Khoá luận tốt nghiệp phép đồng dạng và ứng dụng

Không gian Euclỉde là không gian afin liên kết với không gian vecto Euclide hữu hạn chiều.. K hông gian Euclide sẽ gọi là n chiều nếu không gian vecto Euclide liên kết với nó có chiều bằ

LỜ I C Ả M Ơ N

Em xin chân th à n h cảm ơn T hầy giáo P G S T S N g u y ễ n N ă n g

T â m đã tậ n tìn h hướng dẫn, giúp đỡ em tro n g suốt thời gian thự c hiện

đề tài

Em xin chân th à n h cảm ơn các thầy, các cô tro n g tổ H ình học, trường

Đ ại học sư phạm H à Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn th à n h

đề tà i này

Em xin chân th à n h cảm ơn gia đình và b ạn bè đã tạo mọi điều kiện

th u ậ n lợi cho em tro n g quá trìn h thự c hiện đề tài

E m x in chân thành cảm ơn.

H à Nội, ngày 03 th á n g 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ T h ị Hồng H ạnh

H à Nội, ngày 03 th á n g 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ T h ị Hồng H ạnh

L Ờ I M Ở Đ Ầ U 1

1.1 K hông gian a f i n 4

1.1.1 Đ ịnh nghĩa 4

1.1.2 Tọa độ a f i n 5

1.2 Á nh xạ afin và biến đổi a f i n 6

1.2.1 Á nh xạ a f i n 6

1.2.2 Đ ẳng cấu afin Biến đổi a f i n 6

1.3 K hông gian E u c li d e 7

1.3.1 Đ ịnh nghĩa 7

1.3.2 Mục tiêu trự c c h u ẩ n 8

1.3.3 K hoảng cách tro n g E 71 8

1.3.4 Góc tro n g E n 9

1.4 Đ ịnh h ư ớ n g 11

1.4.1 M ặt phẳng định h ư ớ n g 11

1.4.2 Góc định hướng giữa hai t i a 11

1.4.3 Góc định hướng giữa hai đường th ẳ n g 11

1.4.4 Đ ịnh hướng tro n g không g i a n 12

1.5 P hép biến h ì n h 13

1.5.1 Đ ịnh nghĩa 13

1.5.2 Điểm b ấ t động, hình b ấ t động của phép biến hình 14 1.5.3 P hép biến hình đảo n g ư ợ c 14

1.5.4 P hép biến hình đối h ợ p 15

1.5.5 T ích các phép biến h ì n h 15

K ế t lu ậ n 16 2 P H É P Đ Ồ N G D Ạ N G 17 2.1 Á nh xạ tuyến tín h đồng d ạ n g 17

2.2 Đ ịnh nghĩa 18

2.3 Các trường hợp đặc biệt và tín h c h ấ t 18

2.4 P h â n loại các đồng d ạ n g 22

2.5 H ình học của nhóm đồng dạng: H ình học đồng dạng 23

2.5.1 K hái niệm hai hình đồng d ạ n g 23

2.5.2 Đ ịnh lý 23

2.5.3 Hình học của nhóm đồng dạng: H ình học đồng dạng 24 K ế t lu ậ n 24 3 Ứ N G D Ụ N G C Ủ A P H É P Đ ồ N G D Ạ N G G IẢ I M Ộ T SỐ B À I T O Á N H Ì N H H Ọ C 25 3.1 D ạng 1: Bài to á n quỹ t í c h 25

3.1.1 Q uỹ tích và bài to á n quỹ t í c h 25

3.1.2 G iải bài to á n quỹ tích nhờ phép đồng dạng 26

3.1.3 V í dụ về bài to á n quỹ t í c h 27

3.1.4 N hận xét c h u n g 33

3.1.5 Bài tậ p tự luyện 34

3.2 D ạng 2: Bài to á n dựng h ì n h 35

3.2.1 Bài to á n dựng h ì n h 35

3.2.2 G iải bài to á n dựng hình nhờ phép đồng dạng 35

3.2.3 V í dụ về bài to á n dựng h ì n h 36

3.2.4 N hận xét c h u n g 42

3.2.5 Bài tậ p tự luyện 43

3.3 D ạng 3: Chứng m inh các tín h chất hình h ọ c 43

3.3.1 Bài to á n chứng m i n h 43

3.3.2 G iải bài to á n chứng m inh nhờ phép đồng dạng 44

3.3.3 V í dụ về bài to á n chứng m i n h 45

3.3.4 N hận xét c h u n g 49

3.3.5 Bài tậ p tự luyện 49

3.4 D ạng 4: T ín h to á n các đại lượng hình h ọ c 50

3.4.1 Bài to á n tín h t o á n 50

3.4.2 G iải bài to á n tín h to á n nhờ phép đồng dạng 51

3.4.3 V í dụ về bài to á n tín h t o á n 51

3.4.4 N hận xét c h u n g 55

3.4.5 Bài tậ p tự luyện 55

LỜ I M Ở Đ Ầ U

1 L ý d o ch ọn đ ề tà i

H ình học là m ột vấn đề khó đối với học sinh, bởi hình học là môn học có tín h chặt chẽ, tín h logic và trừ u tượng hóa cao Với m ột bài to á n hình học t a có th ể đưa ra nhiều cách giải khác nhau, tro n g đó t a có th ể

sử dụng phép biến hình Trong nhiều trường hợp giải bài to á n hình học

sử dụng phép biến hình cho ta cách giải đơn giản hơn, lời giải ngắn gọn hơn và cho t a cái nhìn tổng q u át hơn về bài toán

P hép đồng dạng là m ột tro n g những phép biến hình tiêu biểu và có nhiều ứng dụng tro n g hình học Vậy: phép đồng dạng được ứng dụng như th ế nào tro n g giải to á n hình học? Được sự gợi ý của th ầ y giáo hướng

dẫn P G S T S N g u y ễ n N ă n g T âm và m uốn tr ả lời m ột p h ần cho câu

hỏi trê n em m ạnh dạn nghiên cứu đề tà i " P h é p đ ồ n g d ạ n g v à ứ n g

d ụ n g "

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Nghiên cứu đề tà i này nhằm :

• Củng cố lại các kiến thứ c về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu

rõ hơn và áp dụng tố t hơn phép đồng dạng vào giải các bài toán

• T ìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải m ột số dạng to á n

như: bài to á n quỹ tích, bài to á n dựng hình, bài to á n chứng m inh, bài to á n tín h toán.

3 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

• Đối tượng: P hép đồng dạng

• P h ạm vi: P hép đồng dạng và m ột số bài to á n của hình học trong

E n: bài to á n quỹ tích, bài to á n dựng hình, bài to á n chứng m inh,

bài to á n tín h toán

4 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

• Nghiên cứu lý luận nội dung phép đồng dạng tro n g E n

• Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để giải m ột số lớp bài to á n hình học: bài to á n quỹ tích, bài to á n dựng hình, bài to á n chứng m inh, bài to á n tín h toán

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

• P h â n tích tà i liệu liên quan

• Tổng kết kinh nghiệm giải to á n

6 C ấu trú c lu ận văn

Ngoài p h ần lời nói đầu, kết luận, d an h mục tà i liệu th a m khảo cấu trú c luận văn gồm có

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2: Phép đồng dạng.

• Chương 3: ứng dụng của phép đồng dạng giải m ộ t số bài toán hình

học.

H à Nội, ngày 03 th á n g 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Vũ T h ị Hồng H ạnh

Cho không gian vecto V trê n trường K, tậ p A 0 m à các p h ần tử

của nó gọi là điểm và ánh xạ (p : A X A —»• V kí hiệu <p(M, N ) = m Ề

với M , N e A Bộ b a (A , If , V ) gọi là không gian afin nếu th ỏ a m ãn hai

tiên đề sau đây được th ỏ a m ãn:

1 Với mọi điểm M e A và mọi vectoũ^ E V ,có duy n h ấ t điểm N e a

sao cho M N = l ĩ

2 Với mọi ba điểm M , N , P E A có M ỉ ỳ + w p = M Ỉ y

K hông gian afin (A , If , V ) còn gọi là không gian afin liên kết với không

gian vecto V, còn gọi t ắ t là không gian afin A trê n trường K (hoặc

K-không gian afin A ) K hông gian vecto liên kết V thường được kí hiệu là

K hông gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu d i m A = rì) nếu d i m V = n

K hi K là trường số thự c M, t a nói A là không gian afin thực, khi

K = c, t a nói A là không gian afin phức.

V í d ụ 1 1 1 K hông gian Euclide hai chiều E 2 và không gian ba chiều

E 3 đã học ở trường phổ th ô n g tru n g học là những không gian afin liên

kết với không gian vecto (tự do) hai chiều, ba chiều ở phổ th ô n g tru n g học

1 1 2 T ọa đ ộ afin

M ụ c t iê u afin: Cho không gian afin n chiều A liên kết với không

gian vecto A Gọi £ = { ẽ i , ẽ ị , , ẽ^} là cơ sở của A và o là m ột điểm thuộc A K hi đó tậ p hợp { 0 \ e } hay {O; ẽ |, ẽ ị , , ẽ^} gọi là m ột mục tiêu afin của A o gọi là điểm gốc của mục tiêu, ẽ i’ gọi là vecto cơ sở

th ứ i của mục tiêu.

T ọ a đ ộ c ủ a điểm : Cho không gian afin n chiều A cho mục tiê u afin {O : ẽ | , ẽ ị , .,ẽ^ } Với mỗi điểm X £ A ta có O X G A và vì vậy có

duy n h ất n p h ần tử £ 1, x 2ĩ -.xn của trường K sao cho

Bộ n p h ần tử ( x 1, x 2, x n) gọi là tọ a đô của điểm X đối với mục tiêu

đã chọn, kí hiệu: X (xi, x 2, x n) hay X = (rri, x 2, x n)

(1.1)

1.2 Á n h x ạ afín và b iến đ ổ i afín

1 2 1 Á n h x ạ afín

Cho hai không gian afin trê n trường K là A và A ’ liên kết với không

gian vecto A và A \

Á nh xạ / : A -¥ A ’ được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến tín h

~ỹ: A —y A ’, sao cho mọi cặp điểm M , N £ A và ảnh M ' = f ( M ) , N r =

f ( N ) ta có M ' N ' = ~Ỷ(ÃĨÊ ).

Á nh xạ tuyến tín h : A —ì A ’ được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết

với /

V í d ụ 1 2 1 / : A —> A ’ biến mọi điểm M £ a th à n h m ột điểm I cố

định th u ộ c A ’ là ánh xạ afin với ánh xạ tuyến tín h liên kết của nó là

ánh xạ ~ỹ : A —»• A ’ m à Í ( T ) = ~đ với mọi ~ử E A

Á nh xạ / như vậy gọi là ánh xạ hằng

Đ ịn h lý 1.1 (Định lý cơ bản của ánh xạ afin giữa các không gian afin

thực)

Cho A và A ’ là các không gian afin thực n chiều (n > 1) và song ánh f : A —> A \ Nếu f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng thì f là phép afin.

1 2 2 Đ ẳ n g c ấ u a fín B iế n đ ổ i afín

Đ ẳ n g cấ u afin: Á nh xạ afin / : A —> A ’ giữa hai không gian afin

A và A ’ trê n trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu / là song ánh.

B iế n đ ổ i afin: P hép đẳng cấu afin / : A —y A từ không gian afin A

lên chính nó được gọi là m ột biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin.

Không gian Euclỉde là không gian afin liên kết với không gian vecto

Euclide hữu hạn chiều

K hông gian Euclide sẽ gọi là n chiều nếu không gian vecto Euclide liên kết với nó có chiều bằng n

K hông gian Euclide thường kí hiệu là E , không gian vecto Euclide liên kết với nó kí hiệu là ẼĨ

V í d ụ 1 3 1 a) K hông gian Euclide th ô n g thường E 3 học ở phổ thông.

không gian Euclide n chiều bằng cách tra n g bị m ột tích vô hướng cho

không gian vecto liên kết với không gian afin đã cho

1 3 2 M ụ c t iê u tr ự c ch u ẩn

Mục tiê u afin { ẽ |, ẽ ị , , ẽ^} của không gian Euclide n chiều E 71 gọi

là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ tọa độ Đề các vuông góc) nếu cơ sở £

= { ẽ |, ẽ ị , , ẽ^} của 1Ằ là cơ sở trự c chuẩn, tứ c ẽ ị ẽ j =ỏij.

Tọa độ của điểm đối với mục tiêu trự c chuẩn gọi là tọa độ trực chuẩn (hay tọa độ Đề các vuông góc).

Rõ ràng tro n g không gian Euclide n chiều E 71 luôn luôn có th ể tìm

th ấ y những mục tiêu trự c chuẩn

1 3 3 K h o ả n g cá ch tr o n g E n

• K h o ả n g cá c h g iữ a h a i đ iể m

Cho hai điểm M , N của không gian Euclide n chiều E n K hoảng

cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d ( M , N ) , được định nghĩa là số

• K h o ả n g cá c h g iữ a h a i p h ẳ n g

K hoảng cách giữa hai phẳng a và ¡3 tro n g không gian Euclide E 71,

b) Các không gian afin thự c n chiều đều có th ể trở th à n h

(1 2)

Cho hai đường th ẳ n g a và 6 tro n g E" với phương lần lượt là ( l ì )

và (~ử) Góc giữa hai đường th ẳ n g đó là số 9 m à

Dễ th ấ y rằng tro n g định nghĩa trê n không phụ thuộc vào việc chọn

các vecto đại diện của các phương của hai đường th ẳ n g a, b và

0 < 9 < —, cos 9 =

2’

(1.5)

P T T W Ĩ

Rõ ràng định nghĩa trê n không phụ thuộc vào việc chọn hai đường

th ẳ n g ữ và b lần lượt trự c giao với a và ¡3.

• G ó c g iữ a đ ư ờ n g th ẳ n g v à s iê u p h ẳ n g

Cho đường th ẳ n g a và siêu phẳng ¡3.

Nếu a trự c giao với ¡3 th ì ta nói góc giữa a và ¡3 là góc vuông.

Nếu a không trự c giao với Ị3 th ì t a lấy đường th ẳ n g a' trự c giao với

Ị3 và xác định đc góc 9' giữa hai đường th ẳ n g a và a' Khi đó góc

1.4 Đ ịn h hư ớng

1 4 1 M ặ t p h ẳ n g đ ịn h h ư ớ n g

Đ ịn h n g h ĩa :T ro n g m ặ t phẳng cho điểm o th ì xung quanh o có hai

chiều quay Nếu ta chọn m ột chiều là chiều dương và chiều còn lại là chiều âm th ì t a nói rằng đã định hướng được m ặ t phẳng

T hông thường chọn chiều quay xung quanh o ngược chiều kim đồng

hồ là chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm

1 4 2 G ó c đ ịn h h ư ớ n g g iữ a h a i t ia

Đ ịn h n gh ĩa: Trong m ặt phẳng định hướng, t a gọi góc định hướng

giữa hai tia có tia đầu O x , tia cuối Oy Kí hiệu là (O x , O y ) là góc th u được khi quay O x xung q uanh o tới trù n g Oy

H ệ th ứ c C h a sles: Cho các tia O x 1, O x 2, , O x n tro n g m ặ t phẳng

định hướng ta có hệ thứ c Chasles:

{Oxi, O x 2) + (O x 2, O x 3) + + ( O x n- 1, O x n) = {Oxi, O x n) + k2 n

{ k e Z)(1.7)

1 4 3 G ó c đ ịn h h ư ớ n g g iữ a h a i đ ư ờ n g th ẳ n g

Đ ịn h n gh ĩa: Trong m ặ t phẳng định hướng cho hai đường th ẳ n g a, b

Góc định hướng giữa hai đường th ẳ n g a và b với a là đường th ẳ n g đầu,

6 là đường th ẳ n g cuối ,kí hiệu: (ã, 6) xác định như sau:

• Nếu a n b = o th ì mỗi đường th ẳ n g bị o chia làm hai tia và ta định nghĩa góc định hướng giữa hai đường th ẳ n g a và b là góc định

hướng giữa hai tia ai và bi (i = 1, 2)

Hình 1.1:

• Trong không gian: nếu a không cắt b (chéo n hau hoặc song song)

là góc định hướng giữa hai tia x u ấ t p h á t từ m ột điểm chung theo

th ứ tự song song với các đường th ẳ n g đã cho

H ệ th ứ c C h a sles: Trong m ặt phẳng định hướng cho các đường th ẳ n g

ữi, ữ2, , an cắt n h au tạ i o Khi đó t a có:

(ã i,ã 2) + (ã2,ã 3) + + (ãn_i,ã„) = (ãi,ã„) + kĩĩ, k e z (1.8)

1 4 4 Đ ịn h h ư ớ n g tr o n g k h ô n g g ia n

K h ô n g g ia n đ ịn h h ư ớ n g t h e o trụ c: Trong không gian cho trụ c a

K hi đó xung quanh trụ c a có hai chiều quay Đ ặt vặn n ú t chai theo trụ c

a sao cho m ũi của vặn n ú t chai chỉ hướng dương Chiều quay của vặn

n ú t chai tiến theo chiều dương của a được gọi là chiều dương của không

gian còn chiều ngược lại gọi là chiều âm của không gian Khi đó không

gian được gọi là định hướng theo trụ c a.

N h ị d iệ n đ ịn h h ướng: Cho nhị diện [ a ,a ,/Ị | Nhị diện định hướng

có diện đầu cc, diện cuối /ỡ, kí hiệu [ã, ¡3] th u được khi quay a q uanh trụ c

a tới trù n g với ¡3.

Đ ịn h h ư ớ n g g ó c ta m d iện : Cho góc ta m diện O A B C đỉnh o Nếu

nhìn từ o chiều quay từ A đến B , từ B đến c là ngược chiều kim đồng

hồ t a nói góc ta m diện O A B C có hướng dương, ngược lại ta nói góc

ta m diện có hướng âm

1.5 P h é p b iế n h ìn h

1 5 1 Đ ịn h n g h ĩa

G iả sử cho tậ p hợp b ấ t kì T Ỷ 0; mỗi phần tử của nó gọi là điểm

K hi ấy T còn gọi là không gian Mỗi tậ p con của T gọi là m ột hình.

M ột song ánh / : T —> T từ T vào chính nó gọi là m ột phép biến hình của tậ p T.

N hư vậy cho m ột phép biến hình / : T —>■ T là cho m ột quy tắ c để

b ấ t kì điểm M g T ta tìm được điểm M ' = f ( M ) hoàn to à n xác định

th ỏ a m ãn hai điều kiện sau:

• Nếu M , N là hai điểm b ấ t kì của T th ì ) là hai điểm

p h ân biệt của T.

• Với m ột điểm M ' € T bao giờ cũng có m ột điểm M € T sao cho /(M) = M '.

f ( M ) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình / Ngược lại M gọi

là tạo ảnh của f ( M ) qua phép biến hình / nói trên.

Nếu H là m ột hình nào đó của T th ì t a có th ể xác định được tậ p hợp

f ( H ) = { /( M ) = M \ M e T } K hi đó f ( M ) gọi là ảnh của H qua phép

biến hình / và H được gọi là tạ o ảnh của hình f ( M ) qua phép biến hình

/ đó

V í d ụ 1 5 1 a) Cho đường th ẳ n g d G T P hép biến hình biến mỗi điểm

M th à n h M ' đối xứng với M qua d gọi là phép đối xứng trục Đường

th ẳ n g d gọi là trụ c đối xứng K í hiệu: Đ d

Cho phép biến hình / biến điểm M th à n h điểm M ' Ta có / ( M ) = M '

K hi đó phép biến hình biến điểm M ' th à n h điểm M gọi là phép biến

hình đảo ngược của phép biến hình / đã cho

K í hiệu phép biến hình đảo ngược của / là / 1, / 1{M') = M

Mỗi phép biến hình / có duy n h ấ t m ột phép biến hình đảo ngược

K hi đó phép biến hình

f : T ^ T , M ^ M 2

gọi là tích của hai phép biến hình f i và / 2 Kí hiệu / = /2 0

/i-Cũng như vậy tích / 3 0 / 2 0 /1 = /3 0 (/2 o f ị ) là tích của các phép biến hình (/2 o / x) và /3 theo th ứ tự đó; tích /4 o /3 o /2 o f ị là tích của các phép biến hình (/3 o /2 ũ /ị) và /4 theo th ứ tự đ ó ,v v

C hú ý: P hép biến hình / : T —> T th ì f n = / o / o o /

71

V í d ụ 1 5 4 X ét hai phép tịn h tiến T-ý,T-ý M là m ột điểm b ấ t kì

thuộc T.

Ngoài ra phép biến hình đảo ngược của tích /2 o / x là tích / f 1 o / 2-1

(/2 ° /1 )_1 = / f 1 ° /2"1

K ế t lu ận

Trong chương này ta đã trìn h bày các kiến thứ c về không gian afin, không gian Euclide, định hướng và phép biến hình, đặc biệt với mỗi định nghĩa khái niệm cố gắng đưa ra những ví dụ cụ th ể dễ hiểu Những kiến thứ c tro n g chương này được sử dụng để xây dựng kiến thứ c cho các chương sau

P H É P Đ Ồ N G D Ạ N G

Trong chương này trìn h bày những kiến thứ c về phép đồng dạng Những kiến thứ c này chủ yếu lấy từ [1], [2], [4], [6]

2.1 Á n h x ạ tu y ế n tín h đ ồ n g d ạ n g

Đ ịn h nghĩa: Á nh xạ tuyến tín h —> E ’ của không gian vecto

Euclide j Ề và E ’ gọi là ánh xạ tuyến tín h đồng dạng nếu có số thực

Ngoài ra ta còn có:

Á nh xạ ~Ệ : "Ể —> Ẽf’ của không gian vecto Euclide có tín h chất

= k l È ' Ỷ , và k là m ột hằng số khác 0 là m ột

ánh xạ tuyến tín h đồng dạng

T h ậ t vậy, t a chỉ cần chứng m inh tp là m ột ánh xạ tuyến tính.

T ừ tín h chất của ánh xạ (f t a suy ra k > 0 Rõ ràng ánh xạ ụ=Id^.ip

bảo tồ n tích vô hướng của mọi cặp vecto của "Ể nên nó là ánh xạ tuyến

tín h trự c giao T ừ đó suy ra tp là ánh xạ tuyến tín h

nghĩa phép đẳng ta suy ra phép đẳng cự là phép đồng dạng với tỉ

3 Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng với

tỉ số ị ; ta viết :Z~ 1( k ) = Z ( | ) ; hay Z ( k ) o z ( I ) = Id.

Nếu l ề G Ẽ^, gọi M là điểm sao cho O M = , sau đó lấy M ' = f ( M )

và đ ặ t ~ỹựõt) = 0 ' M ' Khi đó ~ỹ là ánh xạ tuyến tín h T h ậ t vậy với mọi

T ừ định nghĩa của ~ỹ dễ th ấ y ~ỹ là ánh xạ tuyến tín h liên kết với

/ , và rõ ràng ánh xạ tuyến tín h đồng dạng của không gian Euclide hữu hạn chiều là đẳng cấu nên / là m ột phép afin □

Đ ịn h lý 2 2 Giả sứ f : E 1 -4 E 1 là m ộ t phép đồng dạng tỉ số k khi và

chỉ khi nó là tích /2 o / 1, trong đó f ị l à m ộ t phép vị tự tỉ số k của E 1 và

/2 là m ộ t phép đẳng cự, và củng khi và chỉ khi f = g2 o gĩ , trong đó gi

là m ộ t phép đẳng cự của E 1 và g2 là m ộ t phép vị tự tỉ số k của Ỉ T Chứng minh G iả sử / : E " -4 E " là m ột phép đồng dạng tỉ số k , t a xây

dựng các ánh xạ / 1, / 2, ỚI 5 9 2 như sau:

/ j : E " 4 E n , M 4 M ' sao cho O M ' = kOAầ tro n g đó o là m ột điểm

cố định cho trước /2 : E n —> E n, M ị I-4 M[ = f ( M ) ở đây O M = ị O M ị

khi đó /2 là đẳng cự vì:

dU 2{M 1) , f 2{ N l )) = d ( f ( M ) , f ( N ) ) = k d ( M , N ) = k ị d { M u N ,).

gi : E n E n, M 1-4 M l sao cho O J { m ) = k O M i tro n g đó o là m ột

điểm cố định cho trước K hi đó gi là m ột đẳng cự vì:

d ( ( g 2 ° 0i)(Af), (g2 o gi ) ( N) ) = kd ( gi ( M) , gị ( N) ) , (vì g2 là vị tự tỉ số k)

= k d ( M : N ), (vì <7i là đẳng cự)

Đ ịnh lý đã được chứng m inh hoàn toàn □

H ệ q u ả

P hép đồng dạng biến m ột đường th ẳ n g th à n h m ột đường th ẳn g , biến

m ột tia th à n h m ột tia , biến m ột đoạn th ẳ n g th à n h m ột đoạn th ẳ n g với

độ dài được n hân lên với tỉ số đồng dạng (A 'B ' = k A B , \ f A , B ).

P hép đồng dạng biến m ột ta m giác th à n h m ột ta m giác đồng dạng với nó; biến m ột đường trò n th à n h m ột đường trò n , tro n g đó tâ m biến

th à n h tâ m còn bán kính được n h ân lên với tỉ số đồng dạng (R1 = k R )

Đ ịn h lý 2 3 Á n h xạ / : E 1 —> FF ỉà m ộ t phép đồng dạng tỉ số k

khi và chỉ khỉ f là ánh xạ afỉn m à ánh xạ tuyến tính liên kết với nó

~ỉ : l ỉ -> Ẽ* có tính chất: | | ? ( ^ ) | | = Jfc||^|| € ế

Chứng minh Theo định lý trê n nếu / là phép đồng dạng tỉ số k th ì

/ = <72 ° gi: tro n g đó <7i là dẳng cự và g2 là vị tự tỉ số k, nên

• Phép đồng dạng thuận là phép đồng dạng bảo to à n hướng của hình.

• Phép đồng dạng nghịch là phép đồng dạng đảo ngược hướng của

Chú ý: Trong định nghĩa t a có nói tới khái niệm đồng dạng với nhau

vì nếu có phép đồng dạng / biến H th à n h H ' theo tỉ số k th ì phép đồng dạng / -1 sẽ biến H ' th à n h H theo tỉ số ị

2 5 2 Đ ịn h lý

Đ ịn h lý 2 4 Tập hợp các phép đồng dạng của không gian Eucỉide I P

làm thành m ộ t n h ó m , gọi là nhóm đồng dạng Nó là nhóm con của nhóm afin và chứa nhóm đẳng cự.

Chứng minh Nếu phép đồng dạng / của E 71 biến M , N th à n h M ', N ' th ì

d ( M N ') = k d ( M , iV), tro n g đó k là tỉ số đồng dạng của / K hi đó phép

đảo ngược / -1 sẽ biến M ', N ' th à n h M , N và d( M, N ) = ị d ( M' , N' ) nên / -1 cũng là phép đồng dạng tỉ số ị

Nếu / và g là hai phép đồng dạng của E n có tỉ số lần lượt là kị và k 2

th ì với hai điểm M, N b ấ t kì ta đ ặ t M ' = f { M ) , N ' = f ( N ),

M" = g(M') = (gf)(M),N" = g(N') = (gf)(N) thì

d(M",N") = k2d(M',N') = k2.kjd(M,N)

Vậy tích g o / là phép đồng dạng với tỉ số k 2.ki Vậy tậ p hợp các phép

đồng dạng của E n là nhóm con của nhóm afin Rõ ràng nhóm con này

Các định lý nói về các hệ thứ c lượng tro n g ta m giác, đường trò n v v đều các định lý của nhóm hình học đồng dạng

Các bài to á n thường gặp tro n g chương trìn h phổ th ô n g như “ cho đường trò n tâ m o , “cho m ột hình vuông, cho m ột ta m giác đều, cho

m ột ta m giác v u ô n g , ” m à không th êm các yêu cầu khác về độ lớn của chúng nghĩa là ta có th ể làm các bài to á n đó bằng các hình vẽ to nhỏ khác n h au m à vẫn đảm bảo yêu cầu suy luận, chứng m inh th ì các bài

to á n đó là các bài to á n của hình học đồng dạng

K ế t lu ận

Trong chương này t a đã trìn h bày các kiến thứ c về phép đồng dạng tro n g E n, các định lý đều được chứng m inh cụ thể Các kiến thứ c trong chương này sử dụng để giải quyết các bài to á n hình học ở chương sau

Ứ N G D Ụ N G C Ủ A P H É P Đ ồ N G

D Ạ N G G IẢ I M Ộ T s ố B À I T O Á N

H ÌN H HỌC

Trong chương này trìn h bày ứng dụng của phép đồng dạng vào giải

m ột số lớp bài to á n của hình học như: bài to á n quỹ tích, bài to á n dựng hình, bài to á n chứng m inh, bài to á n tín h toán Các bài tậ p tro n g chương chủ yếu lấy ở [1], [3], [5], [6]

3.1 D ạ n g 1: B à i to á n q u ỹ tíc h

3 1 1 Q u ỹ tíc h v à b à i to á n q u ỹ tíc h

Q uỹ tích là những điểm có tín h chất nào đó là tậ p hợp những điểm

có tín h chất đó Vì tậ p hợp các điểm là m ột hình, m à m ột hình có th ể

là tậ p rỗng, tậ p m ột điểm tậ p hữu hạn điểm , nên quỹ tích có th ể là

tậ p rỗng, tậ p m ột điểm, tậ p hữu hạn điểm

Bài to á n quỹ tích là bài to á n tìm tậ p hợp những điểm th ỏ a tín h chất

a cho trước.