Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...
Trang 1Chương 6: Thăng Giáng
KE
Đại cương Thăng Giáng
Sự sai lệch khỏi giá trị trung
bình của một đại lượng vật
lý (khi hệ ở trạng thái cân
bằng)
Thăng giáng xảy ra liên tục
theo thời gian và mang tính
ngẫu nhiên
Nhiệt động học bỏ qua thăng giáng vì nó nhỏ hơn rất nhiều so với trị trung bình, ta chỉ xét Thăng giáng trong vật lý thống kê
Trang 26.1 – Các công thức
• Độ Lệch khỏi trị trung bình:
) 1 6 ( Y
Y
Y
Lấy trung bình của độ lệch khỏi trị trung bình :
Thăng giáng được Định nghĩa là căn bậc hai của
Y (
) 2 6 ( 0
Y Y
Y Y
Y
Y ( 6 3 ) Y
Y Y
Y 2 Y
) Y Y
(
) 5 6 (
%
100 Y
Y
Trang 36.2 – Thăng giáng theo
phân bố Gauss
• Mục đích phần này là tìm hàm phân bố xác suất của các giá trị thăng
giáng rất nhỏ và khác nhau Giả sử hệ đang ở trạng thái cân bằng, Hàm phân bố thăng giáng tỉ lệ với entropy thống kê {(x)}
•
Như vậy xác suất để x có giá trị trong khoảng x x+dx sẽ là:
) 6 6 ( )}
x ( exp{
A )
)}.
x ( exp{
A dx
0 x
Trang 4Tích phân Gauss Gaussian integral
http://www.umich.edu/~chem461/Gaussian%20Integrals.pdf
Trang 56.2 – Thăng giáng Gauss
• Khai triển và dừng ở số hạng bậc hai
) 9 6 (
) x x
](
x
) x
( [
! 3
1 )
x x
](
x
) x
( [
! 2
1 ) x ( )
x
3 2
( x
)}
x (
( 2
A 1
dx
} 2
) x x
( exp{
A dx
) 2
) x x
( exp(
A ))
Trang 66.2 – Thăng Giáng Gauss
Thay vào Hàm phân bố Gauss tường minh:
) 13 6 ( dx
).
2
) x x
( exp(
2
dx ) x (
Phân bố này có cực đại tại x = trung bình của x
Bài tập1: Hãy tính bình phương của trung bình
độ lệch
) 14 6 ( 1 2
1 2 x
) x x ( Gaussian
du ).
2
u exp(
u )
x x (
dx du
) x x ( u
: iable var
new to Change
dx ).
2
) x x (
exp(
) x x ( )
x x (
2
2 2
2
2 2
Trang 76.2 – Hàm phân bố Gauss
• Thay vào biểu thức hàm phân bố:
Bài tập: Xem file dữ liệu là các thăng giáng theo thời gian
Hãy tính trị trung bình của bình phương các thăng giáng đó ?
Tính thăng giáng tương đối %
Viết biểu thức tường minh của hàm phân bố Gaussian ?
) 16 5 ( ) x (
L x
1 e
e
e e
) x u
exp(
x 1
) x u
exp(
x
1 )
x u
1 1
1 1 2
1 1
} x
2
) x x
( exp{
x 2
1 )
x (
: on distributi
Trang 86.4 – Thăng giáng năng lượng
hệ chính tắc
• Xét hệ cân bằng với bình nhiệt ở nhiệt độ T (hằng số), không có thăng
giáng Tuy nhiên năng lượng thì có thăng giáng do hệ trao đổi nhiệt với nguồn Khi đó ta xét hàm phân bố theo năng lượng
Năng lượng trung bình được tính bởi:
n B
n n
} E exp{
z
&
T K
1 with
) 17 6 ( } E
exp{
z
1 }
T K
E exp{
z
1 )
E (
) 18 6 (
z z
1 z
) E (
E )
E ( E
E
) E exp(
E }
E exp{
z :
from
n n
n
n n
n
n n
n n
Trang 9Bài Tập
) 19 6 (
z z
1 z
} E
exp{
E E
2 n
n
2 n
z
1 E
) 20 6 ( E
E
E
2 2
2
2 2
• Tính giá trị trung bình của bình phương năng lượng?
• Tính Thăng giáng năng lượng
Trang 10Bài Tập
) 21
6 ( C
T K
2 B V
2 2
2
2 2
2
T K C E
E
T K
1
E T
E T
E C
: But
) 23 6 (
E z
z { z
1 E
}
z
z { z
1 E
Trang 11Bài Tập
)24.6(
%U
CT
K
%E
E
2 B
2 B V
2 2
2
2 2
2
T K C E
E
T K
1
E T
E T
E C
: But
) 23 6 (
E z
z { z
1 E
}
z
z { z
1 E
Trang 12Bài tập tổng hợp
• Tính thăng giáng năng lượng của 1 mol khí lý tưởng ở nhiệt độ phòng Tính thăng giáng tương đối% (của năng lượng)
• Tính
) 25
6 ( )
small very
( 10
10 10
10
NK T
K C
T K
E
NK C
T NK
U : from
205
2246
B
2B
V
2B
BV
Trang 136.4 – Thăng giáng số hạt của hệ chính
tắc suy rộng
• Khi số hạt có thăng giáng, tổng thống kê tính bởi:
Ta xét hàm thế :
) 27
6 (
} T
K
E
N exp{
Z
n ,
N , n
) 28 6 ( ) Z ln T K ( N
} T
K
E
N exp{
N
} T
K
E
N exp{
T K )
Z ln T K (
} T
K
E
N exp{
n T K nZ
T K
B n
,
N , n
n ,
N , n B
B
n ,
N , n B
Trang 14?
} T
K
E
N exp{
N
N
n ,
N , n 2
n ,
N B
N , n 2
2
n ,
N B
N , n 2
B n
,
N B
N , n
n ,
N B
N , n
) nz T K ( T K
N T K
} T K
E N exp{
N N
} T K
E N exp{
N T
K
1 }
T K
E N exp{
N
} T K
E
N exp{
N N
Trang 15N T
K
z z
1
z z
1 T
K N
N N
B
2 2
2
2 2
B
2 2
N
? N
Trang 16Trị trung bình của z
• Thay hàm phân bố ta có
) 34 5
( )
T K
H M g
exp(
) T K
H M g
J
J
J B J
B Z
10 T
K
H M
B
J B
()
TK
HM
g1(
)TK
HM
g1(M
J
M B
J B
B Z
Trang 17Triển khai Công Thức Euler
Trang 18Tích của tổng bình phương
• Tính tổng sau:
3 / ) 1 N 2 )(
1 N ( N KQ
) 2
N 1 1 N ( N
3 2
N ) N 1 ( 3 ) 1 N ( N 3
2
N ) N 1 ( 3 ) 1 N
( ) 1 N ( ) KQ ( 3
1 2
N ) N 1 ( 3 ) KQ ( 3 N
1) (N : Sum
1 3N 3N
N 1)
(N : N To
1 3.3 3.3
3 (4)
1 3.2 3.2
2 )
3 (
1 3.1 3.1
1 ) 2 (
1,2,3 N x
Give
1.
3x 3x
x 1)
(x : Start
? KQ N
3 2
1
3 3
3 3
2 3
3
2 3
3
2 3
3
2 3
3
2 3
3
2 2
2 2
Trang 19Trị trung bình của z
) 37 5 ( )
1 J
2 (
) T K
H M
g 1
1 J
.(
J
H K
3
) g
( N T
( 3
) 1 J 2 ).(
1 J (
J T K
H
g ) T K
H M
g 1 (
M
B
B J
J
J
B J
Số hạng sau ngoặc khi
lấy tổng triệt tiêu:
1 J
.(
J
H T K 3
) g
( )
1 J
2 (
T K 3
) 1 J
2 )(
1 J
.(
J H )
g
(
B
2 B B
2 B
Trang 203.6 – Tổng quát tính z như sau:
Đưa dấu tổng ra:
) 27 3 ( )
H M H
M
( i
1 t
H H
H H
C H
C C
C
H t
i
KJ KJ
KJ
m
KJ mJ
* mK
KJ m
mJ
KJ m
KJ
* mK
J I
IJ
* K
J m
* K
* mK KJ
M H M H
M M
( i
1 t
) M
( : rewrite
) M H M H
M M
( i
1 t
) M (
Trang 213.7 – Áp dụng PT Liouville
) 29 3 ( 0
) M H M H
M M ( :
Ở trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t
Về hình thức, ta tạo ra toán tử ma trận thống kê dưới dạng sau:
) 30 3 (
C (
nn 2
n 1
n
21 22
21
n 1 12
11
n n
