TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 1 CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc 00 180 , ta xác định điểm M trên trên đường 0 nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho x

Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

TOÁN 10

Trang 2

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 1

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Với mỗi

góc 00 180 , ta xác định điểm M trên trên đường 0

nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho xOM Giả sử

 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP OQ ;

 Với 00 180 ta có 00 sin 1; 1 cos 1

 Dấu của giá trị lượng giác:

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

x

y

P O

M(x;y) Q

Hình 2.1

Trang 3

3

32

22

1

12

22

+ Nếu 0 ,0 90 hoặc 0 180 thì dễ dàng thấy 0 sin2 cos2 1

+ Nếu 0 ,0 90 và 0 180 khi đó theo định lý Pitago ta có 0

Trang 4

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt

1 Phương pháp giải

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A a2sin 900 b2cos900 c2cos1800

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A sin 32 0 sin 152 0 sin 752 0 sin 872 0

Trang 5

b) B cos00 cos 200 cos 400 cos1600 cos1800

Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A sin 450 2cos600 tan 300 5cot1200 4sin1350

Trang 6

b) B 4 sin 45a2 2 0 3( tan 45 )a 0 2 (2 cos 45 )a 0 2

c) C sin 352 0 cos 352 0 5 sin 752 0 cos 752 0 1 5 4

d) D 12cos 762 0 5tan 85 cot 850 0 12sin 762 0 12 5 17

e) E sin 12 0 sin 892 0 sin 22 0 sin 882 0

Trang 7

 DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ

thuộc x, đơn giản biểu thức

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

 Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác

 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) sin4x cos4x 1 2sin2x.cos2x

Trang 8

a) sin4x cos4x sin4x cos4x 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x

c) cos 3sin 12 sin3

tan x 1 tanx tan x 1

tan3x tan2x tanx 1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) A sin(900 x) cos(1800 x) sin2x(1 tan2x) tan2x

Trang 9

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Trang 10

a) tan2x sin2x tan2x.sin2x

b) sin6x cos6x 1 3sin2x.cos2x

tan tan sin sin

tanx tan x cotx tanx cotx cot x VP

d) VP tan6xcos2x tan6xcot2x tan4xsin2x tan4x

Trang 11

A B cos4x B B sinx C B cos4x D B cos4x 1c)

2

sin coscos sin (sin cos )

D

2cos

D

a D

Bài 2.5.Rút gọn biểu thức (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) (tan cot )2 (tan cot )2

Trang 12

b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )

Bài 2.5: a) (tan cot )2 (tan cot )2 4

b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )

2 1 3sin x.cos x 3 1 2 sin x.cos x 1

c) cot 30 (sin2 0 8 cos8 ) 4 cos 60 (cos0 6 sin6 ) sin (906 0 ) tan2 1 3

d) (sin4x cos4x 1)(tan2x cot2x 2) 2

Trang 13

 Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản

 Dựa vào dấu của giá trị lượng giác

5

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

c) Cho tan 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại

Trang 14

A cos 1

2 2tan

Trang 15

b) Cho tan 2 Tính 3 sin 3cos

2

11

Trang 16

a) Ta có sinx cosx 2 sin2x 2 sin cosx x cos2x 1 2 sin cosx x (*)

Mặt khác sinx cosx m nên m2 1 2sin cos hay

21sin cos

Trang 17

D cos 2, tan 3, cot 2

B sin 2 , tan 2, cot 1

25

C sin 1 , tan 2, cot 1

25

D sin 2 , tan 2, cot 1

25

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Bài 2.9: a) tan x cot x=m2 2 2 2

b) tan x4 cot x= tan x4 2 cot x2 2 2 m2 2 2 2 m4 4m2 2

Trang 21

Bài 2.11: Cho tana cota 3 Tính giá trị các biểu thức sau:

3A

7A

C

Trang 22

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b

Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b

+ Quy ước : Nếu a0 hoặc b0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 0 0đến 180 ) 0

+ Kí hiệu:  a b ;

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi:

+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a b 0

+ a a a  2  a2 gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a

+ (a b )2 a22 a b b 2, (a b a b )(  ) a2b2

Trang 23

3 Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn

a) Công thức hình chiếu

Cho hai vectơ AB CD Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD ,khi đó ta có AB CD A B CD' '

b) phương tích của một điểm với đường tròn

Cho đường tròn O R;  và điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B Biểu thức MA MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn

O R;  Kí hiệu là P M O/  

Chú ý: Ta có P M O/   MA MB MO  2R2 MT2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a( ;x y1 1) và b( ;x y2 2) Khi đó

 DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ

Trang 24

 Dựa vào định nghĩa a b  a b cos ; a b

 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ

Trang 25

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Dễ thấy tam giác ABM đều nên

Trang 26

a

C

294

b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG CD CA CM  

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA AB AD  và

B

G

Hình 2.3

Trang 27

22

Trang 28

2 2

Trang 29

a) AB AC

A

25

Trang 30

Bài 2.16 Cho các véctơ a b, có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 60 Xác 0

định cosin góc giữa hai vectơ u và v với u a 2b , v a b 

Trang 31

Trang 32

Trang 33

Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB

a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D Tính diện tích tam giác đó

Trang 34

 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

 Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý

Chứng minh rằng : MA MB IM  2IA2

Bài làm:

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA MB IM  2IA2

Để làm xuất hiện IM IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được ,

       

VT MI IA MI IB  MI IA MI IA

IM2 IA2 VP (đpcm)

Trang 35

Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng:

Từ (1) (2) ta có HB CA 0 suy ra BH vuông góc với AC

Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm)

Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường

tròn cắt nhau tại E Chứng minh rằng : AE AC BE BD  AB2

Trang 36

Trang 37

Trang 38

Tương tự 2GBGC GB 2GC2BC2, 2GCGA GC 2GA2AC2

Thay vào (*) suy ra đpcm

Bài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC DB 0

Bài 2.27: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và H là trực tâm của tam giác

ABC M N, P lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh BC, CA, AB

Theo công thức hình chiếu ta có A M BC' HO BC , B N CA HO CA'  ,

Trang 39

Bài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB2R Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN

Bài 2.30 Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và

C Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB

Trang 40

Bài 2.32 Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất

kỳ nằm trên đường tròn (O) Chứng minh rằng MA2MB2MC2 2a2

Bài 2.33 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O, R) MN là một đường kính bất

kỳ của đường tròn (O;R)

Trang 41

Trang 42

B4

H

Hình 2.21

Trang 43

b) Cho M O với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

2

z a EB

y z



 ,  

2 2 2

2

y a EC

Trang 44

Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:

Cho A, B là các điểm cố định M là điểm di động

 Nếu AM k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường

tròn tâm A, bán kính R k

 Nếu MA MB 0thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB

 Nếu MA a 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi

qua A và vuông góc với giá của vectơ a

2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho

trước Tìm tập hợp điểm M sao cho

a)

23

4

a

MA MB

Trang 45

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2MB3CB BC 0

Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC

Theo công thức hình chiếu ta có MI BC M I BC' ' do đó M I BC' ' BC2

A

I M

M' I'

Hình 2.4

Trang 46

Vì BC2 0 nên M I' ', BC cùng hướng suy ra

Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước

Tìm tập hợp điểm M sao cho MA MC MB MD k  

B

Hình 2.5

Trang 47

b) MA22MB2 k với k là số thực dương cho trước

c) AM a k  với k là số thực cho trước

Bài làm:

Bài 2.38: a) 2MA2 MA MB MA2MA MB 0 (*)

Gọi I là điểm thoả mãn: 2IA IB 0 thì 2MA MB MI 

Do đó: (*)MA MI  0 MAMI

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AI

b) Gọi E là điểm thoả mãn: EA2EB0 ta có:

Trang 48

c) Gọi  là giá của vectơ a và A', M' lần lượt là hình chiếu của A, M lên 

Theo công thức hình chiếu ta có AM a A M a' '

Suy ra A M a k' ' A M a k' ' A M' ' k

a

     trong đó a là độ dài đại số của vectơ a

Vì A' là điểm cố định, k

a là hằng số không đổi nên M' là điểm cố định

Do đó tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với  tại M'

Bài 2.39: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB

b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: DA2DB0; EB2EC0 ta có:

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AJ

Bài 2.40: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

Trang 49

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC

Bài 2.41 Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm tập hợp điểm

2

MA MB MC MD  IJ

Trang 50

Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M

di động trong góc BAC sao cho : AB AH AC AK  AI2 trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC

Bài làm:

Bài 2.43 : Sử dụng công thức hình chiếu ta có:

2 2

Trang 51

Gọi M0 là hình chiếu của M lên AI khi đó ta có

AI  AI AM AM  (M0 nằm trên tia AI)

Suy ra tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong góc BAC

Bài 2.44 : Cho tam giác ABC và k là số thực cho trước Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2MB2 k

Với M' là hình chiếu M lên AB suy ra M' là điểm cố định

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với AB

Bài 2.45 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho

Với M', O' là hình chiếu M, O lên giá vectơ u suy ra M' là điểm cố định

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với giá vectơ u

Trang 52

b) Gọi I là điểm thỏa mãn IA  IB IC0, do     0 nên I tồn tại I và duy nhất

+ Tích vô hướng hai vectơ là a b x x  1 2y y1 2

+ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức

1 2 1 2

.cos( , )a b a b x x y y

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A  1; 2 ,B 2; 6 ,  C 9; 8

a) tam giác ABClà tam giác gì?

A.Tam giác vuông tại A B.Tam giác vuông tại B

C.Tam giác vuông tại C D.Tam giác đều

b) Tính cosin góc B của tam giác ABC

Trang 53

Trang 54

Bài làm:

Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B 0;y

Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD

Trang 55

Khi đó AMB1350(không thỏa mãn)

Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao

và điểm C trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm

toạ độ B C để tam giác , ABC có diện tích lớn nhất

Trang 56

Vậy B 0; 0 , C 0; 5 là điểm cần tìm

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.46: Cho hai vectơ (0; 4) ; (4; 2)a b 

a) Tính cosin góc giữa hai vectơ a và b

Trang 57

a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC

A H 2; 2 B H 3; 2 C H3; 2 D H3; 2 b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A

A A' 2; 2  B A' 1;1  C A' 1; 2  D A' 1; 1c) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2.48: Cho tam giác ABC với A 3;1 , B 1; 1, C 6; 0

a) Tính góc A của tam giác ABC

A A1450 B A1350 C A1200 D A1300

Trang 58

b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính

Vậy có hai giao điểm là M11; 5 ,  M2 1; 5

Bài 2.49: Cho ba điểm A(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)B  C  Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trang 59

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABClà O 1; 3

Cách khác: Ta thiết lập hệ phương trình từ điều kiện . 0

lượt là trung điểm của BC, CA

Bài 2.50 Các điểm B1; 3, C 3;1 là hai đỉnh của một tam giác ABC vuông cân tại A Tìm tọa độ đỉnh A

x y

 

 



Vậy có hai điểm thỏa mãn A1 2; 4 ,A2 0; 0

Bài 2.51: Cho bốn điểm A8; 0 ,     B 0; 4 ,C 2; 0 , D  3; 5 Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được một đường tròn

Bài làm:

Bài 2.51: Ta có AB 8; 4 , AD5; 5 ,  CB2; 4 , CD 5; 5

Trang 60

Do đó BAD BCD 1800 Suy ra tứ giác nội tiếp được

Bài 2.52: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A 2; 1 , B 2; 4 

Tìm trên trục Oy điểm M sao cho MBA450

Trang 61

Bài 2.53: Cho hai điểm A4; 3 ,   B 3;1 Tìm M trên trục hoành sao cho AMB1350

Trang 62

Trang 63

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, b, c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác;

2

p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác Khi đó ta có:

Hình 2.6

Trang 64

 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác

1 Phương pháp

 Sử dụng định lí côsin và định lí sin

 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu

tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác

Định dạng
Số trang	127
Dung lượng	6,27 MB