CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Hỏi có mấy cách xếp sao cho a Nam nữ ngồi xen kẽ b Nam nữ ngồi xen kẻ và một người nam A và một người nữ B phải ngồi kề nhau c Nam , nữ ngồi xen kẻ và có người nam C , một người nữ D khô

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A LÝ THUYẾT

1 Quy tắc cộng: một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động 1

có m cách thực hiện, hành động 2 có n cách thực hiện và 2 hành động này không xảy ra đồng thời thì có m + n cách cách thực hiện công việc nói trên

2 Quy tắc cộng đúng cho một công việc có nhiều hành động

3 Số phần tử của tập hữu hạn A k/h N(A) ( hoặc n(A) hoặc |A|) Ta có

• Nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì: N(A∪ B) = N(A) +N(B)

• Nếu A, B là tập hữu hạn bất kỳ thì: N(A∪ B) = N(A) +N(B) - N(A∩ B)

• Nếu A ⊂ X thì N(X\A) = N(X) -N(A)

• Nếu A1, A2…Am là các tập hứu hạn đôi một không giao nhau thì

N(A1∪A2∪A3∪…∪Am ) = N(A1) + N(A2) + N(A3) +…+ NAm)

4 Quy tắc nhân: một công việc được thực hiện bởi 2 hành động liên tiếp Nếu hành động 1 có n

cách, hành động thứ 2 có m cách thực hiện thì có m.n cách thực hiện công việc trên

5 Nhắc lại các dấu hiệu chia hêt:

• Chia hết cho 2 là số có tận cùng: 0, 2, 4, 6, 8

• Chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3

• Chia hết cho 4 là số có tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4(vi dụ: 112; 4308) nếu 2 số tận cùng > 40 thì chữ số hàng chục 2 + hàng đơn vị chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4

• Chia hết cho 5 là số có tận cùng là 0, 5

• Chia hết cho 6 là chia hết cho 2 và 3

• Dấu hiệu chia hết cho 7: gọi x là số cần kiểm tra Gọi m là số tận cùng của x , y là số x

bỏ đi chữ số hàng đơn vị ta xét y - 2m = k lặp đi lặp lại cho tới khi k là một số có 1 hoặc 2 chứ số, nếu k + 7 thì x + 7

• Chia hết cho 8 là số có tận cùng là 000 hoặc ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 Hoặc tổng chữ số hàng trăm.4 + chữ số hàng chục 2 + hàng đơn vị chia hết cho 8 thì số

đó chia hết cho8

• Chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số chia hết cho 9

• Chia hết cho 25 là số có tận cùng là 00, 25, 50, 75

• Chia hết cho 10 là số có tận cùng là 0

• Chia hết cho 11 là: tổng các chữ số hàng chẵn - tổng các chữ số hàng lẻ +11 thì số

đó+11

• Chia hết cho 12 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4

• Chia hết cho 13: gọi x là số cần kiểm tra, l là số tận cùng và y là số x bỏ đi hàng đơn vị xét k = y + 4m lặp đi lặp lại được kết quả nếu k + 13 thì x + 13

• Chia hết cho 14: là chia hết cho 2 và 7

• Cgia hết cho 15 là chia hết cho 3 và 5

• Chia hết cho 17 khi y - 5m chia hết cho 17

• Chia hết cho 18: là chia hết cho 2 và 9

• Chia hết cho 19 khi y + 2m chia hết cho 19

• Chia hết cho 3 và 7 thì chia hết cho 21

B BÀI TẬP

1) Có 4 tuyến xe buýt giữu A và B Có 3 tuyến xe buýt từ B đến C Hỏi

a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?

b) Có mấy cách đi rồi về xe buýt từ A đến C qua B ?

Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ đến C qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần ?

2) Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và: a) Gồm 3 chữ số ?

b) Số chẵn có 3 chữ số ?

c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5 ?

d) Số có 3 chữ số và nhỏ hơn 400?

3) Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành (ĐH HUẾ 1999 )

4) Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5

a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau đôi một

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 (ĐH HUẾ 2000 )

5) Cho tập A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Từ A có thể lập được bao nhiêu số:

a) Gồm bốn chữ số khác nhau chia hết cho 2

b) Gồm 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3

6) Từ các số 0; 1; 2; 3; 4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?

7) Cho X= { 0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng

3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần?

8) Từ 10 chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà trong đó phải có mặt chữ số 0 và 1?

9) Có bao nhiêu số tự nhiên :

a) Gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi một

b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau đôi một

c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau đôi một

d) Gồm 4 chữ số trong đó 2 chữ số kề nhau phải khác nhau

10) Từ các số 1; 5; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số khác nhau

b) Có 4 chữ số

c) Có 4 chữ số chẵn khác nhau

11) Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số khac nhau

b) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau

c) Số có 4 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ số 3

12) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa:

a) Gồm 4 chữ số

b) Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

c) Gồm 4 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt chữ số 1

d) Gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó không có mặt chữ số 1

e) Lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

f) Chẵn gồm 4 chữ số khác nhau

g) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

h) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

i) Gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

j) Số có 3 chữ số khác nhau và > 400

13) Có 3 nam 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế Hỏi có mấy cách xếp sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ

b) Nam nữ ngồi xen kẻ và một người nam A và một người nữ B phải ngồi kề nhau

c) Nam , nữ ngồi xen kẻ và có người nam C , một người nữ D không được ngồi kề nhau

14) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số là số lẻ?

II HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

A LÝ THUYẾT

 HOÁN VỊ:

1 Giai thừa:

• với số nguyên dương n, ta định ngĩa n giai thừa, kí hiệu n! là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 tới n : n! = 1.2.3.4…(n-2).(n-1).n

• qui ước: 0! = 1

• (n-1)!.n = n!

2 Định nghĩa hoán vị: cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) khi ta sắp xếp n phần tử này vào n vị trí khác nhau, được gọi là hoán vị của n phần tử

3 Số các hoán vị: số hoán vị n phần tử k/h là Pn với Pn = n! ( n ≥ 1)

4 Có thể giải bằng quy tắc nhân

 CHỈNH HỢP:

1 Định nghĩa: có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau ( 1 ≤ k≤ n) xếp vào k chỗ khác nhau Mỗi cách chọn và sắp xếp như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

2 Số các chỉnh hợp: số chỉnh hợp chập k của n phần tử k/h: Ak nvà tính theo công thức:

k n

n!

n k !

−

3 Mỗi hoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khi đó Pn = n

n

A

4 Có thể sử dụng quy tắc nhân

 TỔ HỢP:

1 Định nghĩa: có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau(0≤ k ≤ n ) không để ý đến thứ tự chọn Mỗi cách chọn như vậy là một tổ hợp chập k của n phần tử

2 Số tổ hợp: số tổ hợp chập k của n phần tử k/h: Ck nvà được tính theo công thức:

k

k n n

−

3 Tính chất:

• k n k

C =C −

C =C −− +C −

• 0 1 n 2n

C +C + +C =

B BÀI TẬP

HOÁN VỊ

1 từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhieu số có 5 chữ số khác nhau

2 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?

3 Trong một phòng có 2 bàn dài mỗi bàn có 5 ghế Người ta xếp chỗ cho 10 hs gồm 5 nam và 5

nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu

a Các học sinh ngồi tùy ý

b Các học sinh nam ngồi một bàn , học sinh nữ ngồi 1 bàn (ĐH CẦN THƠ 1999 )

3 Một tạp chí thể thao định ra 22 kỳ báo chuyên đề về 22 dội bóng, mỗi kỳ một đội Hỏi có bao

nhiêu cách sao cho :

a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A

b) Hai kỳ báo liên tiếp nói về đội A và B

4 Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tùy ý sao cho tháng 5 và tháng 6 không đứng

kề nhau Hỏi có mấy cách

5 Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đôi một Có bao nhiêu cách sắp xếp các bi

thành 1 hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau

6 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một hàng ghế dài sao cho

a) C ngồi chính giữa

b) A, E ngồi hai đầu ghế

7 (ĐHQGTP.D.1999) Một học sinh có 12 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 sách văn, 2 toán, 6

anh văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên 1 kệ dài nếu các cuốn cùng môn sắp kề

nhau

8 (ĐHNT.A.2001) từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi có bao số

mà 2 số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

9 Xét cá số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số

mà:

a) Năm chữ số 1 xếp kề nhau

b) Các chữ số xếp tùy ý

10 (CĐKTĐN.2000) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2,

3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau

11 (ĐHH.D.1997) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau Tính tổng

các số trên

12 (ĐHAN.D.2001) Trong các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó

chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn cá chữ số khác có mặt một lần

x x x

− − =

14.Gải bất phương trình: 4

15

n

P

P P P

+

<

2

n

n

n  + 

≤  ÷

16 Chứng minh:

a) Pn - Pn-1 = (n-1)Pn-1

b) 1+P1+ 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 = Pn

CHỈNH HỢP

1 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó?

2 Từ tập A ={0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

3 Trong một cuộc đua gồm 10 con ngựa Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất nhì ba

4 (ĐHCS.1999) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

5 Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số dôi một khác nhau

6 Từ các số 0, 1, 2, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

7 (ĐHKTQD.2001) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

a) trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5

b) là số chẵn

c) một trong 3 chữ số đầu phải có mặt chữ số 2

8 (HVNHTP.2000) Xét các bảng số xe là dáy số gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,…,Z Các chữ số lấy từ 0, 1, 2, 3,…,9

a) Có mấy biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ O vầccs chữ số đôi một khác nhau

b) Có mấy biển số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ, và 2 chữ số lẻ đó giống nhau

9 Có 6 người đi vào thang máy chung cư có 10 tầng Hỏi có bao nhiêu cách:

c Mỗi người đi vào một từng khác nhau

d 6 người mỗi người đi vào một tầng bất kì nào đó

10 Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiêt phải có mặt chữ số 5 (ĐHKTQD 2001)

11 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.(ĐHAN&ĐHYD1997)

12 (ĐHDLTL.1998) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số 1, 2

13 (ĐHQGTP.2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có một chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1

14 (HVCNBCVT.1999) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3,… , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho phải có mặt chữ số 0 và 1

15 Cho các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một mà:

e Là số chẵn

f Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.(ĐHQG-TPHCM 1999 )

16 Chứng minh: với n, k ∈ N và 2 ≤ k < n

a) A n k = A n k−1+kA n k−−11

n k n k n k

A++ +A++ =k A+

n

n

−

17 Giải phương trình, bất phương trình :

a) P A x x2 +72 6(= A x2 +2 );P x x∈¢ (ĐHQGHN.D.2001)

b) A3x+5A x2 ≤21x ( ĐHQGHN.B.1998)

18.Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn với :

4 4 2

143 4

n n

A x

+ +

TỔ HỢP

1 Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác?

2 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hổ có bao nhiêu cách

3

4 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nữ và 10 học sinh nam Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm

5 em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn.(CĐSPHN1999)

5 Một đa giác lồi n cạnh hỏi có bao nhiêu đường chéo

6 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội hs ưu tú toàn quốc Có mấy cách chọn:

a) Tùy ý

b) Sao cho 2 hs A và B không cùng đi

c) Sao cho 2 hs A và B cùng đi hoặc cùng không đi

7 (B.2004) Có 30 câu hỏi khác nhau gồmcos 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu hỏi dễ

Tù 30 câu trên có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn hai

8 Một chi đoàn gồm có 20 đoàn viên trong đó 10 nữ Muốn chọn 1 tổ công tác có 5 người Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất một người nữ.(ĐHYHN.1998)

9 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư là tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên Hỏi có mấy cách lập tổ công tác (ĐHKTHN.1998)

10 (ĐHYHN.2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn

11 (HVCT2001) Một đội văn nghệ có 10 người trong đó 6 nữ và 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:

a) Thành 2 nhóm số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá 1 nam

12 Một bộ bài có 52 lá, có 4 loại cơ rô chuồn bích, mỗi loại có 13 lá Muốn lấy ra 8 lá trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích Hỏi có bao nhiêu cách

13 (HK2000) Một người có 12 cây giống trong đôcs 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi Người ta muốn chọn 6 cây giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Mỗi loại có đúng 2 cây

b) Mỗi loại có đúng một cây

14 (ĐHNN.B.2000) Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau Tìm số tập con khác rỗng chứa một

số chẵn các phần tử

15 (ĐHNL.D.2001) Trong một hộp có 7 cầu xanh, 5 cầu đỏ và 4 cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 4 quả chọn ra

có đủ 3 màu

16 (ĐHDLTL.1999) Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 tối 6, 5 cầu đỏ đánh số, 4 cầu vàng đánh số

a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cùng màu và cùng số

b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả khác màu

c) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả khác màu và khác số

17 (ĐHQGTP.2000) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông đỏ( các bông xem như dôi một khác nhau) Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa trong đó:

a) Có đúng một bông hồng đỏ

b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ

18 số 210 có bao nhiêu ước số

19 (ĐHKTTP.2001) Một tập thể co 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đôcs An và Bình Người ta muốn chọn 1 tổ công tác gòm 6 người Tìm số cách thỏa mãn:

a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ

b) (*) trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ

20 (*) Trên mặt phẳng cho 1 thập giác lồi Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác

21 (*) Cho đa giác A1A2…A2n ( n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp trong một đường tròn (O) Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh trên nhiều gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh trên Tìm n(ĐH.B.2002)

22.(ĐHHH.1999) Tìm n sao cho:

3 1 4

1 14

n n n

C

−

− +

<

10

2 A x−A x ≤ x C x +

24.(ĐHQGHN.1999) Cho k, n ∈ N thỏa n ≥ k ≥ 2 Chứng minh: ( 1) k ( 1) k 22

k k− C =n n− C −−

C + C − + C − + C − +C − =C +

26.(CĐSPTP.1998) Tìm k ∈ N sao cho C14k +C14k+2 =2C14k+1

27 (ĐHQGHN.A.2000) Chứng minh nếu k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 2000

C +C + ≤C +C

28.(ĐHYTP.1998) Với mọi n, k ∈ N và n ≥ k ≥ 0 Chứng minh: 2n 2n ( 2n )2

C + +C − ≤ C

29.(ĐHSPV.2001) Với n nguyên dương cố định và k ∈ N Chứng minh C lớn nhất nếu k không n k

vượt quá

30 Cho m, n với 0 < m < n Chứng minh:

a) mC n m =nC n m−−11

C =C −− +C −− + +C − +C −−

c) 20020 20022001 12002 20012000 2002k 20022001 k 20022001 10 1001.22002

k

C C +C C + +C C −− + +C C =

31 (ĐHQGTP.D.1998)

C +C + =C ++

b) Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo

TÌM n ∈ ¥* TRONG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA P , A , Cn nk kn

1 Tìm n ∈ ¥ *, nếu có: n 3 ( )

n

n 1

2 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a)P2.x2 - P3.x = 8

b)Px - Px-1 = (x-1).Px-1

c) Pn+3 = 720 A P n5 n-5

2

A + A = P+

e)

3

1

4

1 14

n

n

n

C

−

−

+

<

f) y 2: y 1: y 3: 5 : 5

C − C − C =

3 Tìm n ∈ ¥ *, nếu có: 3 3 ( )

n n 1

6n 6 C − + ≥ C + 2

C + −A − n = A

b C n1 +6C n2 +6C n3 =9x2 −14x

c A n3 +2C n2 =16n

5 Chứng minh:

1

k k

n n

k

n

−

− =

h) k n k

n n

C =C −

i) 1

1

k k k

n n n

C − C C

+

+ =

C + C + C + C +C =C +

C + C + C + +nC =n −

l) ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 ( )2

2

C + C + C + + C =C

m)

2

C +C +C + +C − = −

1

1

2

n

n n

+

C +C + +C =C +C + +C −

n

6 Giải các phương trình sau:

2

x x x

C +C +C = x

s)

1

4

23 24

x

x x

x

A C

A

−

2

2A x + 50 =A x

x x x

C =C +C

7 Giải phương trình:

a) P A x x2 +72 6(= A x2 +2 );P x x∈¢ b) 14k 14k 2 2 14k 1;

C +C + = C + k∈Z

c)

C −C = C

8 Giải các phương trình, hệ pt và bất phương trình sau: v)

4

4

15

x

x x

A

P P

+

≤

w)

2 1 2 1

2

x x

x x

A

P C

− +

−

≥

x)

1

y y y

x x x

C + C + C −

y y

x x

y y

x x

A C

A C





9 * Giải bất phương trình, hệ phương trình sau:

a) 4 3 2

5

0 2

C − −C − − A− <

b)

4 1

3 3

1 14

n n n

A

P C

+

−

−

<

A C

10 Một cuộc khiêu vũ có 10 nam, 6 nữ Cần chọn 3 nam, 3 nữ lập thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

11 Có 5 bưu thiếp khác nhau, 6 bì thư khác nhau Cần chọn 3 bưu thiếp, bỏ vào 3 bì thư, mỗi bì thư một bưu thiếp Hỏi có mấy cách

12 (*) Có 4 người Việt, 4 người Nhật, 4 người Trung Quốc và 4 người Triều Tiên Cần chọn 6 người đi dự hội nghị Hỏi có mấy cách chọn sao cho:

a) Mỗi nước đều có 1 đại diện

b) Không có nước nào có 2 đại biểu?

13 Có 10 cái bánh khác nhau và 5 cái hộp khác nhau Hỏi có mấy cách xếp mỗi hộp 2 bánh? Nếu

10 cái bánh khác nhau và 5 hộp giống nhau thì có mấy cách

14 (ĐHQGTH.2000) Có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó 5 sách văn, 4 anh văn, 3 hóa Cần lấy ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn

a) Nếu chỉ tặng sách anh văn và văn thì có mấy cách?

b) (*) nếu sau khi tặng xong mỗi loại văn, anh văn, hóa còn ít nhất 1 cuốn thì có bao nhiêu cách?

15 (ĐHQGTP.1999) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

a) Có bao nhiêu tập con chứa 1 mà không chứa 2

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123

16 (ĐHSPHN.2000) Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó 1,

6 có mặt đúng 2 lần các chữ khác có mặt một lần

17 (ĐHQGTP.2000)

a) Có bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau mà bắt đầu bằng chữ số lẻ

b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

18 Một đoàn đại biểu gồm 4 hs được chọn ra từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1 nam và ít nhất một nữ

19 Có 4 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng sao cho:

a Ngồi tùy ý

b Nam nữ xen kẻ nhau

c Nam ngồi kề nhau; nữ ngồi kề nhau

20 Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước hác nhau

a có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

21 Một hộp có 4 bi đỏ và 5 bi trắng ; 6 bi vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 bi trong đó không có đủ 3 màu

22 Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đè, mỗi chủ đề gồm

10 câu Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu , chủ đề 2 và 3 không đứng kề nhau

23 Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu

a) Các học sinh ngồi tùy ý

b) Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi 1 bàn (ĐH CẦN THƠ 1999 )

A LÝ THUYẾT

1 Nhị thức Newton có dạng:

k 0

a b C a − b C a C a b C a− − b C a − b C b

=

2 Các hệ số k

n

C của các lũy thừa (a+b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4,… được sắp xếp thành từng hàng của tam giác sau đây gọi là tam giác pascal:

(a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

3 Các tính chất của tam giác pascal:

• 0 n 1

C =C = Số hạng đầu và số hạng cuối đều bằng 1

• k n k

C =C − ( 0 ≤ k≤ n ) Các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng

nhau

1

C C + C +

+

+ = ( 0 ≤ k ≤ n - 1 ) Tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên thì

bằng số hạng giữa ở hàng dưới

• 0 1 2 n 2n

b)n là 2n

4 Các tính chất của nhị thức Newton:

• Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a+b)n là n+1

• Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a+b)n là n

• Số hạng thứ k+1 của khai triển là: Tk+1 = Cnan-kbk

5 Ôn tập các công thức lũy thừa với số mũ hữu tỷ và vô tỷ

• a a m n = a m n +

• a m n a m n

• ( ) a m n = a m n

• ( ) a b n = a b n n

• n n n

b b

  =

 ÷

 

• n a b = n a b.n

• n n

n

a a

b = b

• ( )m m

n a m = n a =a n

• m n a =m n. a

•

a a m n khi a

m n khi a

> ⇔ > >

< < <

•

a b a b le< → <a b