Khảo sát hàm số

Xét chiều biến thiên của hàm số ∗ Tính đạo hàm ∗ Tìm các điểm tới hạn ∗ suy ra chiều biến thiên của hàm số b.Tính các cực trị ,điểm uốn c... Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ

đồ thị hàm số

x

y

o -2

2

y= x-2

Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x =-2 ; ycđ = y(-2) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yct = y(0) =-4

Kiểm tra bài cũ

Hãy cho biết sơ đồ khảo sát một hàm số ?

Sơ đồ khảo sát một hàm số

1 / Tìm TXĐ của hàm số

(xét tính chẵn ,lẻ,tuần hoàn (nếu có ) của hàm số)

2 / Khảo sát sự biến thiên của hàm số

a Xét chiều biến thiên của hàm số

∗ Tính đạo hàm

∗ Tìm các điểm tới hạn

∗ suy ra chiều biến thiên của hàm số

b.Tính các cực trị ,điểm uốn

c Tìm các giới hạn của hàm số

∗ Khi x dần tới vô cực

∗ Khi x dần tới bên trái , bên phải các giá trị của x tại đó hàm số không xác định

∗ Tìm các tiệm cận (nếu có)

d Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

∗ Tính đạo hàm cấp 2

∗ Xét dấu của đạo hàm cấp 2

∗ Suy ra tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

e.Lập bảng biến thiên của hàm số

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

-Vẽ các tiếp tuyến tại một số điểm đặc biệt như : cực trị,điểm uốn -Chú ý đến các yếu tố : đối xứng tâm , đôi xứng trục

Chú ý

- Đối với các hàm đa thức bậc 3, trùng phương thì

không phải tìm tiệm cận

- Đối với các hàm phân thức không phải tìm

khoảng lồi lõm

Hàm số y = ax 3 +bx 2 + cx+ d

y’ > 0 ⇒ Hsđb/ (- ∞ ,-2) ∪ ( 0, + ∞ )

y’ < 0 ⇒ Hsnb / ( -2, 0 )

x

ví dụ 1: Khảo sát hàm số : y = x3 +3x 2 - 4

Bài giải: 1/ Tập xđ : R

2/ Sự biến thiên :

a , Chiều biến thiên : y’= 3x2 + 6x

y’=0 ⇔ x=0 , x= -2

b, Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; ycđ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yct = y(0) = -4

d, Giới hạn = -∞ Lim y

x→- ∞ Và x→+ ∞= +∞

c Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

y’’= 6x + 6 , y” = 0 ⇒ x = -1 - -1 + xy’’

e, Bảng biến thiên

’

Vậy đồ thị hàm số : Lồi / (-∞ ,-1) ; Lõm / (-1, +∞ )

Điểm uốn : ( -1 ; -2 )

x y

y

-∞

-4 -2

-∞

Lim y

x

-2

-4

3/ Vẽ đồ thị

Giao với trục oy ⇔ x = 0 ⇒ y = -4

Giao với trục ox ⇔ y = 0 ⇔ x = -3 , x = 1

Chú ý

Khi vẽ đồ thị nên theo

thứ tự sau :

1 - Vẽ hệ trục

2- Vẽ CĐ ,CT, ĐU

3 - Vẽ đồ thị

-3

y’ = 0 cã hai

nghiÖm ph©n biÖt

y’ = 0 cã

nghiÖm kÐp

y’ = 0 v« nghiÖm

Bảng tóm tắt đồ thị hàm số bậc 3

a>0 a<0

y=0 có

2n 0 pb

kép

y= 0 vn

dáng điệu đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)

y’ = 0 có hai nhgiệm phân biệt

a > 0 a < 0

o

y

y

o

B ài tập về nhà

Bài3:

Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 - 4 (đồ thị là Cm)

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x3 +3x2 - 4 = m

c)Với giá trị nào của m phương trình

mx3 + 3mx2 + 4= 0

có 3 nghiệm phân biệt

x 0

-2

-4

-2

1 2 3 4

CH1 : Số cực đại , cực tiểu của hs bậc 3 phụ thuộc vào yếu tố nào?

(Luôn luôn có điểm uốn Đồ thị có tâm đối xứng chính là

điểm uốn)

CH2 : Đồ thị của hs bậc 3 có đặc điểm gì ?

Bài tập về nhà : Bài tập SGK

Bài học của chúng ta tạm dừng ở

đây

Củng cố bài

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) ∪ (-1; +∞)

III Một số hàm phân thức

d cx

b

ax

+

+

1)Hàm số: y = (c ≠ 0 , D = ad -cb ≠ 0)

Bài giải:

1)Tập xác định:

Ví dụ 1:Khảo sát hàm số:

1

2

+

+

−

x

x

y =

D = R \ -1 2)Sự biến thiên:

a)Chiều biến thiên

y’ = (-1)(x+1)-(-x+2)

(x+1)2 = -x-1+x-2

(x+1)2 = -3

(x+1)2 < 0 ∀x ≠ -1 

b)Cực trị

Hàm số không có cực trị

c)Giới hạn

lim y

x→(-1)

=

1 x

2

x

+

+

−

x→(-1)

-lim y

x→(-1) +

=

1 x

2

x

+

+

−

x→(-1) +

⇒x = -1 là tiệm cận đứng

lim y

2

x

+

+

−

⇒y = -1 là tiệm cận ngang

Ví dụ 1:Khảo sát hàm số:

1

2

+

+

−

x x

y =

e, Bảng biến thiên:

y'

y

-1

-Ví dụ 1:Khảo sát hàm số:

1

2

+

+

−

x

x

y =

Giao với trục o x: y = 0 ⇒ x=2 Giao với trục o y: x = 0

⇒y =2

Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-1;-1) làm tâm đối xứng

Vẽ đồ thị :

b)Cực trị

Hàm số không có cực trị

c)Giới hạn

lim y

x→(-2)

=

x→(-1)

-lim y

x→(-2) +

=

x→(-1) +

⇒x = -2 là tiệm cận đứng

lim y

⇒y = 1 là tiệm cận ngang

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =

2

3

+

−

x x

2

3

+

−

x x

2

3

+

−

x x

2

3

+

−

x x

e, Bảng biến thiên:

y'

y

-1

Giao với trục o x: y = 0 ⇒ x=3 Giao với trục o y: x = 0

⇒y =-3/2

Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-2;1) làm tâm đối xứng

Vẽ đồ thị :

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y =

2

3

+

−

x x