sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ

CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019

MỤC LỤC

1 Mở đầu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3 Kết luận, kiến nghị

1 – MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 3 với hình thức thi trắc nghiệm

Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu Để qua đó, chỉ cần kiểm tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải

Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng toán khó và xuất hiện thường xuyên Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dục đào tạo: “Cho số phức z a bi  thoả mãn |z 4 3 i 5 | Tính P a b  khi

|z 1 3 | |i  z 1 i| đạt giá trị lớn nhất” đã làm giáo viên và học sinh khá đau đầu

Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận dạng và làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểm quan trọng để phát hiện vấn đề Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác Và đã viết thành một sáng kiến kinh

nghiệm có tên: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 1 sử

dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt

để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp

12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? Có giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn

gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để

Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh

hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận:

Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:

a)Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z x iy x y R  ( ,  ) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là

một điểm M x y( ; ) Khi đó:

+) Môđun của số phức z bằng OM

+) Hai điểm biểu diễn của số phức z và số phức liên hợp của số phức z đối xứng nhau qua trục hoành

+) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức đối - z của số phức z đối xứng nhau qua gốc O

Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của phép cộng, phép trừ hai số phức)

Cho z1x1 y i1 là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y với1 1 1( ; )

2 2

|OM | x  y

Cho z2 x2  y i2 là số phức có điểm biểu diễn hình học là

M1(x2;y2) với |OM 2| x22  y22 Khi đó:

Tổng hai số phức z1z2 OM 1OM 2 OQ

thì điểm Q là điểm biểu diễn số

phức z1 + z2 và z1 + z2 = |OQ|

Hiệu hai số phức z1 z2 OM1 OM2 M M2 1

thì M M 2 1 biểu diễn số phức

1 2

z  z và |z1 z2|M M1 2



Nếu hai vecto OM 1 và OM 2 không cùng phương thì đỉnh Q là đỉnh của hình

bình hành OM1QM2 và z1 z2 và |z1z2| lần lượt là độ dài hai đường chéo

M 1 M2 và OQ của hình bình hành đó.

Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).

+)Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0

+) Phương trình đưòng tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2

+) Phương trình Elip : x22 y22 1

+) Phương trình Parabol y = ax2

b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b.

+) |z a | | z b|MA MB Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực của đoạn AB.

+) |z - a| = R <=> |MA| = R Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán kính

R

+) |z - a| + |z - b| = k <=> MA + MB = k (k>0, k R, |a - b| < k) Khi đó tập

hợp

M là đưòng Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12

và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bài toán về cực trị của số phức

là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề

Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh,

và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:

Năm Lớp Sĩ số

Số học sinh trả lời chính xác

Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1p

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này

mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:

Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm tuần tự các bước giải tự luận như đã học, Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và

mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương

án chính xác một cách nhanh nhất

Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp hình học giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi đưa ra một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọn nhất:

2.3.1 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

Bài toán 1 : (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017) Cho số phức z thoả

mãn z 4 Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i)z + i là đưòng tròn tâm I bán kính R khi đó:

A (0;1);I R 2 5 B I(1;0);R 10

C I(0;1);R 20 D (1; 2);I  R22

Lời giải

Từ giả thiết z (3 4 ) i z i |z i | | (3 4 ) |  i z |z i | 324 | |2 z

|z i| 5.4 |z i| 20

Giả sử: z x yi  thì ta có x2 (y 1)2 20

Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R  20

Đáp án đúng là A.

Bài toán 2: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2018 lần 1 của trường THPT Trần

Phú - Quảng Ninh) Cho số phức z thoả mãn 2z z 3i 3

z i



 Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:

A.Một Parabol B Một đưòng tròn

C.Một Elip D.Một đưòng thẳng

Lời giải: Giả sử z x yi x y R  ( ,  ) suy ra z x yi  Từ giả thiết ta có:

2

(3 3 )

( 1)

2

9



Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là một Parabol

Đáp án đúng là A.

Bài toán 3 : (Toán học tuổi trẻ, 478(2017)) Cho tập hợp các điểm biểu

diễn số phức z thoả mãn |z2 | | z 2 | 5 trên mặt phẳng toạ độ là:

A Một Parabol B.Một đưòng tròn C.Một Elip D Một đưòng thẳng

Lời giải: Gọi số phức z x yi x y R  ( ,  ) Từ giả thiết ta có

| (x2) yi| | ( x 2) yi| 5 |MA| | MB| 5 với F1( 2;0); F2(2;0)

Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là Một Elip Đáp án đúng là

C.

Bài toán 4 : Điểm M biểu diễn số phức z z ( 0)và điểm M’ biểu diễn số

phức z 1 1

z

  Nếu điểm M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính

2

R  thì M’ di động trên đường nào?

A x2  y22x 2y0 B 2x2y 1 0

C 2x 2y 1 0 D 2x2y 1 0

Lời giải: Ta có: 1 1 2

| |

z z



2 2

2 2

' '

x x

y y











Vì M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 nên tập hợp M thuộc

(x1) (y 1)  2 x  y 2x 2y0

Do đó điểm M’ chạy trên đường thẳng 2x 2y 1 0 Đáp án đúng là C.

Bài toán 5 Biết số phức z thoả mãn điều kiện 3 | z 3 1| 5i  Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng Diện tích của hình phẳng đó bằng:

Lời giải: Đặt z x yi  ta có |z 3 1|i  (x 1)2 (y 3)2 Do đó

3 | z 3 1| 5i   0 (x 1) (y 3) 25

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm I(1;3) với bán kính bằng r = 5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I(1;3) với bán kính r = 3 Diện tích của hình phẳng đó là S52  32 16 Đáp án

đúng là A.

*Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn |z| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn

các số phức w = 3 - 2i + (2 - i)z là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

Bài 2: Cho các số phức z thoả mãn |z - 1| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu

diễn các số phức w (1 i 3)z2 là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

Bài 3: Điểm biểu diễn số phức z 3 4i2019

i



 có toạ độ là:

Bài 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn

điều kiện |z - i| = 1 là:

A Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1) và B(-1;1)

B Hai điểm A(1;1) và B(-1;1)

C Đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1

D Đường tròn tâm I(0;-1) bán kính R=1.

Bài 5:Toạ độ điểm M biểu diễn trong mặt phẳng Oxy của số phức

3 5

7 2

1

i

i





Bài 6: Cho số phức z thoả mãn 2 |z 2 3 | | 2 i  i 1 2 |z Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là:

A Một parabol B Một đường tròn C Một Elip D Một đường thẳng

Bài 7 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức |z 2 | 3i  là đường tròn tâm I Tìm tất

cả các giá trị m để khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d : 3x4y m 0

bằng 1

5.

A m = -7; m = 9 B m = 8; m = - 8 C m = 7; m = 9 D m = 8; m = 9

Bài 8 : Cho điểm A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn của ba số phức phân biệt

1 2 3, ,

z z z thoả mãn |z1|=|z2|=|z3|=1 và z1 + z2 + z3= 0 Tính diện tích S tam giác

ABC.

2.3.2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z

Bài toán 1 : Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 Giá trị nhỏ nhất của z là:

Lời giải: Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I2; 4 và bán kính 5

Đáp án đúng là C.

Bài toán 2: Nếu các số phức z thỏa mãn 1i z  1 7i  2 thì z có giá trị

lớn nhất bằng:

Lời giải: Ta có: 1  1 7 2 1  1 7 2

1

i

i





1 i z 3 4i 2 z 3 4i 2 z 3 4i 1

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I3;4 và bán kính R 1

Vậy max z OI R  32 42    Đáp án đúng là D.1 6

Bài toán 3 : Trong số phức z thỏa mãn z 5i  3 , số phức có z nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I0;5 và bán kính R  3

Vì z OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z 2i ứng với điểm M10;2 

 Đáp án đúng là D.

Bài toán 4: (Câu 46 Đề thi mẫu THPTQG của Bộ giáo dục năm 2018).

Cho số phức z = a + bi thoả mãn điều kiện |z 4 3 | i  5 Tính giá trị biểu thức P = a + b khi

|z + 1 - 3i|+|z - 1 + i| đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Với z = a + bi ta có |z 4 3 | i  5(a 4)2(b 3)2  Các điểm5

M biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(4;3)

và bán kính R  5 Khi đó T = |z + 1 - 3i| + |z - 1 + i|

T = |(a + 1) + (b - 3)i| + |(a - 1) + (b + 1)i| <=> T = MA + MB với A(-1; 3); B(1; -1) Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường tròn tâm I(4;3) và bán kính R  5

Ta tính được IA IB  5 5 suy ra điểm A, B nằm ngoài đường tròn tâm I

Mặt khác T 2 = (MA + MB) 2 ≤ (1 + 1)(MA 2 + MB 2 ) = 4DM 2 + AB 2 ≤ 4DK 2 +

AB 2 (Với D là trung điểm đoạn thẳng AB)

Dấu bằng xảy ra khi M  K <=> D, I, K thẳng hàng.

Tìm toạ độ K Ta có DI  16 4  20,DK DI R  20  5 3 5

2 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Với M(a;b) thì a=6 và b=4 Do giá trị lớn nhất của biểu thức T2 là 4DK 2 + AB 2

khi và chỉ khi M(4;6) Suy ra P=10 Đáp án đúng là A.

Bài toán 5: ( Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa - Hà Nội năm 2018)

Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z 2 |i  z 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P |z 2 |i  z 5 9 i

Lời giải: Với z = x + yi ta có |z - 2i| = |z + 2| <=> x + y = 0 Các điểm M

biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường thẳng x + y = 0 Khi đó P |z 2 | |i  z 5 9 | i  x2 (y2)2  (x 5)2 (y9)2

P MA MB

   với A(0; 2); (5; 9) B 

Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường thẳng ∆ :x + y = 0 với

f(x;y) =x+y, ta có f(0;-2).f(5;-9) = 8> 0, suy ra A, B nằm cùng phía với đường thẳng ∆ Gọi điểm C đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆ thì P = MA + MB

= MC + MB ≥ BC Dấu bằng xảy ra khi M M1 <=> C,M 1 , B thẳng hàng.

Giá trị lớn nhất của biểu thức P là P BC  32  ( 9)2 3 10

Đáp án đúng là A

Bài toán 6:(Đề thi thử THPT Quốc gia của trường THPT chuyên Lào Cai

năm 2018) Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z 1 5 | |i   z 3 i| Giả sử số phức có môđun nhỏ nhất có dạng P= a + b Khi đó S a

b

 bằng bao nhiêu?

3

3

4

2

S 

Lời giải: Với z = a + bi ta có |z 1 5 | |i   z 3 i| a 3b 4 0 hay

M nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0

Số phức z có môđun nhỏ nhất <=> OM có độ dài ngắn nhất, mà OM≥OH (với

H là chân đường vuông góc của gốc toạ độ O trên đường thẳng d) nên OM ngắn nhất khi MH Ta đi tìm toạ độ điểm H(a;b), vì H nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0 hay toạ độ 2 6;

5 5

H  

 , suy ra 1

3

S  Đáp án đúng là B

Bài toán 7: (Đề thi thử THPTQG của trường đại học Vinh khối chuyên

năm 2018) Cho số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện |iz + 2 - i| = 1 và |z1 - z2|=2 Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z1|+|z2| bằng:

Lời giải: Từ giả thiết ta có |iz 2 i| 1 (x 1)2 (y 2)2  và1

M1M2 = 2 Với các điểm M1, M2 biểu diễn hai số phức z1,z2 trên mặt phẳng phức thoả mãn hai hệ thức trên nên M1, M2 nằm trên đường tròn tâm (1; 2)I bán kính R 1 và M1M2 đi qua tâm I của đường tròn Khi đó P = |z1|+|z2|=OM1 +

OM2 Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác OM1M2 ta có:

Mặt khác