Bài tập phép biến hình

Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép tính tiến.. Vấn đề 2: Dùng phép tịnh tiến để chứng minh tích chất hình học:Sự song song, bằng nhau,…... CMR phép tịnh tiến biến đờng thẳn

Hình Học/ Chuyên Đề Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng.

Phần 1: Phép Dời Hình Trong Mặt Phẳng.

I Phép Tịnh Tiến.

Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép tính tiến.

Phơng pháp: + Nếu là hình học thuần tuý thì dùng định nghĩa.

+ Nếu là hình học giải tích thì dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình

Vdụ 1: Trong mặt phẳng cho phép tịnh tiến T theo vectơ v1;2



a Viết phơng trình đờng thẳng ảnh của mỗi đờng thẳng sau qua T

i : 2d x 3y  1 0 ii d1: 2x y  3 0

b Viết phơng trình ảnh của đờng tròn: 2 2

x y  x y  qua T

Vdụ 2: Trong mặt phẳng cho phép tịnh tiến T theo vectơ v2;1



a Viết phơng trình đờng thẳng ảnh của mỗi đờng thẳng sau qua T

i :d x y  4 0 ii d1:x 2y  3 0

b Xác định phép tịnh tiến T theo vectơ u biến d thành d :2 x y   biết u5 0  có giá vuông góc với

đờng thẳng d3: 3x2y 5

1 Trong mặt phẳng cho 2 đờng thẳng d và d có phơng trình AxByC0,AxByC Tìm những vectơ v a b , 



sao cho T d v d

2 Cho bốn đờng thẳng a b a b, , ,  sao cho a cắt b, a// , //a b b

Tìm một phép tịnh tiến: T a v:  a b;  b

3 Cho hai phép tịnh tiến T T v, u Với điều kiện nào của ,v u

  thì hợp thành của T T v, u là phép đồng nhất

4 Hợp thành của hai hay nhiều phép tịnh tiến đều là một phép tịnh tiến

5 Cho O O O1, 2 1 O2 là hai điểm cố định cho trớc CMR phép biến hình

2 1

S S là phép tịnh tiến.

Vấn đề 2: Dùng phép tịnh tiến để chứng minh tích chất hình học:(Sự song song, bằng nhau,….).)

Phơng pháp: Lựa chọn phép tịnh tiến thích hợp, sử dụng 2 tính chất của phép tịnh tiến.

1 CMR phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó

(Sử dụng tính chất 1)

*2 Cho hình thang ABCD (AB//CD), tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên Gọi M là giao điểm của các đờng phân giác trong của các góc A và B; N là giao điểm của các đờng phân giác trong của các góc C và D CMR: 2MN = BC + AD - (AB + CD)

(Chọn v MN



 

, N là tâm đờng tròn nội tiếp tứ giác A B CD  thì A B CDB C A D )

3 Cho hình thang ABCD có A < D CMR: BD < CA

( Chọn v BC



, ta có ngay CA CD, gọi I là trung điểm của A D thì I cũng là trung điểm của

AD Xét 2 tam giác CIA CID, có CI chung và CA CD nên I2 I1 từ đó áp dụng vào hai tam giác CIA và CID)

4 CHo hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD và MBCMDC CMR: AMDBMC .

( Chọn v BA



 

, chỉ ra MDCDMM (1), MBCM AD  (2), theo gt thì DMMM AD  suy ra tứ giác AMM D nội tiếp  AMD AM D (3).)

*5 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và MP+NQ=p- nửa chu vi CMR: Tứ giác ABCD là hình bình hành

( Từ MP+NQ=p=1 / 2ABBC CD DA1 / 2ADBC1 / 2ABCD Chọn v BC

 , gọi

D E suy ra MP=1/2AE Xét tam giác ADE: AEADDE, suy raMP1 / 2ADDE dấu = xảy ra khi A, D, E thẳng hàng  AD//BC Tơng tự ta có AB//CD)

Vấn đề 3: Bài toán quỹ tích và dựng hình.

Phơng pháp: Lựa chọn phép tịnh tiến thích hợp, sử dụng 2 tính chất của phép tịnh tiến Chú ý chọn

ra đợc yếu tố cố định thích hợp trong bài toán

*1 Cho hai điểm phân biệt B, C trên (O), A là điểm di động trên (O)

Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

(Gọi M là trung điểm của BC, tia BO cắt (O) tại D thì ADCH là hình bình hành nên AH=2OM)

2 Cho (O;AB) cố định, MN là đờng kính thay đổi Các đờng thẳng AM và An cắt tiếp tuyến tại B lần lợt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ(hai quỹ tích này là một)

(Với tam giác MPQ ta chỉ ra MH 2OA BA

, không kể A, B)

3 Cho hai đờng trong không đồng tâm O R;  , O R và một điểm A trên (O;R) Xác định M trên 1; 1 (O;R) và điểm N trên O R sao cho MN OA1; 1 

 

A

B M

N

Hình Học/ Chuyên Đề Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng.

*4 Cho hai đờng thẳng a và b và hai điểm A, B nh hình vẽ

Tìm M thuộc a, N thuộc b sao cho MNb,

AM+MN+NB là ngắn nhất.( Chọn v MN 

)

II Phép đối xứng trục.

Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép đối xứng trục.

Phơng pháp: + Dùng định nghĩa, biểu thức vectơ hay biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua các trục toạ độ

1 Trong mặt phẳng xOy cho M(2;3), đờng thẳng d: 2x-y+3=0 và đờng tròn (C) có phơng trình:

2 2

x y  x y 

a Xác định ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox, Oy

b Xác định ảnh của M, (C) qua phép đối xứng trục là đờng thẳng d

c Xác định ảnh của d qua phép đối xứng trục là a: 2x-y+5=0; x+2y+3=0; x-2y+3=0

2 Chứng minh rằng:

a Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến

b Hợp thành của một số chẵn phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến

c Hợp thành của một số lẻ phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục

3 Cho hai đoạn thẳng bằng nhau ABA B  CMR có thể tìm đợc một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục để A A B;  B

4 Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A B C  (tơng ứng cạnh) CMR chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến ABC thành A B C   (sử dụng bài 3)

Vấn đề 2: Dùng phép đối xứng trục để chứng minh tích chất hình học:(Sự song song, bằng nhau,.)

1 Xác định các trục đối xứng của hình chữ nhật, hình vuông, tam giác đều

2 Gọi d là phân giác ngoài của A với tam giác ABC CMR với mọi điểm M trên d, thì chu vi của tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC

3 Cho elip (E) với tiêu điểm F F Gọi M là điểm thuộc (E) không nằm trên đờng thẳng 1, 2 F F , và d 1 2

là phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác MF F CMR d chỉ cắt (E) tại M duy nhất (d gọi là tiếp 1 2

tuyến của (E))

4 (Khó)Cho tam giác ABC với I là tâm đờng tròn nội tiếp và P là một điểm nằm trong tam giác Gọi

, ,

A B C   là ba điểm đối xứng với P lần lợt qua AI, BI, CI CMR các đờng thẳng AA BB CC, ,  đồng quy

5 CMR trong tam giác ABC bất kì, ta có BĐT sau: h a  p p a  

(Xét D , d là đờng thẳng qua A và // BC b + c = CA + AB = CA + d ABCB= 2 2

4h a a )

6 Gọi H là trực tâm của tam giác ABC CMR bốn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đờng tròn ngoại tiếp có bán kính bằng nhau

Vấn đề 3: Bài toán quỹ tích và dựng hình.

1 Cho ABC có đỉnh B, C di động trên đờng thẳng d cố định, biết trực tâm H của ABC là cố định

và đờng tròn (O) ngoại tiếp của ABCđi qua điểm cố định PH tìm quỹ tích O

(Gọi D d H H H O , H cố định, O nằm trên đờng trung trực của PH Đảo lại)

2 Cho A, B ở cùng phía với đờng thẳng x x Dựng M trên x x sao cho AMx 2BMx .

(PT: Giả sử dựng đợc M: AMx2BMx , gọi B, A là ẩnh của B, A qua phép đối xứng trục x x

B M là phân giác góc AMx nên Ax x do đó B A B A  Bài toán có 2 nghiệm hình)