đề tài dung (1) (1) (1) (1) (1)

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH...22 2.1.. Năng lực khái quát hóa quan trọng nhưvậy, nhưng thực tế trong quá trì

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: ThS Trần Nguyệt Anh

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ

MỤC LỤC i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lý do ch n đ tàiọn đề tài ề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4.Gi thuy t khoa h cả thuyết khoa học ết khoa học ọn đề tài

2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Cấu trúc đề tài 3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Một số vấn đề khái quát về năng lực tư duy 4

1.1.1 Tư duy là gì? 4

1.1.2 Năng lực tư duy

1.2 Các thao tác t duyư duy 5

1.2.1 Phân tích và tổng hợp 5

1.2.2 So sánh, tư duyơng tựng tự 5

1.2.3 Khái quát hóa 7

1.2.4 Tr u từu tượng hóa và cụ thể hóa ư duyợng hóa và cụ thể hóang hóa và c th hóaụ thể hóa ể hóa 10

1.2.5 M i liên h gi a khái quát hóa và m t s thao tác t duy khácối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ột số thao tác tư duy khác ối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ư duy 10 1.3 Vai trò của khái quát hóa trong dạy học Toán Error! Bookmark not defined. 1.4 Nội dung phương trình trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông 17

1.4.1 Vị trí và tầm quan trọng 17

1.4.2 Dạy học phương trình ở các lớp 17

1.4.3 Mục đích, yêu cầu, tác dụng của giải bài tập Giải phương trình 19

1.4.4 Một số chú ý khi dạy học giải bài tập Giải phương trình 20

1.5 Các kiến thức cơ bản của phương trình Error! Bookmark not defined. 1.5.1 Khái niệm phương trình Error! Bookmark not defined 1.5.2 Phân loại phương trình 21

1.6 Kết luận chương 1 21

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH 22

2.1 Một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực khái quát hóa cho HS 22

2.1.1 Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp 22

2.1.2 Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp Error! Bookmark not defined. 2.1.3 Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động tương tự hoá và đặc biệt hoá 25

2.2 Rèn luyện năng lực khái quát hóa cho HS thông qua các dạng phương trình trong chương trình Toán trung học phổ thông 27

2.2.1 Phương trình đa thức và phương trình phân thức hữu tỷ 27

2.2.2 Phương trình vô tỉ 38

2.2.3 Phương trình mũ và logarit 48

2.2.4 Phư duyơng tựng trình lư duyợng hóa và cụ thể hóang giác 56

2.3 Kết luận chương 2 64

KẾT LUẬN CHUNG 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”.

Trong nhà trường, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiệnnhững mục tiêu, nhiệm vụ của nền giáo dục phổ thông Nó góp phần pháttriển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán họccần thiết cho cuộc sống, rèn luyện và phát triển ở HS óc trừu tượng, tư duychính xác, hợp logic, đặc biệt rèn luyện các năng lực trí tuệ chung (phân tích,tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, )

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa góp phần quantrọng trong quá trình phát triển tư duy Năng lực khái quát hóa quan trọng nhưvậy, nhưng thực tế trong quá trình dạy và học thì nó chưa thực sự được quantâm đúng mức, nhiều HS mặc dù có khả năng, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu

sự sáng tạo, năng lực khái quát tri thức học tập, các em có thể giải được nhiềubài toán riêng lẻ nhưng không biết khái quát hóa đưa ra phương pháp chung

để giải một dạng toán Từ đó chưa phát huy hết năng lực giải toán cũng như

sự sáng tạo của mình

Phương trình là một nội dung quan trọng xuyên suốt chương trìnhToán phổ thông Dù thể hiện dưới dạng ẩn tàng hay tường minh thì phươngtrình cũng được đưa vào chương trình Toán từ rất sớm: từ tiểu học, trung học

cơ sở đến trung học phổ thông Nhưng thực tế việc dạy học phương trình cho

HS còn nhiều hạn chế, HS chưa biết vận dụng các cách giải của các phươngtrình đơn lẻ để đưa đến việc giải các phương trình tổng quát Do đó việc rènluyện năng lực khái quát hóa cho HS qua dạy giải bài tập Giải phương trình

sẽ đem lại hiệu quả học tập tốt hơn

Với những lý do trên em chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện năng lực khái

quát hóa cho học sinh qua dạy giải bài tập Giải phương trình”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài làm sáng tỏ năng lực khái quát hóa ở các khái niệm sau đây:khái niệm, vai trò, tính phổ dụng đồng thời nghiên cứu cách thức để rèn luyệncho học sinh rèn luyện năng lực khái quát hóa

- Đề xuất biện pháp rèn luyện năng lực khái quát hóa thông qua hệthống bài tập Giải phương trình, qua đó hình thành cho HS kỹ năng giải toánlinh hoạt, không dập khuôn để rèn luyện tư duy đồng thời gây hứng thú họctập

- Qua đề tài này giúp cho giáo viên giải toán có cái nhìn sâu sắc hơn vềviệc rèn kỹ năng thực hành giải toán về phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan tới vấn đề rèn luyện năng lựckhái quát hóa cho HS

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện năng lực khái quát hóa cho HSqua dạy giải bài tập Giải phương trình Xây dựng hệ thống bài tập về phươngtrình nhằm rèn luyện năng lực khái quát hóa.

4 Gi thuy t khoa h c ả thuyết khoa học ết khoa học ọc

Nếu quan tâm đúng mức việc rèn luyện và bồi dưỡng năng lực kháiquát hóa trong dạy học giải bài tập Giải phương trình sẽ góp phần phát triểnnăng lực sáng tạo của học sinh, năng cao hiệu quả dạy học môn toán, gópphần thực hiện mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học trong giaiđoạn hiện nay

5 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

* Phạm vi nghiên cứu:

- Nội dung phương trình trong chương trình Toán phổ thông

* Đối tượng nghiên cứu:

- Năng lực khái quát hóa

- Biện pháp chủ yếu rèn luyện năng lực khái hóa cho HS thông qua hệthống bài tập Giải phương trình

6 Phương pháp nghiên cứu

* Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu: Giáo dục học, tâm lý học, phương pháp dạyhọc môn toán

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về toán học, các công trình khoahọc giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

7 Cấu trúc đề tài

Nội dung chính của đề tài gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận.

Chương 2 Một số biện pháp rèn luyện năng lực khái quát hóa cho học

sinh thông qua hệ thống bài tập về phương trình

s v t, hi n tự ật của ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ư duyợng hóa và cụ thể hóang trong hi n th c khách quan mà trệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ự ư duyớc đó ta chưac đó ta ch aư duy

bi t”.ết khoa học “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quátrình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phầnhay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên

cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”

* Đặc điểm của tư duy:

- Tính có vấn đề của tư duy: Không phải hoàn cảnh nào cũng gây được

tư duy của con người muốn kích thích được tư duy phải đồng thời có hai điềukiện sau:

+ Con người phải gặp hoàn cảnh tình huống có vấn đề

+ Tình huống có vấn đề phải được cá nhân nhận thức một cách đầy đủ,được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân đó và họ phải có nhu cầu tìm kiếm nó

- Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy phát hiện ra đặc điểm bản chất của

sự vật, hiện tượng và quy luật giữa chúng nhờ sử dụng công cụ phương tiệnkết quả nhận thức của loài người, kinh nghiệm của mỗi cá nhân

- Tính trừu tượng và tính khái quát: Tư duy có khả năng phản ánh thuộctính chung nhất, bản chất nhất của một loạt đối tượng cùng loại, tức là tư duyphản ánh khái quát hiện thực khách quan Quá trình đi đến khái quát hóa hiệnthực khách quan, tư duy phải trừu xuất khỏi sự vật hiện tượng những thuộctính, dấu hiệu cụ thể, cá biệt xét về một phương diện nào đó

- Tư duy liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

- Tư duy liên hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính

1.1.2 Các thao tác t duy ư duy

1.1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lý học, các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác

tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là dạng khácnhau của quá trình đó

- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách

vật thành những bộ phận riêng lẻ, để xem xét nó được đơn giản và sâu sắchơn

- Ngược lại với phân tích, tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những

bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống để xem xét nómột cách toàn vẹn hơn

Là những thao tác trái ngược nhau, phân tích và tổng hợp đồng thời lạiliên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất

So sánh là sự xác định giống nhau và khác nhau của các sự vật và hiện

tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu

các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau,rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau.

Tương tự là quá trình suy ngẫm phát hiện sự giống nhau và khác nhaugiữa hai đối tượng, từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những

sự kiện tương ứng của đối tượng kia.[3]

Trong ví dụ 1.2 VT của phương trình ta có dùng kĩ thuật ước lượng

tam thức , còn trong ví dụ 1.3 VT của phương trình ta có dùng kĩ thuật là sử

dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski, nhưng thực chất cả 2 ví dụ đều sử dụngphương pháp đánh giá để giải phương trình

* Khai thác bài toán

Học sinh có thể tự nêu ra và giải một số phương trình tương tự Chẳng hạn:Giải các phương trình

1 ¿√8 x2

+48 x +76+√3 x2 +18 x +36=−2 x 2 −12 x−13

2 ¿√8 x2+8 x+ 3+√12 x2+12 x +7=−16 x2−16 x−1

1.1.2.3 Khái quát hóa

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sựkiện hoặc hiện tượng Muốn khái quát, thường phải so sánh nhiều đối tượng,hiện tượng, sự kiện với nhau

Theo G.polya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tậphợp đối tượng đã cho đến nghiên cứu môt tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tậphợp ban đầu”

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượngsang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trongcác đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”.[4, tr.55]

Khái quát hóa từ

cái riêng lẻ đến cái

Khái quát hóa

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễntheo sơ đồ sau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở

so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự sosánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượnggiống nhau

Ví dụ 1.4 Sau khi giải được các phương trình bậc hai, ta có thể khái quát hóa

1 (x +2)(x +3)=

3

4(1)

* Phân tích tìm lời giải

Với bài toán này thì việc chọn hướng quy đồng thì sẽ đưa bài toán vềgiải phương trình bậc 4 vì thế ta nên nghĩ đến việc tìm cách tách mỗi phânthức thành hiệu hai phân thức Chẳng hạn:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x=1 ; x=−4

* Phân tích lời giải

Nhờ vào việc tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức:

1 (x +k )(x +k +1)=

x(x +1)+

1 (x +1)(x+2)+

1 (x+2)(x +3)+

1 (x+3)(x +4 )=

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x=1 ; x=−5

* Hoạt động khái quát hóa

Thông qua các hoạt động cụ thể trong ví dụ trên, ta đi so sánh thấy đặcđiểm chung của hai phương trình là khi tách mỗi phân thức thành hiệu của haiphân thức ta có thể sử dụng phương pháp khử liên tiếp, từ đó dễ dàng thựchiện được phép tính Dựa trên đặc điểm chung này và tiến hành khái quát hóađến bài toán tổng quát sau:

Giải phương trình

1

x(x +1)+

1 (x +1)(x+2)+

1 (x+2)(x +3)+…+

1 (x +n−1)(x +n)=k

1.1.2.4 Tr u t ừu tượng hóa và cụ thể hóa ượng hóa và cụ thể hóa ng hóa và c th hóa ụ thể hóa ể hóa

Khi khái quát hóa chúng ta tách ra cái chung trong các đối tượngnghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phânbiệt gọi là trừu tượng hóa

Hoặc trừu tượng hóa là sự suy ngẫm tách một số tính chất chung củađối tượng ra khỏi những tính chất khác của chúng để đồng nhất chúng trongmục đích nghiên cứu nhất định.

Quá trình ngược lại nhưng lại có mối quan hệ mật thiết với trừu tượnghóa là cụ thể hóa Đó là ý nghĩa về một cái riêng mà cái riêng này tương ứngvới một cái chung nhất định Cũng có thể nói: cụ thể hóa là quá trình minhhọa hay giải thích những khái niệm, định luật khái quát, trừu tượng bằng ví dụ

Trừu tượng hóa và khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừutượng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật sâu hơn

Đối với học sinh, tương tự cũng đóng vai trò quan trọng trong việc rènluyện năng lực khái quát hóa Để giải một bài toán ta thường nghĩ về một bàitoán tương tự đã biết cách giải

a)3 x4−13 x3+16 x2−13 x +3=0 (1)

Cách 1:

*Phân tích

Đây là phương trình bậc 4 không phải là phương trình trùng phương,

HS chưa biết cách giải Phân tích đa thức VT thành nhân tử, phương trình (1)đưa về giải phương trình tích

Nhận thấy (1) là phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng qua bậc 2, x=0

không là nghiệm của phương trình, chia cả 2 vế phương trình cho x2ta đưađược về phương trình bậc hai quen thuộc đã biết cách giải:

* Phân tích

Đây là phương trình bậc 6 khó trong việc phân tích đa thức thành nhân

tử Nhận thấy phương trình (2) cũng là phương trình bậc chẵn, các hệ số đối

xứng và x=0 không là nghiệm của phương trình, với suy nghĩ tương tự cách 2

bài toán trên ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là: x=−1.

* Khái quát hóa

Ta có thể thấy cái chung của các phương trình trên là bậc chẵn, hệ sốđối xứng nhau, như vậy ta có thể khái quát hóa bài toán thành:

Nhận thấy phương trình có hệ số đối xứng qua bậc n, x=0 không là

nghiệm của phương trình Chia cả hai vế cho x n ta được:

x l à m ẩ n , ph ươ ng đã cho đ ơ n gi ả n h ó a d ướ i d ạ ng ẩ n mớ i.

Từ đó ta có bài toán tương tự sau:

để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập

và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định Dưới đây

là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người

khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [9]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của

con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiệncần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [1]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người

đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo [3])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy

sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (địnhnghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhưtính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sángtạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhậnrằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, tức

là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợicho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

* Đặc điểm của năng lực tư duy

Năng lực tư duy là một khả năng, một phẩm chất tâm sinh lý của ócngười, vừa như là cái tự nhiên bẩm sinh “sẵn có”, vừa như là sản phẩm củalịch sử phát triển xã hội Cái vốn có của tự nhiên ấy thông qua rèn luyệntrong thực tiễn mới trở nên một sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người

và xã hội

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừutượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn đề, xử lý vàlinh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vàothực tiễn.

Năng lực tư duy có yếu tố bẩm sinh Thực tế chứng minh rằng yếu tốbẩm sinh của năng lực tư duy có vai trò quan trọng nhưng chỉ ở dạng khảnăng, có thể rèn luyện nâng cao, phát huy được “Năng lực con người khôngphải hoàn toàn do tự nhiên mà có mà một phần lớn do công tác tập luyện màcó”

* Những yếu tố cơ bản của năng lực tư duy

- Một là, yếu tố thấp của năng lực tư duy là năng lực ghi nhớ, tái hiện,

vận dụng tri thức đã tiếp thu, không có năng lực thì không có cơ sở cho sự suynghĩ và tư duy

- Hai là, trừu tượng hóa, khái quát hóa trên năng lực phân tích và tổng hợp.

- Ba là, liên tưởng, tưởng tượng, suy luận là một loại năng lực bậc cao

của tư duy, năng lực này gắn liền với cảm xúc tạo ra sức sáng tạo

- Bốn là, trực giác với linh cảm là sản phẩm của quá trình tích lũy, suy

ngẫm trong quan sát và nghiên cứu

1.2.2 Năng lực khái quát hóa

Có th nói trong cu c s ng và h c t p, kh p n i và m i lúc đ u c nể hóa ột số thao tác tư duy khác ối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ọn đề tài ật của ắp nơi và mọi lúc đều cần ơng tự ọn đề tài ề tài ần

đ n phết khoa học ư duyơng tựng pháp t duy khái quát Đúng nh Đ i văn hào Nga - Lepư duy ư duy ại văn hào Nga - LepTônxtôi đã nói: “Ch khi trí tu c a con ngỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ủa ư duyời tự khái quát hoặc đã kiểm ựi t khái quát ho c đã ki mặc đã kiểm ể hóa

tra s khái quát thì con ngự ư duyời tự khái quát hoặc đã kiểmi m i có th hi u đớc đó ta chưa ể hóa ể hóa ư duyợng hóa và cụ thể hóac nó” Không có kháiquát thì không có khoa h c; không bi t khái quát là không bi t cách h c.ọn đề tài ết khoa học ết khoa học ọn đề tài

Kh năng khái quát là kh năng h c t p vô cùng quan tr ng, kh năngả thuyết khoa học ả thuyết khoa học ọn đề tài ật của ọn đề tài ả thuyết khoa họckhái quát Toán h c là m t kh năng đ c bi t” [15, tr.170].ọn đề tài ột số thao tác tư duy khác ả thuyết khoa học ặc đã kiểm ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác

Trong s các năng l c trí tu thì năng l c khái quát hoá tài li u Toánối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ự ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ự ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác

h c là thành ph n c b n nh t c a năng l c toán h c; đi u này đã đọn đề tài ần ơng tự ả thuyết khoa học ất ủa ự ọn đề tài ề tài ư duyợng hóa và cụ thể hóaccác nhà S ph m, nhà Toán h c nh : V A Krutecxki, A I Marcusêvich,ư duy ại văn hào Nga - Lep ọn đề tài ư duyPellery, T ch c qu c t UNESCO, kh ng đ nh trong s đ c u trúcổ chức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc ức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc ối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ết khoa học ẳng định trong sơ đồ cấu trúc ịnh trong sơ đồ cấu trúc ơng tự ồ cấu trúc ất.năng l c toán h c c a mình.ự ọn đề tài ủa

Đ giúp h c sinh phát tri n năng l c khái quát hoá c n t p luy nể hóa ọn đề tài ể hóa ự ần ật của ệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy kháccho h ho t đ ng khái quát hoá và đi u c t y u nh t là n m v ngọn đề tài ại văn hào Nga - Lep ột số thao tác tư duy khác ề tài ối liên hệ giữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác ết khoa học ất ắp nơi và mọi lúc đều cần ữa khái quát hóa và một số thao tác tư duy khác

phư duyơng tựng pháp khái quát hoá

* Vai trò c a khái quát hóa trong d y h c Toánủa ại văn hào Nga - Lep ọn đề tài

Trong toán học khái quát hóa trở thành một phương pháp suy nghĩ sángtạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng nhưtrong toán học cao cấp Khái quát hóa có thể vận dụng để mò mẫm dự đoánkết quả, tìm phương hướng giải bài toán, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóakiến thức

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa đã thâm nhập vào mọikhâu của quá trình dạy học, là con đường giúp chúng ta hình thành các trithức lí thuyết, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán đểtìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Về vai

trò của khái quát hóa được Đào Văn Trung đề cập đến trong cuốn “Làm thế

nào để học tốt toán phổ thông”: “Trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và

mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát này”

Ví dụ:

- Khái quát hóa để hình thành khái niệm

- Khái quát hóa để hình thành định lý

- Khái quát hóa các bài toán Toán học

- Khái quát hóa để hình thành phương pháp giải các lớp bài toán

- Khái quát hóa hướng suy nghĩ giải bài tập toán

Trong quá trình làm Toán, chúng ta thấy có rất nhiều bài tập dễ giải hơntrong trường hợp tổng quát Vì vậy có những lúc đứng trước một bài Toán takhông tìm ra cách giải thì ta thử tìm ra bài toán tổng quát và giải nó đôi khi cho

Lý thuyết phương trình đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu (Điophăng,Viet, Đề các,…) và đã được phát triển thành lý thuyết đại số học cổ điển.

Lý thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học

mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học Người tanghiên cứu không chỉ những phương trình đại số còn cả phương trình vi phân,phương trình tích phân, phương trình toán lý, phương trình hàm,… [6,tr.65]

1.3.2 Dạy học phương trình ở các lớp

Kiến thức về phương trình được đưa ra cho HS xuyên suốt trongchương trình toán phổ thông, cụ thể là:

* Bậc tiểu học, HS được làm quen một cách ẩn tàng với phương trình

và việc giải chúng thông qua một số dạng bài tập phù hợp với việc mở rộngcủa hệ thống số:

Ví dụ:

- Điền số thích hợp vào ô trống: 2 + = 7

- Tìm số tự nhiên a biết: a +2 =5

- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

- Tìm hai số khi biết tỉ số

- Các bài toán về vận tốc, quãng đường

* Lớp 6, 7, 8 HS được làm quen với các bài toán giải phương trìnhphức tạp hơn so với bậc tiểu học.

+ Phương trình có hệ số bằng chữ;

+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Lớp 9: HS được học về hệ phương trình tương đương và các phépbiến đổi tương đương với hệ phương trình Hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn số và các phương pháp giải hệ phương trình, tiếp đó HS được học phươngtrình bậc hai một ẩn số và một số phương trình quy về bậc hai

- Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về phương trình mà

HS đã được học ở trường trung học cơ sở cụ thể là: đại cương về phươngtrình, phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, một số phương trình quy vềphương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

- Lớp 11,12: HS được học về một số phương trình siêu việt cụ thể làphương trình lượng giác, phương trình mũ và lôgarit

1.4.3 Mục đích, yêu cầu, tác dụng của giải bài tập Giải phương trình

- HS cần nắm vững phương trình và các khái niệm liên quan: nghiệmcủa phương trình, giải phương trình, quan hệ tương đương giữa hai phươngtrình

- Thông qua chủ đề phương trình cần củng cố và đào sâu một số kiếnthức về tập hợp logic, cụ thể là những khái niệm tập hợp, phần tử, quan hệbao hàm, quan hệ giao nhau giữa hai tập hợp, các phép toán hợp, giao của haitập hợp, các phép toán logic “kéo theo” và “tương đương”

- HS có kỹ năng giải phương trình, thành thạo với việc giải phươngtrình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổixác định, chẳng hạn phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một

ẩn, phương trình trùng phương,… đồng thời biết linh hoạt vận dụng nhữngkiến thức về giải phương trình theo nội dung, chẳng hạn phương trình có dấugiá trị tuyệt đối, một số phương trình mũ và phương trình logarit, biết nhìnkhái niệm phương trình về cả mặt ngữ nghĩa, lẫn mặt cú pháp trong khi giảiphương trình

- HS biết cách giải phương trình bằng đồ thị, thông qua đó thấy đượcmối liên hệ giữa phương trình và hàm số

- HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, nhất là đốiphương tình bậc nhất và bậc hai

- HS được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong việcgiải phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quytắc biến đổi xác định, được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen

tự kiểm tra trong việc giải phương trình nói chung

- HS thấy rõ ý nghĩa thực tế của phương trình thông qua việc giải nhữngbài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật và thực tế

1.4.4 Một số chú ý khi dạy học giải bài tập Giải phương trình

- Dạy học giải bài tập Giải phương trình không chỉ chú ý đến giải bài tập

mà còn đồng thời vận dụng các năng lực khác: hoạt động trí tuệ như phântích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự, trừu tương hóa, cụ thể hóa,những hoạt động ngôn ngữ như trình bày vấn đề và giải quyết vấn đề bằng lời

lẽ của mình, tính giải được, tính phân chia trường hợp

- Thầy giáo cần cung cấp cho HS phương pháp chung để giải bài toángồm 4 bước dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết củaPolya về cách giải bài toán đó là: tìm hiểu nội dung đề bài, tìm cách giải, trìnhbày lời giải, và nghiên cứu sâu lời giải Cần dạy cho HS dần dần hiểu và vậndụng được những gợi ý có tính chất tìm đoán để thực hiện các bước này.

- Thầy giáo cần xây dựng mạch bài tập phân bậc để điều khiển quá trìnhdạy học: từ đơn giản vừa trình độ với HS đến nâng cao dần năng lực tổng hợpkiến thức Qua đó giúp cho HS hứng thú và tự giải bài tập chứ không chỉ nghethầy hoặc xem bạn bè chữa bài tập Kinh nghiệm cho thấy rằng HS làm đượcmột bài tập hiệu quả còn hơn là xem người khác trình bày

- Giải phương trình thực chất là việc vận dụng các phép biến đổi để đưa

về phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Từ đó rèn luyện nănglực khái quát hóa cho HS khi giải toán, biết phân loại các bài toán thành cácnhóm có phương pháp giải chung

1.4.5 Phân loại phương trình

Chương 1 đã nghiên cứu tổng quan về tư duy, nghiên cứu khái niệm về

tư duy, năng lực tư duy và các thao tác trí tuệ về tư duy đặc biệt là nghiên cứusâu về năng lực khái quát hóa một trong các năng lực cơ bản và thiết thực vớiHS; nghiên cứu những kiến thức cơ bản về phương trình, từ đó định raphương hướng để xây dựng các biện pháp rèn luyện năng lực khái quát hóacho HS thông qua dạy giải bài tập Giải phương trình

Trong chương trình Toán phổ thông thì chuyên đề về phương trình rấtquan trọng Để giúp HS hứng thú học tập môn Toán nói chung và chuyên đềphương trình nói riêng thì người giáo viên giảng dạy toán phải có cách nhìntổng quát về môn Toán, vai trò của năng lực khái quát hóa trong hoạt độnggiải bài tập Giải phương trình để đưa ra những biện pháp phù hợp nhằm rènluyện năng lực khái quát cho HS qua từng dạng bài tập cụ thể

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP

VỀ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực khái quát hóa cho HS

2.1.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở

so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích tổng hợp

-Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên mộtmức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biếncủa các đối tượng đang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoáphải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt

Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động sosánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất chung để khái quát hoá Kết quảhoạt động khái quát hoá chỉ là dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặtToán học cần có bước chứng minh Đường lối chứng minh kết quả khái quát

có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình giải các bài toán cụ thểnhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưathể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cần gợi động cơ

để HS có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích choviệc giải quyết bài toán tổng quát

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một conđường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh conđường này (con đường của số đông HS) còn tồn tại một con đường khác (conđường của một số HS có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh mà dựatrên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giốngnhau.Việc nhận biết một số bài tập cụ thể như là đại diện của một lớp bài tậpcùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này Vì vậy, ta coi trọng đúng mứcnhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá.

* Phân tích bài toán

Nếu quy đồng mẫu hai vế thì mẫu thức chung khá lớn Để ý khi thấycộng mỗi phân thức ở cả hai vế của phương trình cho 1 thì các phân thức nhậnđược sẽ có tử thức bằng nhau, đặt nhân tử chung quy bài toán về giải phươngtrình bậc nhất đơn giản

* Phân tích bài toán

Ta thấy nếu quy đồng mẫu thức hai vế thì mẫu thức chung quá lớn

Mà14+1=13+2=−1+16=−2+17 Ta nghĩ đến việc cộng thêm 1 vào mỗiphân thức ở hai vế của phương trình thì các phân thức nhận được sẽ có tửthức bằng nhau, xuất hiện nhân tử chung và đưa về phương trình tích

Vậy phương trình có một nghiệm là: x=−15

Ví dụ 2.3 Giải phương trình với các tham số a, b, c:

x−a b+ c +

x −b

c +a+x−c a+b=3 (3 )

* Phân tích bài toán

Tương tự cách làm các bài toán trên ta biến đổi bài toán về dạng có thể

đặt được nhân tử chung Từ giả thiết a, b, c là các tham số giải biện luận

phương trình theo tham số

* Hoạt động khái quát hóa

(a+b=c+d=e +f =g+h=m+ n= p+ q)

q)≠ 0 n ê n x +a+ b=0 suy ra x=−(a+b)

2.1.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động tương tự hoá và đặc biệt hoá

Các phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá và tương tự hoá đặc biệt

có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng chúng đểgiải các bài toán đã cho, để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phươnghướng giải bài toán, để mở rộng đào sâu và hệ thống hoá các kiến thức

Khi giải một bài toán, phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toánphải giải thành một bài toán tương tự, đơn giản hơn, sao cho nếu giải được bàitoán sau thì sẽ giải được bài toán đã cho Đây là một hoạt động mà chúng tacần phải bồi dưỡng cho HS Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hình thành ở

HS khả năng ngược lại, tức là từ những trường hợp đặc biệt rồi cho HS dựđoán kết quả khái quát hoá

Ví dụ 2.5

Giải phương trình 3

√x+2006+√3 x+2007+√3x +2008=0

* Phân tích bài toán

Ta thấy phương trình chứa căn là bậc 3, nếu ta lập phương hai vế củaphương trình lên thì bài toán sẽ phức tạp hơn, gặp khó khăn trong quá trìnhgiải toán Nhẩm nghiệm của phương trình ta thấy x=−2007 là nghiệm củaphương trình và ta đi chứng minh nghiệm đó là duy nhất

⟹ phương trình không có nghiệm khix <−2007

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=−2007.

* Hoạt động khái quát hóa

Ta thấy các hằng số trong mỗi căn thức là các số nguyên liên tiếp nhau,

và nhờ phương pháp đánh giá ta đã giải được bài toán Khi đó ta khái quáthóa bài toán thành dạng như sau:

2.2.3.1 Phương trình đa thức và phương trình phân thức hữu tỷ

Bài toán 2.1 Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình có nghiệm x=1+√32

* Hoạt động khái quát hóa

Ta thấy các bài toán trên đều có hướng làm là nhóm lập phương, đưaphương trình về dạng:

(ax +b )3=(cx +d )3(đưa về hai vế lũy thừa cùng bậc), sau đó dùng phép biến đổi thông thường a3=b3⟺ a=b

Bài toán 2.2 Giải phương trình x4