian afin

A và A’ trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh.Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A → A từ không gian afin Alên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin

Ví dụ 1.2.2 Phép vị tự: Cho điểm O ∈ A và số k ∈ K\ {0} Xét ánh

xạ f : A → A biến mỗi điểm M thành M0 sao cho −−→OM0 = k−−→

OM Phép

f như thế gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Phép vị tự tâm O tỉ số k f : A → A là một biến đổi afin với ánh xạtuyến tính liên kết là −→f = kId− →

A.Thật vậy với mọi điểm M, N ∈ A,

A, k 6= 0, 1 thì f là phép vị tự tỉ số k Thật vậy f cóđiểm bất động O vì lấy I ∈ A Xét điểm O sao cho −→IO = 1−k1 −−−→

f(O)f (I) nên suy ra O = f (O)

Khi đó với mọi M ∈ A,−−−−→Of(M) = −−−−−−−→

Ví dụ 1.3.1 a) Không gian Euclide thông thường E3 học ở phổ thông.

b) Các không gian afin thực n chiều đều có thể trở thànhkhông gian Euclide n chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng chokhông gian vecto liên kết với không gian afin đã cho

1.3.2 Mục tiêu trực chuẩn

Mục tiêu afin {−→e1, −→e2, , −→e

n} của không gian Euclide n chiều En gọi

là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ tọa độ Đề các vuông góc) nếu cơ sở ε

={−→e1, −→e2, , −→en} của −→E là cơ sở trực chuẩn, tức −→ei.−→ej =δij

Tọa độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa độ trực chuẩn(hay tọa độ Đề các vuông góc)

Rõ ràng trong không gian Euclide n chiều En luôn luôn có thể tìmthấy những mục tiêu trực chuẩn

1.3.3 Khoảng cách trong En

• Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M, N của không gian Euclide n chiều En Khoảngcách giữa hai điểm đó, kí hiệu d(M, N), được định nghĩa là số

d(M, N ) = −−→M N q−−−→M N2 (1.2)

• Khoảng cách giữa hai phẳng

Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong không gian Euclide En,

• Góc giữa hai vecto

Góc giữa hai vecto −→u, −→v khác −→0 trong −→En, đó là số θ mà

0 ≤ θ ≤ π, cos θ = −→u −→v

k−→uk k−→v k (1.4)Nếu −→u, −→v phụ thuộc tuyến tính thì θ = 0 hoặc θ = π

Nếu −→u⊥−→v thì θ = π

2.Đối với ba điểm A, B, C bất kì ta có công thức:

BC2 = AB2

+ AC2

− 2AB.AC cos ∠A, trong đó ta dùng kí hiệu

M N để chỉ d(M, N), ∠A là góc giữa hai vecto −→AB, −→AC

• Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng a và b trong En với phương lần lượt là h−→ui

và h−→v i Góc giữa hai đường thẳng đó là số θ mà

0≤ θ ≤ π

2,cos θ =

−

→u −→vk−→uk k−→v k (1.5)

Dễ thấy rằng trong định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọncác vecto đại diện của các phương của hai đường thẳng a, b và

Nếu a k b thì θ = 0

Nếu a⊥b thì θ = π

2

• Góc giữa hai siêu phẳng

Cho hai siêu phẳng α và β, lấy hai đường thẳng a, b lần lượt trựcgiao với α và β Khi đó góc giữa hai siêu phẳng α và β là góc giữahai đường thẳng a và b

Rõ ràng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn hai đườngthẳng a và b lần lượt trực giao với α và β

• Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

Cho đường thẳng a và siêu phẳng β

Nếu a trực giao với β thì ta nói góc giữa a và β là góc vuông.Nếu a không trực giao với β thì ta lấy đường thẳng a0 trực giao với

β và xác định đc góc θ0 giữa hai đường thẳng a và a0 Khi đó gócgiữa a và β được xác định là góc θ mà θ ≥ 0 và θ = π

2 − θ0.Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho phương của a là h−→ui và vectophép tuyến của β là −→n thì

1.4 Định hướng

1.4.1 Mặt phẳng định hướng

Định nghĩa:Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có haichiều quay Nếu ta chọn một chiều là chiều dương và chiều còn lại làchiều âm thì ta nói rằng đã định hướng được mặt phẳng

Thông thường chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng

hồ là chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm

1.4.2 Góc định hướng giữa hai tia

Định nghĩa: Trong mặt phẳng định hướng, ta gọi góc định hướnggiữa hai tia có tia đầu Ox, tia cuối Oy Kí hiệu là (Ox, Oy) là góc thuđược khi quay Ox xung quanh O tới trùng Oy

Hệ thức Chasles: Cho các tia Ox1, Ox2, , Oxn trong mặt phẳngđịnh hướng ta có hệ thức Chasles:

(Ox1, Ox2) + (Ox2, Ox3) + + (Oxn −1, Oxn) = (Ox1, Oxn) + k2π(k ∈ Z)(1.7)

1.4.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a, b.Góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b với a là đường thẳng đầu,

b là đường thẳng cuối ,kí hiệu: (a, b) xác định như sau:

• Nếu a ∩ b = O thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và tađịnh nghĩa góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định

hướng giữa hai tia ai và bi (i = 1, 2)

• Trong không gian: nếu a không cắt b (chéo nhau hoặc song song)

là góc định hướng giữa hai tia xuất phát từ một điểm chung theothứ tự song song với các đường thẳng đã cho

Hệ thức Chasles: Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng

a1, a2, , an cắt nhau tại O Khi đó ta có:

(a1, a2) + (a2, a3) + + (an −1, an) = (a1, an) + kπ, k ∈ Z (1.8)1.4.4 Định hướng trong không gian

Không gian định hướng theo trục: Trong không gian cho trục a.Khi đó xung quanh trục a có hai chiều quay Đặt vặn nút chai theo trục

a sao cho mũi của vặn nút chai chỉ hướng dương Chiều quay của vặnnút chai tiến theo chiều dương của a được gọi là chiều dương của khônggian còn chiều ngược lại gọi là chiều âm của không gian Khi đó khônggian được gọi là định hướng theo trục a

Nhị diện định hướng: Cho nhị diện [α, a, β] Nhị diện định hướng

có diện đầu α, diện cuối β, kí hiệu [α, β] thu được khi quay α quanh trục

Như vậy cho một phép biến hình f : T → T là cho một quy tắc đểbất kì điểm M ∈ T ta tìm được điểm M0 = f (M) hoàn toàn xác địnhthỏa mãn hai điều kiện sau:

• Nếu M, N là hai điểm bất kì của T thì f(M), f(N) là hai điểmphân biệt của T

• Với một điểm M0 ∈ T bao giờ cũng có một điểm M ∈ T sao cho

f(M) = M0

f(M) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại M gọi

là tạo ảnh của f(M) qua phép biến hình f nói trên

Nếu H là một hình nào đó của T thì ta có thể xác định được tập hợp

f(H) ={f(M) = M|M ∈ T } Khi đó f(M) gọi là ảnh của H qua phép

biến hình f và H được gọi là tạo ảnh của hình f(M) qua phép biến hình

f đó

Ví dụ 1.5.1 a) Cho đường thẳng d ∈ T Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành M0 đối xứng với M qua d gọi là phép đối xứng trục Đườngthẳng d gọi là trục đối xứng Kí hiệu: Đd

1.5.3 Phép biến hình đảo ngược

Cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M0 Ta có f(M) = M0.Khi đó phép biến hình biến điểm M0 thành điểm M gọi là phép biếnhình đảo ngược của phép biến hình f đã cho

Kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f−1, f−1(M0) = M.

Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược

gọi là tích của hai phép biến hình f1 và f2 Kí hiệu f = f2◦ f1

Cũng như vậy tích f3◦ f2◦ f1 = f3◦ (f2◦ f1) là tích của các phép biếnhình (f2 ◦ f1) và f3 theo thứ tự đó; tích f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 là tích của cácphép biến hình (f3◦ f2 ◦ f1) và f4 theo thứ tự đó,v.v

Tính chất của tích các phép biến hình

• Kết hợp:f3 ◦ (f2 ◦ f1) = (f3 ◦ f2)◦ f1 = f3 ◦ f2 ◦ f1

• Nói chung, tích các phép biến hình không có tính chất giao hoán,

f2 ◦ f1 6= f1 ◦ f2 trong hầu hết các trường hợp

• Phép đồng nhất Id là phần tử đơn vị trong phép toán tích:

∀f : Id ◦ f = f ◦ Id = f

• Tích hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất

∀f : f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = IdSuy ra f ◦ f = Id ⇔ f = f−1 ⇔ là phép biến hình đối hợp

Ngoài ra phép biến hình đảo ngược của tích f2◦ f1 là tích f−1

Từ định nghĩa ta thấy ngay

• Mọi ánh xạ tuyến tính trực giao là ánh xạ tuyến tính đồng dạng (tỉ

số k = 1 )

• Tích những ánh xạ tuyến tính đồng dạng là một ánh xạ tuyến tínhđồng dạng

Ngoài ra ta còn có:

Ánh xạ −→ϕ : −→E → −E’ của không gian vecto Euclide có tính chất→ϕ(−→x).ϕ(−→y ) = k−→x −→y ,∀−→x , −→y ∈ −→E và k là một hằng số khác 0 là mộtánh xạ tuyến tính đồng dạng.

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh ϕ là một ánh xạ tuyến tính

Từ tính chất của ánh xạ ϕ ta suy ra k > 0 Rõ ràng ánh xạ 1

√

kId− →

E.ϕbảo tồn tích vô hướng của mọi cặp vecto của −→E nên nó là ánh xạ tuyếntính trực giao Từ đó suy ra ϕ là ánh xạ tuyến tính

nghĩa phép đẳng ta suy ra phép đẳng cự là phép đồng dạng với tỉ

số k = 1

2 Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số |k|

Thật vậy, ta có phép vị tự tâm O tỉ số k là: Vk

O : En → En biến cácđiểm A, B lần lượt thành A0, B0 thì A0B0 = |k|AB Suy ra phép vị

Phép đồng dạng tích Z12(k) = Z2(k2) ◦ Z1(k1) : En → En, M 7→

M00, N 7→ N00

và đặt −→f (−→x) = −−−→O0M0 Khi đó −→f là ánh xạ tuyến tính Thật vậy với mọiđiểm M, N ∈ En ta có:

O0N0 = k−−→

OM −−→

ONtức −→f (−−→

Từ định nghĩa của −→f dễ thấy −→f là ánh xạ tuyến tính liên kết với

f, và rõ ràng ánh xạ tuyến tính đồng dạng của không gian Euclide hữuhạn chiều là đẳng cấu nên f là một phép afin

Định lý 2.2 Giả sử f : En

→ En là một phép đồng dạng tỉ số k khi vàchỉ khi nó là tích f2 ◦ f1, trong đó f1là một phép vị tự tỉ số k của En và

f2 là một phép đẳng cự, và cũng khi và chỉ khi f = g2 ◦ g1, trong đó g1

là một phép đẳng cự của En và g2 là một phép vị tự tỉ số k của En.Chứng minh Giả sử f : En

→ En là một phép đồng dạng tỉ số k, ta xâydựng các ánh xạ f1, f2, g1, g2 như sau:

d(g1(M), g1(N )) = d(M1, N1) = −−→ON

1 −−−→OM1

1 k

−−−→

Of(N)−1

k

−−−−→Of(M)

Of(M) = k−−→

OM1 )tức là f = f2 ◦ f1 = g2 ◦ g1

Ngược lại với mọi điểm M ∈ En ta có

d((f2 ◦ f1)(M), (f2◦ f1)(N )) = d (f1(M), f1(N )), (vì f2 là đẳng cự)

= kd(M, N ), (vì f là vị tự tỉ số k)

d((g2 ◦ g1)(M), (g2 ◦ g1)(N )) = kd (g1(M), g1(N )), (vì g2 là vị tự tỉ số k)

= kd(M, N ), (vì g1 là đẳng cự)Định lý đã được chứng minh hoàn toàn

Hệ quả

Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biếnmột tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng với

độ dài được nhân lên với tỉ số đồng dạng (A0B0 = kAB,∀A, B)

Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạngvới nó; biến một đường tròn thành một đường tròn, trong đó tâm biếnthành tâm còn bán kính được nhân lên với tỉ số đồng dạng (R0 = kR)Định lý 2.3 Ánh xạ f : En

→ En là một phép đồng dạng tỉ số kkhi và chỉ khi f là ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết với nó

2.4 Phân loại các đồng dạng

Phân loại phép đồng dạng dựa vào sự bảo toàn hay không bảo toànhướng của hình

• Phép đồng dạng thuận là phép đồng dạng bảo toàn hướng của hình.

• Phép đồng dạng nghịch là phép đồng dạng đảo ngược hướng củahình

2.5 Hình học của nhóm đồng dạng: Hình học đồng

dạng

2.5.1 Khái niệm hai hình đồng dạng

Hai hình H và H0 gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồngdạng f biến hình này thành hình kia và ta viết f(H) = H0

Chú ý: Trong định nghĩa ta có nói tới khái niệm đồng dạng với nhau

vì nếu có phép đồng dạng f biến H thành H0 theo tỉ số k thì phép đồngdạng f−1 sẽ biến H0 thành H theo tỉ số 1

k.2.5.2 Định lý

Định lý 2.4 Tập hợp các phép đồng dạng của không gian Euclide En

làm thành một nhóm, gọi là nhóm đồng dạng Nó là nhóm con của nhómafin và chứa nhóm đẳng cự

Chứng minh Nếu phép đồng dạng f của En biến M, N thành M0, N0 thìd(M0, N0) = kd(M, N ), trong đó k là tỉ số đồng dạng của f Khi đó phépđảo ngược f−1 sẽ biến M0, N0 thành M, N và d(M, N) = 1

kd(M0, N0) nên

f−1 cũng là phép đồng dạng tỉ số 1

k.Nếu f và g là hai phép đồng dạng của En có tỉ số lần lượt là k1 và k2

thì với hai điểm M, N bất kì ta đặt M0 = f (M), N0 = f (N ),

M00 = g(M0) = (gf )(M), N00 = g(N0) = (gf )(N ) thì

d(M00, N00) = k2d(M0, N0) = k2.k1d(M, N )

Vậy tích g ◦f là phép đồng dạng với tỉ số k2.k1 Vậy tập hợp các phépđồng dạng của En là nhóm con của nhóm afin Rõ ràng nhóm con nàychứa nhóm đẳng cự

2.5.3 Hình học của nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạngMột khái niệm, một tính chất hay một đại lượng được giữ nguyên quacác phép đồng dạng gọi là một bất biến của nhóm đồng dạng Ví dụ:

tỉ số độ dài hai đoạn thẳng; độ lớn góc; sự thẳng hàng của ba điểm; sựsong song của hai đường thẳng vv là những bất biến của nhóm đồngdạng

Các định lý nói về các hệ thức lượng trong tam giác, đường tròn vv .đều các định lý của nhóm hình học đồng dạng

Các bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông như “ chođường tròn tâm O, ”, “cho một hình vuông, cho một tam giác đều, chomột tam giác vuông, ” mà không thêm các yêu cầu khác về độ lớn củachúng nghĩa là ta có thể làm các bài toán đó bằng các hình vẽ to nhỏkhác nhau mà vẫn đảm bảo yêu cầu suy luận, chứng minh thì các bàitoán đó là các bài toán của hình học đồng dạng

Kết luận

Trong chương này ta đã trình bày các kiến thức về phép đồng dạngtrong En, các định lý đều được chứng minh cụ thể Các kiến thức trongchương này sử dụng để giải quyết các bài toán hình học ở chương sau

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày ứng dụng của phép đồng dạng vào giảimột số lớp bài toán của hình học như: bài toán quỹ tích, bài toán dựnghình, bài toán chứng minh, bài toán tính toán Các bài tập trong chươngchủ yếu lấy ở [1], [3], [5], [6]

3.1 Dạng 1: Bài toán quỹ tích

3.1.1 Quỹ tích và bài toán quỹ tích

Quỹ tích là những điểm có tính chất nào đó là tập hợp những điểm