ôn thi Hinh Hoc phẳng Oxy

Vi t ph ng trình đ ng th ng AB.. Vi t ph ng trình đ ng th ng AB... Vi t ph ng trình đ ng th ng AB... GV: Nguy n Thanh Tùng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01.

I BÀI TOÁN

1 N i dung

2 Cách gi i chung

Cách 1: T a đ A B, là nghi m c a h 1

1

( ) ( )



 Ph ng trình AB Cách 2: Gi s 2 2

(C ) :x y a x b y  c 0 và 2 2

(C ) :x y a x b y c 0

Khi đó t a đ A B, là nghi m c a h :

2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2

0

0

x y a x b y c

x y a x b y c



Suy ra ph ng trình AB: (a1a x2) (b1b y2)    c1 c2 0

Chú ý:

đ c ph ng trình AB Trong khi đó cách 1 đ vi t ph ng trình AB ta c n tìm đ c c th t a đ hai đi m

,

A B

s thích h p cho nh ng bài toán ch a tham s (ít nh t m t trong hai ph ng trình đ ng tròn ch a t ng minh)

+) ng th ng AB chính là tr c đ ng ph ng c a hai đ ng tròn

3 Ví d g c

Cho hai đ ng tròn 2 2

1 (C ) :x y 4x4y170 và (C2) :x2 y28x2y 7 0 c t nhau t i hai đi m A B,

Vi t ph ng trình đ ng th ng AB

Gi i:

Cách 1: T a đ A B, là nghi m c a h :

2 2

2 2

4 4 17 0 1; 2 (1; 2), (3; 2)

3; 2 (3; 2), (1; 2)



Suy ra ph ng trình đ ng th ng AB: 2x  y 4 0

Cách 2: T a đ A B, là nghi m c a h :

2 2

2 2

4 4 17 0





V y ph ng trình đ ng th ng AB: 2x  y 4 0

Giáo viên: Nguy n Thanh Tùng

Cho đ ng tròn (C và 1) (C c t nhau t2) i hai đi m A B, Vi t ph ng trình đ ng th ng AB

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

IỊ CÁC VÍ D M R NG

( ) :C x y 2x6y  6 0 và đi m ( 3;1)

M  G i A và B là các ti p đi m c a các ti p tuy n k t M đ n ( )C Vi t ph ng trình đ ng th ng AB

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(1;3) và bán kính RIA2

Ta có MI 2 5, khi đó: 2 2

20 4 4

MBMA MI IA    +) Suy ra A B, n m trên đ ng tròn tâm M( 3;1) bán kính b ng 4 , có ph ng trình:

(x3)2(y1)2 16x2y26x2y  6 0

+) Khi đó t a đ A B, là nghi m c a h :

2 2

2 2





+) V y ph ng trình đ ng th ng AB là: 2x  y 3 0

Ví d 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i A, có tr c tâm H( 3; 2) G i D E, là chân

đ ng cao k t B và C Bi t r ng đi m A thu c đ ng th ng :x3y 3 0, đi m F( 2;3) thu c đ ng

th ng DE và HD2 Tìm t a đ đi m A

Gi i:

(?)

2

B

A

H I

C B

: x 3y 3=0 Ẳ)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

+) Do ABC cân t i A nên HEHD2, suy ra E D, thu c đ ng tròn tâm H( 3; 2) và

bán kính b ng 2 có ph ng trình: 2 2 2 2

(x3) (y2)  4 x y 6x4y  9 0 +) G i I là trung đi m c a AH

m m

    

2

2 5 16 20

2

Ta có ADHE n i ti p đ ng tròn tâm 3 ; 2

m m

  bán kính IH nên có ph ng trình:

2 2

+) Khi đó t a đ đi m E D, là nghi m c a h :

2 2

2 2

(6 3 ) ( 2) 7 18 0





Suy ra ph ng trình ED: (6 3 ) m x(m2)y7m180

+) Do F( 2;3) ED 2(6 3 ) 3( m  m 2) 7m18 0 m 0 A(3; 0)

V y A(3; 0)

Ví d 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A( 2; 1)  , tr c tâm H(2;1) vàBC2 5 G i

', '

B C l n l t là chân đ ng cao k t các đ nh B C, L p ph ng trình đ ng th ng BC , bi t r ng trung đi m

M c a c nh BC n m trên đ ng th ng có ph ng trình x2y 1 0, tung đ c a M d ng và đ ng th ng ' '

B C đi qua đi m N(3; 4)

Gi i:

+) Do M n m trên đ ng th ng có ph ng trình x2y 1 0 nên g i M(2m1; )m v i m 0

Vì B C', ' cùng nhìn BC d i m t góc vuông nên BCB C n i ti' ' p đ ng tròn M MB ; 

2

BC

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Do đó đ ng tròn ( )T đi qua 4 đi m B C B C, , ', ' có ph ng trình: x2m1  ym 5

+) ng tròn ( ')T đi qua 4 đi m A B H C, ', , ' nh n AH làm đ ng kính và O(0;0) là trung đi m c a AH làm tâm nên có ph ng trình: 2 2

5

x y  +) Do ( )T ( ')T B C'; ' nên B C ' ' có ph ng trình: 2 2   2 2

x y  x m  ym  2(2m1)x2my5m24m  1 0

M t khác N( 3; 4) B C' '6(2m 1) 8m5m24m  1 0 m2    ho c 1 m 1 m  (lo i) 1

Suy ra M(3;1)

+) Khi đó đ ng th ng BC đi qua M(3;1) và nh n AH (4; 2)2(2;1)

làm vecto pháp tuy n nên có ph ng trình: 2(x 3) (y  1) 0 2x  y 7 0

V y ph ng trình đ ng th ng BC là: 2x  y 7 0

Ví d 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn tâm I(6; 6) và ngo i ti p đ ng tròn tâm J(4;5) Bi t đi m A(2;3) Tìm t a đ các đ nh còn l i c a tam giác ABC

Gi i:

+) ng tròn ngo i ti p ABC có tâm I(6; 6) và bán kính IA nên có ph ng trình: 5

(x6)2(y6)2 25

Ta có AD đi qua A(2;3), (4;5)J nên có ph ng trình : x  y 1 0

Khi đó t a đ đi m D là nghi m c a h :

2

3 (2;3) ( 6) ( 6) 25

(9;10) (9;10)

10

x

D D

y

 





 +) G i E là giao đi m th hai c a BJ v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Khi đó:

 

 







 (góc n i ti p b ng nhau ch n các cung b ng nhau )

   EnCCpDAmEDqB hay ECD AmEDqB (1)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

M t khác:

1 2 1 2







(2)

T (1) và (2) suy ra: EBD DJB hay tam giác DBJ cân t i D, suy ra DBDJ (*)

L i có  

1 2

A A DBDC (2*)

T (*) & (2*) suy ra: DBDJ DC hay D là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác JBC

Suy ra B C, n m trên đ ng tròn tâm D(9;10) bán kính DJ 5 2

có ph ng trình : 2 2

(x9) (y10) 50

Khi đó t a đ B C, là nghi m c a h :

2 9

(10;3), (2;9) 10

( 9) ( 10) 50

3

x y

x

y

 



 







V y B(2;9), (10;3)C ho c

( ) : (C x4) y  4 và đi m E(4;1) Tìm t a đ đi m

M trên tr c tung, sao cho t đi m M k đ c hai ti p tuy n MA MB, đ n ( )C (v i A B, là các ti p đi m) sao cho AB đi qua E

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(4; 0) và bán kính R2

+) G i M(0; )m OyIM2 m216MA2 MB2 MI2R2 m212

Suy ra A B, thu c đ ng tròn tâm M bán kính MA có ph ng trình: 2 2 2

x  ym m  +) Khi đó t a đ A B, là nghi m c a h :

x my

Suy ra ph ng trình AB: 4xmy120

+) M t khác E(4;1)AB16 m 12   0 m 4 M(0; 4) V y M(0; 4)

( ) : (T x1) (y1)  v i tâm 5 I và đi m A(4;5) T

A k m t đ ng th ng c t đ ng tròn ( )T t i hai đi m B C, , ti p tuy n t i B C, c t nhau t i K Qua K k

đ ng th ng vuông góc v i IA, c t ( )T t i E F, Xác đ nh t a đ các đi m E F,

(10;3), (2;9)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Gi i:

+) G i K a b( ; ) khi đó 1; 1

  là trung đi m c a IK

Do IBKC n i ti p đ ng tròn tâm M bán kính

( 1) ( 1) 2

nên B C, thu c đ ng tròn có ph ng trình:

2 2

+) Do B C, thu c đ ng tròn 2 2 2 2

(x1) (y1)  5 x y 2x2y  3 0 Khi đó t a đ B C, là nghi m c a h :

2 2

2 2





Suy ra ph ng trình đ ng th ng BC: (a1)x (b 1)y   a b 3 0

+) Do ABC4(a 1) 5(b     1) a b 3 0 3a4b12

+) EF IA(3; 4)

và EF đi qua K a b( ; ) nên có ph ng trình:

3(xa) 4( y b ) 0 3x4y(3a4 )b  0 3x4y120

Khi đó t a đ đi m E F, là nghi m c a h : 2 2

0; 3

3 4 12 0

; ( 1) ( 1) 5





V y 16 3  

; , 0;3

5 5

0;3 , ;

5 5

 

( ) :C x y 2x4y 4 0 và đ ng th ng :x y 1 0

    Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng  sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n MA MB, đ n

đ ng tròn ( )C ( v i A B, là các ti p đi m), đ ng th i kho ng cách t đi m 1;3

2

N 

  đ n AB l n nh t

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(1; 2) và bán kính RIA G i 3 M m m( ;   1)

t M k đ c hai ti p tuy n t i ( )C thì :

MI  R m  m   m  m  (*)

+) Ta có MBMA IM2R2  2m24m 1

Suy ra A B, thu c đ ng tròn tâm M m m( ; 1) bán kính b ng 2m24m 1

có ph ng trình:

(x m )2(y m 1)2 2m24m 1 x2y22mx2(m1)y2m 0

Khi đó t a đ A B, là nghi m c a h :

2 2

2 2





Suy ra ph ng trình AB: (m1)x(m3)y  m 2 0

+) G i K x y ( ;0 0) là đi m c đ nh mà AB luôn đi qua, khi đó :

(m1)x0 (m3)y0   m 2 0 luôn đúng m

(x0 y01)mx0 3y0 2 luôn đúng m

0

0 0

0 0

0

5

;

4

x

K

y

  



  



+) G i H là hình chi u vuông góc c a N lên AB, khi đó: ( , ) 26

4

d N AB NH NK 

Suy ra ( , ) 26

4

max

d N AB  khi H K hay NK  AB (2*)

Mà ta có: 1; 5 1(1;5)

NK     



và uAB (m3;1m) Suy ra (2*)  m 3 5(1m)  0 m 2 (th a mãn (*))

V y M(2;3)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ví d 8. Trong m t ph ng t a đ , cho đ ng tròn ( ') :T x y  1 và đi m A(1;3) Vi t ph ng trình đ ng tròn ( )T qua A và tâm c a đ ng tròn ( ')T , đ ng th i c t đ ng tròn ( ')T t i hai đi m B C, sao cho kho ng cách

t đi m A đ n đ ng th ng BC là l n nh t

Gi i:

+) G i I là tâm và R là bán kính c a đ ng tròn ( )T , khi đó:

R IOIA

Suy ra I thu c đ ng trung tr c c a OA có ph ng trình

: x3y 5 0

+) Khi đó I(5 3 ; ) m m   và bán kính: ROI  10m230m25

Suy ra ph ng trình đ ng tròn ( )T :

(x3m5)2(ym)2 10m230m25

2 2

Khi đó t a đ B C, là nghi m c a h :

2 2

2 2

2(3 5) 2 1 0 1



 



Suy ra ph ng trình BC: 2(3m5)x2my 1 0

+) Ta có

( , )

10

2

d A BC

m

D u “=” x y ra khi 3

2

m hay ph ng trình đ ng tròn ( ) :T x2y2  x 3y 0

( ) :C x y 3x7y12 0 và đi m A(1; 2) Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t

ABCD n i ti p ( )C và có di n tích b ng 4 Bi t AB là chi u dài c a hình ch nh t và B có hoành đ nguyên

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm 3 7;

2 2

I 

  và bán kính

10 2

R Khi đó I là trung đi m c a ACC(2;5)

+) t AB a





 (v i a  ) khi đó : b 0

Oxy

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2 4 2 2 2 2 42 2 2

10

ABCD



2

2 2

a b

 







 (lo i) +) V y AB2 2  B thu c đ ng tròn tâm A(1; 2) bán kính R'2 2 có ph ng trình:

(x1)2(y2)2  8 x2y22x4y  3 0

+) Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h :

2 2

2 2

3 7 12 0



3 4

x y





  

 ho c

3 5 24 5

x y

 





 



(lo i)

(3; 4)

B

 D(0;3) ( vì I là trung đi m c a BD) V y B(3; 4), (2, 5)C và D(0;3)

( ) :C x y 2x4y  Vi2 0 t ph ng trình đ ng tròn ( ')C tâm M(5;1) bi t

( ')C c t ( )C t i hai đi m A B, sao cho AB 3

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(1; 2) và bán kính R 3

Cách 1:

+) G i ( ')C có bán kính R', khi đó ( ')C có ph ng trình:

(x5)2(y1)2 R'2 x2y210x2y16R'2  0

Suy ra ph ng trình AB có d ng: 8x6yR'224 0

+) Ta có AB 3 IAB đ u ( , ) 3 3

AB

d I AB

2

2

2 2

' 28 15

8 6

R

R



+) V y đ ng tròn ( ')C c n l p là :

2 2

(x5) (y1) 43 ho c 2 2

(x5) (y1) 13

Cách 2:

+) G i ( ')C có bán kính R' Ta có MI  5

AB

3

4 2

2 2

MH MIIH    ho c 5 3 13

2 2

MH MIIH   

2 2

2 2

 

       





 

       



+) V y đ ng tròn ( ')C c n l p là : 2 2

(x5) (y1) 13 ho c 2 2

(x5) (y1) 43

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ví d 11. Trong m t ph ng t a đ , cho hai đ ng tròn và

T đi m thu c đ ng tròn k hai ti p tuy n v i đ ng tròn v i hai ti p đi m Tìm t a đ đi m , bi t đ dài đo n

Gi i:

+) ng tròn có tâm và bán kính

G i là giao đi m c a và , suy ra

Suy ra

+) V y n m trên đ ng tròn tâm bán kính b ng có ph ng trình:

+) Suy ra t a đ đi m là nghi m c a h :

(x1) (y2)  4 và đi m K(3; 4) L p ph ng trình đ ng tròn ( )T tâm K

c t đ ng tròn ( )C t i hai đi m A B, sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t v i I là tâm c a đ ng tròn ( )C

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(1; 2) và bán kính R2

+) Ta có: 1 sin

2

IAB

S  IA IB 舞 = 2

2

R

sin 舞

2

2

R

 D u “=” x y ra khi sin 舞 = 1 舞 0

90



V y

2

max

2

IAB

R

S  khi IAB vuông t i IABR 22 2

+) Khi đó bài toán t ng t nh Ví d 10nên ta có đáp s

ng tròn ( )T c n l p là : (x3)2(y4)2 4 ho c 2 2

(x3) (y4) 20

Oxy (C1) :x y 18x6y650 (C2) :x y 9

2 (C ) O(0;0) ROA3

AB

2

2 2 9

5 5

OA

OH

25

x y 

M

2 2

4 3

(5; 0)

18 6 65 0

0

x y

M

y

 



 



 (4;3)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ví d 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn ( ) :C x y 2x4y  Vi3 0 t ph ng trình đ ng tròn có tâm K(1;3) c t đ ng tròn ( )C t i hai đi m A B, sao cho di n tích tam giác IAB b ng 4, v i I là tâm c a

đ ng tròn ( )C

Gi i:

+) ng tròn ( )C có tâm I(1; 2) và bán kính R2 2

+) G i IM AB H và đ t AH a , khi đó : 2 2 2

2

IAB

IH AB

a2(8a2) 16 2 2 2

+) Khi đó bài toán t ng t nh Ví d 10nên ta có đáp s

ng tròn ( )C c n l p là : (x1)2(y3)2 13 ho c 2 2

(x1) (y3) 53

1 (C) : (x1) (y2) 9 và

2

(C ) : (x2) (y10) 4 Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD , bi t đi m A thu c (C1), đi m C có

t a đ nguyên thu c (C 2) và các đ nh B D, thu c đ ng th ng x  y 6 0

Gi i:

+) G i ( )T là đ ng tròn đ i x ng v i (C 1) qua đ ng th ng d

Khi đó tâm I c a ( )T đ i x ng v i tâm I1(1; 2) qua đ ng th ng d và có bán kính RR1 3

+) ng th ng II1có ph ng trình: x  y 3 0 Khi đó t a đ giao đi m H c a II và 1 d là nghi m c a h :

3

; ( 4;7)

2

x

x y

x y

y

  



  



+) Khi đó ph ng trình đ ng tròn 2 2

( ) : (T x4) (y7)  9

Do A C, đ i x ng nhau qua d nên A(C1) C ( )T

Suy ra t a đ đi m C là nghi m c a h :

( 4) ( 7) 9

( 2) ( 10) 4





4 10

x y

 



 

 ho c

16 13 106 13

x y

  





 



( 4;10)

C

  ho c 16 106;

13 13

  (lo i)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Do A đ i x ng v i C qua d nên đ ng th ng AC có ph ng trình: x  y 6 0

Khi đó t a đ giao đi m K c a AC và d là nghi m c a h :

6 0 0 (0; 6) (4; 2)

+) ng tròn tâm K ngo i ti p hình vuông ABCD có bán kính KA4 2

có ph ng trình: 2 2

( 6) 32

Khi đó t a đ đi m B D, là nghi m c a h :

2 ( 6)2 32 4

2

6 0

x

y

x y

 



4 10

x y





 



( 4; 2), (4;10) (4;10), ( 4; 2)







V y A(4; 2), ( 4; 2), ( 4;10),B  C  D(4;10) ho c A(4; 2), (4;10), ( 4;10),B C  D( 4; 2)

GV: Nguy n Thanh Tùng

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01