HƯỚNG DẪN GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG OXY. CÂU 2 VÀ CÂU 5 – PHẦN 4.

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc 45 , o ACB  điểm D5; 3 là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M1; 2 và điểm I 3; 3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trích đề TTL1, Chuyên Bắc Ninh, 2016. ■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác) Bài toán này thì không có tính chất hình học mà ta cần phải chứng minh, tuy nhiên khi xét về quan hệ của các góc trong đường tròn thì chúng ta không thể không nhắc đến các loại góc thường gặp là: “Góc ở tâm”, “góc nội tiếp”, “góc giữa tiếp tuyến và dây cung”, v,v... Và dĩ nhiên cùng với đó, ta quan tâm đến mối quan hệ giữa các góc đó. Trong bài toán này, với giả thiết góc nội tiếp 45 , o ACB  nên ta suy ra góc ở tâm 2 90o AIB ACB   do cùng chắn cung AB. Từ kết quả trên, ta lại suy ra được tứ giác AIDB nội tiếp. Và do góc 45o ACB ADC    vuông cân tại D DI AC   ■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.  Viết pt đường thẳng       , ?; ? , : N DI AC AC qua M DI N DI qua I vtcp DI          là trung điểm AC (do tam giác ACD vuông cân tại D.  Tìm tọa độ         ?; ? , ; ?; ? A A C N DN AC C        Viết pt đường thẳng       , ?; ? , : B BI DC BI qua I AI B BC qua D vtcp DC          ■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết. Đường thẳng AC qua M1; 2 nhận DI  2; 0 làm vtpt có phương trình là: AC x: 1 0   THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO Đường thẳng DI AC DI y m DI     : 0, qua I m DI y 3; 3 3 : 3 0        Gọi N AC DI    tọa độ N thỏa hệ   1 0 1; 3 3 0 x N y          và N là trung điểm AC dó ACD vuông cân tại D. Ta có đường tròn N có tâm N1; 3 , bán kính DN  4 có pt là:     2 2 x y     1 3 16. Khi đó tọa độ AC, thỏa hệ             2 2 1 3 16 1, 7 1; 7 , 1; 1 . 1 0 1, 1 1; 1 ,C 1; 7 x y x y A C x x y A                           Trường hợp 1: với A C 1; 7 , 1; 1 .     Và đồng thời AI CI   2 5 Đường thẳng BI qua I 3; 3 nhận AI   2; 4 làm vtpt có pt là: BI x y : 2 3 0    Đường thẳng BC qua D5; 3 nhận CD   4; 4 4 1; 1    làm vtcp có pt là BC x y : 2 0    Khi đó tọa độ B thỏa hệ 1   2 0 7 7; 5 2 3 0 5 x y x B x y y                     Trường hợp 2: với A C 1; 1 , 1; 7 .     Tương tự ta có đường thẳng BI x y : 2 7 0    và BC x y : 8 0    Khi đó tọa độ B thỏa hệ 2   2 7 0 9 9; 1 8 0 1 x y x B x y y                       Nhận xét 1 2 IB AI IB AI      2 5 , 2 13 ta nhận B7; 5 Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A B C 1; 7 , 7; 5 , 1; 1       . ■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

HƯỚNG DẪN GIẢI HÌNH HỌC PHẲNG OXY

CÂU 2 VÀ CÂU 5 – PHẦN 4

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc ACB45 ,o điểm

 5; 3

D là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ,

ABC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M 1; 2 và điểm I 3; 3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trích đề TTL1, Chuyên Bắc Ninh, 2016

■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Bài toán này thì không có tính chất hình học mà ta cần phải chứng minh, tuy nhiên khi xét về quan hệ của các góc trong đường tròn thì chúng ta không thể không nhắc đến các loại góc thường gặp là: “Góc ở tâm”, “góc nội tiếp”, “góc giữa tiếp tuyến và dây cung”, v,v… Và dĩ nhiên cùng với đó, ta quan tâm đến mối quan hệ giữa các góc đó

Trong bài toán này, với giả thiết góc nội tiếp

45 ,o

ACB nên ta suy ra góc ở tâm

AIB ACB do cùng chắn cung AB

Từ kết quả trên, ta lại suy ra được tứ giác AIDB nội tiếp Và do góc 45o

ACB  ADC vuông cân tại DDIAC

■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải

N DI AC

AC qua M DI

N

DI qua I vtcp DI

 



tam giác ACD vuông cân tại D

 Tìm tọa độ   , ;     ?; ?

?; ?

A

A C N DN AC

C





 Viết pt đường thẳng  

B BI DC

BI qua I AI

B

BC qua D vtcp DC

 





■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết

Đường thẳng AC qua M 1; 2 nhận DI 2; 0 làm vtpt có phương trình là: AC x:  1 0

Đường thẳng DIACDI y: m0,DI qua I 3; 3    m 3 DI y:  3 0

Gọi NACDI tọa độ N thỏa hệ 1 0  

1; 3

3 0

x

N y

  

  

 và N là trung điểm AC dó

ACD

 vuông cân tại D

Ta có đường tròn  N có tâm N 1; 3 , bán kính DN4 có pt là:  2 2

x  y 

1, 1 1; 1 , C 1; 7

1 0

x y

x



Trường hợp 1: với A  1; 7 ,C 1; 1   Và đồng thời AI CI 2 5

Đường thẳng BI qua I 3; 3 nhận AI2; 4  làm vtpt có pt là: BI x: 2y 3 0

Đường thẳng BC qua D 5; 3 nhận CD   4; 4 4 1; 1 làm vtcp có pt là BC x:   y 2 0

7; 5

B

     

     

Trường hợp 2: với A1; 1 ,   C 1; 7

Tương tự ta có đường thẳng BI x: 2y 7 0 và BC x:   y 8 0

9; 1

B

     

      

Nhận xét IB12 5AI IB, 2 2 13AI ta nhận B 7; 5

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A    1; 7 , B 7; 5 ,C 1; 1 

■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H 1; 3 và tâm đường tròn ngoại tiếp I 0; 2 Trung điểm M của đoạn BC nằm trên đường thẳng có phương

trình x  y 1 0. Tìm tọa độ các điểm B C, biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

đi qua điểm E 5;1 và hoành độ của điểm B lớn hơn 1

Trích đề chọn HSG 12, Bảng B, Tỉnh Quảnh Ninh, 2016

■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Tính chất hình học mà ta cần chú ý đối với bài toán này chính là “điểm đối xứng của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua cạnh BC chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC với H là trực tâm ABC.

Ngoài ra, nếu lấy đối xứng của trực tâm H qua các cạnh của tam giác ABC thì ta luôn có các điểm đó thuộc vào đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Để chứng minh hai tính chất trên, ta làm như sau:

Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua cạnh BC và N

là giao điểm của BC và HH (ta sẽ chứng minh N '

là trung điểm HH ) '

BCH BAH do cung chan cung BH

BCH HBC HCH HBC BAH cung phu voi ABC





Mà CNHH'CN là đường trung tuyến của HCC'N là trung điểm HH'H đối xứng với H qua cạnh ' BC. (chứng minh tương tự với các cạnh còn lại)

Gọi O là điểm đối xứng của I qua cạnh BC. Ta có BH C' nội tiếp đường tròn  I nên ta suy ra BHC

 nội tiếp đường tròn  O do tính chất đối xứng

■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải

 M d tham so hoa M d ?; ? M la trung diem IO O M ?; ?

H E O HO EO O M  viết pt BC qua M ,IO

   B C;  O OH; BCB ?; ? &C ?; ?

■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết

M d x y    M m m O m m

Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBCHO2 HE2

  2  2  2 2    2; 3

4; 4

M

O





Đường thẳng BC qua M 2; 3 nhận MO 2; 1 làm vtpt có pt là BC: 2x  y 7 0

Đường tròn ngoại tiếp HBC có  4; 4     2 2

10

O

R OH



Khi đó tọa độ ;B C thỏa hệ

1; 5

x y

       

Do B có hoành độ lớn hơn 1 nên ta nhận B   3; 1 ,C 1; 5

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là B   3; 1 ,C 1; 5

■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)

Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kì thi sắp tới !

Gmail: windylamphong@gmail.com Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy

Group Toán 3[K]

Thầy Lâm Phong (0933524179) – Mr.Lafo