Dựng về cùng một phía của đường thẳng AB các hình vuông AMCD, BMEF.. b Gọi G là giao điểm của BC và DF.. Chứng minh rằng A, E, G thẳng hàng.. c Gọi H là giao điểm của DF và AC.. Chứng mi
Trang 1PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
P= − − −
b) Cho a b c, , là các số khác 0 và thỏa mãn a b c 1
b c c a a b+ + =
Tính giá trị của biểu thức Q a2 b2 c2
bc ca ab
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên x y, thỏa mãn phương trình xy+ 2x y+ = − 1.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n sao cho 1 2 n+ + + là bình phương của một số nguyên tố lẻ
Câu 3 (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số dương Chứng minh rằng:
a) 1 a 1 b 1 c 8
+ + + ≥
2
b c c a a b+ + ≥
Câu 4 (3,0 điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho MA MB> Dựng về cùng một phía của đường thẳng AB các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng CAE EBC· =·
b) Gọi G là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng A, E, G thẳng hàng c) Gọi H là giao điểm của DF và AC Chứng minh rằng 2.AH2 =AB2
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số nguyên dương liên tiếp 1, 2, ,169 Chứng minh rằng nếu lấy ra 84 số từ các số trên sao cho không có bất kì hai số nào có tổng bằng 169 thì tồn tại ít nhất một số chính phương
-Hết -Cán bộ coi khảo sát không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh……… Số báo danh
Trang 2PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐÁP ÁN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN
1 1a (1,0 điểm)
Ta có 22 21 3. 2 21 2013 2 21 2014. 2 21
1.3 2.4 2012.2014 2013.2015
2 2 2
4028
1b (1,0 điểm)
Ta có a b c 1
b c c a a b+ + =
a a b a c b b a b c c c a c b a b b c c a
3 3 3
a b c abc
2 2a (1,0 điểm)
Ta có xy+ 2x y+ = − 1 ⇔ xy+ 2x y+ + = ⇔ 2 1 x y( + + + = 2) ( y 2) 1 ⇔ +( x 1) ( y+ = 2) 1 0,5
Khi đó ta có hai trường hợp sau:
0,25
+ = − = −
2b (1,0 điểm)
Trang 3Giả sử tồn tại số nguyên tố lẻ p sao cho 1 2 n+ + + = p2 0,25
2
n n
+
Do p nguyên tố nên từ (1) suy ra n chia hết cho p hoặc n+ 1 chia hết cho p
Th1 Nếu n pM ⇒ =n pt
+) Nếu t= ⇒ 1 n n( + = 1) p p( + < 1) 2p2 vô lí.
+) Nếu t≥ ⇒ 2 n n( + ≥ 1) 2p(2p+ = 1) 2p2 + 2p p( + > 1) 2p2 vô lí.
0,25
Th2 Nếu n+ 1 Mp⇒ =n pt− 1
+) Nếu t= ⇒ 1 n n( + = 1) p p( − < 1) 2p2 vô lí.
+) Nếu t≥ ⇒ 2 n n( + ≥ 1) 2p(2p− = 1) 2p2 + 2p p( − > 1) 2p2 vô lí.
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu
0,25
3 3a (1,0 điểm)
Ta có 1 a 1 b 1 c 2 a b b c a c
+ + + = + + + + + +
0,5
= + + − ÷ + + − ÷ + + − ÷
= + + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = 0,5
3b (1,0 điểm)
Đặt b c x c a+ = , + =y a b z, + = Khi đó ta tính được:
y z x z x y x y z
Do đó b c c a a b a+ + +b + +c = y z x+ −2x + z x y+ −2y + x y z+ −2z
= + ÷+ + ÷+ + ÷−
0,25
= + + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= =y z. 0,25
Trang 4G'
O' O
K
H
G
F E
A 4a (1,0 điểm)
Mặt khác MF vuông góc với BE suy ra BE vuông góc với AC (1) 0,25
Do AMCD là hình vuông suy ra CM vuông góc với AB (2) Từ (1) và (2) suy ra E
là trực tâm của tam giác ABC
0,25
Do đó AE vuông góc với BC, kết hợp với BE vuông góc với AC ta được:
4b (1,0 điểm)
Gọi G’ là giao điểm của BC và AE; O, O’ lần lượt là tâm của hai hình vuông
AMCD, BCEF
Do tam giác AG’C vuông tại G’ nên ' 1 1
G O= AC= MD suy ra tam giác MG’D
vuông tại G’ (3)
0,25 0,25
Do tam giác BG’E vuông tại G’ nên ' ' 1 1
G O = BE= MF suy ra tam giác MG’F
vuông tại G’ (4) Từ (3) và (4) suy ra D, G’, F thẳng hàng 0,25
Do đó G trùng với G’ hay A, E, G thẳng hàng 0,25 4c (1,0 điểm)
Xét tam giác DMF có OH||MF và O là trung điểm MD suy ra OH là đường trung
bình của tam giác DMF suy ra H là trung điểm của DF
0,25
Gọi K là trung điểm của AB Do tứ giác ABFD là hình thang vuông nên HK là
đường trung bình suy ra HK song song AD
0,25
Do góc ·HAK = 45 0 ⇒tam giác HAK vuông cân tại K
0,5
5 (1,0 điểm)
Ta chia các số nguyên dương 1,2,…,169 thành 84 cặp và số 169 như sau: 0,5
Trang 5169, (1,168), (2,167),….(25,144),…,(84,85)
Khi đó lấy bất kì 84 số thỏa mãn yêu cầu bài toán thì không có hai số nào thuộc
cùng một cặp và mỗi số chỉ xuất hiện trong mỗi cặp trên đúng một lần
0,25
Do cặp (25,144) thỏa mãn 25 5 ,144 12 = 2 = 2 nên số 25 hoặc 144 phải thuộc vào tập 84