Viết phương trình mặt phẳng P qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng Q: 3x-y+z-10=0.. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với
Trang 1VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kiến thức cần nhớ:
Phương trình mặt phẳng:
1). Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với
A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đĩ n (A;B;C)r= là một vectơ pháp tuyến của nĩ
2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n (A;B;C)r= làm vectơ pháp tuyến cĩ dạng :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3). Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận a (a ;a ;a )r= 1 2 3 và b (b ;b ;b )r= 1 2 3 làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến :
a a a a a a
b b b b b b
r r r
- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:
0 0 0
một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mp một VTPT n A;B;C
Kiến thức khơng được quên:
Kiến thức khơng được quên
- Trục Ox cĩ VTCP là
i = 1;0;0
r
- Trục Oy cĩ VTCP là
j = 0;1;0
r
- Trục Oz cĩ VTCP là
kr= 0;0;1
- Mp (Oxy) cĩ VTPT: nr= r ri, j = =kr (0;0;1).
- Mp (Oxz) cĩ VTPT: nr= r ri,k = =rj (0;1;0) .
- Mp (Oyz) cĩ VTPT: nr= r rj,k = =ri (1;0;0)
Pt mp(Oxy) là: z=0
Pt mp(Oxz) là: y=0
Pt mp(Oyz) là: x=0
1 d ⊥( )P ⇔ uur uura d = n P
2 d // ( )P ⇔ uura d ⊥nuurP
d ⊂( )P ⇔ auurd ⊥uurn P
3 d ⊥ ∆ ⇔ uura d ⊥auur∆
4 d//∆ ⇔ uur uura d = a∆
5 ( )P ⊥( )Q ⇔nuurP ⊥nuurQ
6 ( ) //( )P Q ⇔ nuur uurP = n Q
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)
⇔ d I P ( ,( )) = r
với I là tâm mặt cầu (S)
r là bán kính mặt cầu (S)
Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)
( , )
với I là tâm mặt cầu (S)
r là bán kính mặt cầu (S)
Trang 24 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng ( ) α không đi qua gốc tọa độ O
và cắt Ox tại A a( ;0;0), cắt Oy tại B(0; ;0)b
cắt Oz tại C(0;0; )c có phương trình là :
( ) : x y z 1
5 Các dạng chính tắc :
1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) nr= ( ; ; )A B C
2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 nr= (0; ; )B C
3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 nr= (0; ; )B C
4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 nr= ( ;0; )A C
5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 nr= ( ;0; )A C
6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 nr= ( ; ;0)A B
7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 nr= ( ; ;0)A B
8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 nr= (0;0; )C
10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 nr= ( ;0;0)A
12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 nr= (0; ;0)B
5 Chùm mặt phẳng :
• Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng( ) α và( ) β được gọi là một chùm mặt phẳng.
• Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : α A x B y C z D+ + + = 0 và ( ) : β A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2 = 0.
Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng :
m A x B y C z D+ + + +n A x B y C z D+ + + = m +n ≠
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
d
A
B
C
c O
Trang 3Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và có
vectơ pháp tuyến nr=(A;B;C) .
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).
• Mặt phẳng (P) có VTPT nr=(A;B;C)
• Ptmp (P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0.
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0) và
song song hoặc chứa giá của hai vectơ a , br r.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z( 0 0 0).
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên
mp(P) là a= , br ( ) r=( )
• Mặt phẳng (P) có VTPT nr= a,br r
• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0.
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với
mp(Q): 2x-2y-z-1=0
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng
(Q): 2x-y-10=0
Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0
Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q).
Phương pháp:
• Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng:
Ax+By+Cz+m=0, với m D ≠
• Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
M
n r
P)
a r
b r n r = a b r r ,
M
d
a
d
P)
Q)
M
Q
n
uur
Trang 4M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M
• Mặt phẳng (P) có VTPT: nuur uurP = a d =(a ;a ;a 1 2 3)
• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng
d:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
= −
= +
= −
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc
với đường thẳng
d:
x t
y 1
z 1 2t
=
=
= −
, biết A(1;2;3), B(3;2;1)
Bài 7: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: x 12− = y1=z 1+2
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
A, B, C.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua A
• Mặt phẳng (P) có VTPT: n = AB,AC
r uuur uuur
• Pt(P): A x x( − 0) + B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Bài 8: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 9: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
ba điểm A, B, C
Bài 10: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 11: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
ba điểm A, B, C
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1),
C(2;0;1)
Bài 13: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng
(ABC)
Bài 14: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O,
A, B
Bài 15: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A
,
n= AB AC
r uuur uuur
Trang 5Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai
điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm A
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên
mp(P) là: AB nuuur= uurQ =
• Nên mp(P) có VTPT: n = AB,n Q
r uuur uur
• Ptmp(P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-y-z-1=0
Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x-y-1=0
Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x-3y-2z-1=0
Dạng 6:
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường
thẳng d’.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M d ∈
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: auurd = auurd' =
• Mp(P) có VTPT: n = a ,a d d'
r uur uur
• Ptmp(P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Bài 19: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:
y 2t , d': y 4
Bài 20: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
3 Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 21: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau
d:
x 1 t
x 1 y 2 z 4 , d': y t
z 2 3t
= − +
P)
Q) A
Trang 6Bài 22: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x 1 y 2 z 31− = 2− = −3 và song
song với đường thẳng d’:
x 1 t
y t
z 1 t
= −
=
= +
Bài 23: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 1
y 4 2t
z 3 t
=
= − +
= +
và song song với
đường thẳng d’:
x 3 3t
y 1 2t
= −
= +
= −
Bài 24: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 2 2t
y 1 t
z 1
= +
= − +
=
và song song với
đường thẳng d’:
x 1
y 1 t
z 3 t
=
= +
= −
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A
và đường thẳng d.
Phương pháp:
• Chọn điểm M thuộc đt d
• Mặt phẳng (P) qua điểm A
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM a = =
uuuur uur
• Nên mp(P) có VTPT: n = AM,a d
r uuuur uur
• Ptmp(P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Bài 25: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
= −
= +
= −
Bài 26: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: x 12− = y1=z 1+2
Bài 27: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 28: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 29: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz
Trang 7Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung
trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB⇒I =( )
• Mặt phẳng (P) qua điểm I
• Mặt phẳng (P) có VTPT n ABr uuur=
• Ptmp (P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0.
Bài 30: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB
Bài 31: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 32: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R) Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: nuurQ = ,nuurR = .
• Nên mp(P) có VTPT: n = n ,n Q R
r uur uur
• Ptmp(P): A x x( − 0)+ B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp:
• Xác định tâm I của mc(S)
• Mặt phẳng (P) qua điểm A
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IAr=uur
• Ptmp(P): A x x( − 0) + B y y( − 0) + C z z( − 0) = 0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nr=(m;n;p) và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
• Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
• Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT nr=(m;n;p) ⇒ mx ny pz + + + =D 0.
• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)⇔ d I; P( ( ) ) = r
P)
A I B
r = d(I,(P)) I
P)
Trang 8Chú ý: A B
A B
=
= ⇔ = − .
Dạng 2.1: Viết phương trình mặt phẳng(P ) tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phăng (Q ):Ax+By+Cz+D= 0
• Vì (P)//(Q)=>(P) và (Q) có cùng véc tơ pháp tuyến
• Áp dụng dạng 2 =>pt(P)
Dạng 2.2: Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với 2 đường thẳng d và d’.
• Vì (P)// d1,d2 => Mp(P) có VTPT: n = a ,a d d'
r uur uur
• Áp dụng dạng 2 =>pt(P)
Dạng 2.3:Viết phương trình (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d
• Vì (P) vuông góc với d=>Mặt phẳng (P) có VTPT: nuur uurP = a d =(a ;a ;a 1 2 3)
• Áp dụng dạng 2 =>pt (P)