Toán kinh tế nâng cao nguyễn thế hoà

Các t “chi phi phí biên”.

Ti n s Kinh t Nguy n Th Hòa

Toán kinh t nâng cao

Hà N i -2009

M C L C

CH NG 1 QUY HO CH L I 4

1.1 C s đ i s ma tr n 4

1.1.1 Ma tr n 4

1.1.2 nh th c 4

1.1.3 Ma tr n ngh ch đ o 5

1.1.4 Ma tr n Hess 5

1.2 T p l i, hàm l i, hàm lõm 6

1.2.1 T p l i 6

1.2.2 Hàm l i, hàm lõm 7

1.3 C c đ i hóa hàm nhi u bi n 11

1.4 nh lý bao 14

1.5 T i u hóa có đi u ki n và đ nh lý Kuhn – Tucker 17

1.5.1 T i u hóa có đi u ki n đ ng th c 17

1.5.2 T i u hóa có đi u ki n b t đ ng th c 21

1.5.3 nh lý Kuhn-Tucker 27

CH NG 2 PHÂN TÍCH CÔNG NGH B NG TOÁN H C 28

2.1 Công ngh và hàm s n xu t 28

2.2 T su t thay th k thu t biên TRS 29

2.2.1 Khái ni m TRS 29

2.2.2 TRS và các n ng su t biên 30

2.3 Các hàm thu n nh t, hàm v t 32

2.3.1 Hàm thu n nh t 32

2.3.2 Hàm v t 33

2.4 Hi u qu theo qui mô 36

2.4.1 Phân lo i hi u qu theo qui mô 36

2.4.2 Hi u qu theo qui mô không đ i 36

2.5 co giãn thay th 37

2.5.1 Khái ni m đ co giãn thay th 37

2.5.2 Hàm s n xu t c b n 39

2.6 Ti n b k thu t 42

CH NG 3 C C TI U HÓA CHI PHÍ - CÁC HÀM CHI PHÍ 45

3.1 Các khái ni m chi phí 45

3.1.1 Chi phí lao đ ng 45

3.1.2 Chi phí v n 46

3.1.3 Chi phí d ch v qu n lý 46

3.1.4 Chi phí kinh t 46

3.2 L a ch n đ u vào c c ti u hóa chi phí 47

3.3 Các hàm chi phí 52

3.4 Phân tích hàm c u nhân t có đi u ki n 53

3.5 Phân bi t ng n h n và dài h n 55

CH NG 4 C C I HÓA L I NHU N – HÀM L I NHU N 59

4.1 C c đ i hóa l i nhu n và cung 59

4.1.1 B n ch t và hành vi c a hãng 60

4.1.2 C c đ i hóa l i nhu n 60

4.1.3 Cung ng n h n c a hãng ch p nh n giá 64

4 2 Hàm l i nhu n 67

4.3 C c đ i hóa l i nhu n và c u nhân t 70

4.3.1 Các đi u ki n b c nh t 70

4.3.2 Các đi u ki n b c hai 71

4.3.3 Các hàm c u đ u vào 72

CH NG 5 75

C C I HÓA L I ÍCH & C C TI U HÓA CHI TIÊU - HÀM C U 75

5.1 C c đ i hóa l i ích 75

5.2 C c ti u hóa chi tiêu 78

5.3 Tính ch t c a hàm c u 79

0

10

0

01

Trong đó Aik là ph n bù đ i s c a ph n t aik có giá tr b ng (-1)i+k nhân v i đ nh con c p (n-1) là đ nh th c còn l i sau khi đ nh th c c p n b đi các ph n t dòng

1.1.4 Ma tr n Hess

N u f là m t hàm n bi n liên t c và kh vi c p 2 thì m t ma tr n đ c xây d ng t

t t c các đ o hàm riêng c p 2 c a nó nh sau đ c g i là ma tr n Hess:

n n

f f

f

f f

f

f f

2 22 21

1 12 11

Th t v y, n u ta l y 2 đi m b t k x, y∈ M thì khi đó có : x≥ 0n; y ≥ 0n và Ax ≤ b;

Ay ≤ b Bây gi ta ph i ch ng minh r ng đi m x = λx + (1-λ)y v i m i 0 ≤ λ ≤ 1

c ng thu c M hay x ≥ 0n và Ax ≤ b Ta th y ngay x ≥ 0n vì nhân m t s không

âm v i m t vect không âm c ng nh c ng 2 vec t không âm cho ta vect không

âm M t khác

Ax = A[λx + (1-λ)y] = A(λx) + A[(1-λ)y] = λAx + (1-λ)Ay

mà Ax ≤ b; Ay ≤ b suy ra Ax ≤ λb + (1-λ)b = b Nh v yxc ng thu c M, theo

khái quát hoá và ch nh ng m t t ng t nh m t ph ng trong không gian 3 chi u

nh ng ta không hình dung đ c khi n > 3

Còn khi n = 3 siêu ph ng H(a,d) chính là m t ph ng g m nh ng đi m x = (x1, x2,

x3)T trong không gian 3 chi u, mô t b i ph ng trình m t ph ng quen thu c:

a1x1+ a1x2 + a3x3 = d;

Khi n =2 siêu ph ng H(a,d) chính là đ ng th ng g m nh ng đi m x = (x1, x2)Ttrong m t ph ng 2 chi u, mô t b i ph ng trình đ ng th ng:

4 N a không gian âm

H-(a,d): = {x∈Rn ⏐aT x ≤ d; a∈Rn ; d∈R1

x* đ c g i là m t đi m c c ti u đ a ph ng c a bài toán (*) n u t n t i m t s ε

> 0 và m t lân c n U(x*,ε) sao cho:

Mu n v y ng i ta c n có thêm các gi thi t sau:

1 M là m t t p l i, đóng (m t t p đóng là t p mà các đi m biên c a nó c ng thu c

t p đó)

2 f là m t hàm l i, t c là ∀ x’, x” ∈ M và 0 ≤ λ ≤ 1 luôn có:

f[λx’ + (1- λ)x”] ≤ λf(x’) + (1- λ)f(x”)

Tr ng h p tho mãn d u < ta g i f là hàm l i ch t Trong bài toán

f(x) → max gi thi t th hai f là hàm lõm, t c là f đ c đ nh ngh a t ng t

S d ng ý t ng tr c giác này cho tr ng h p nhi u bi n mà s d ng các ký hi u hàm s là khá r c r i, nh ng n u s d ng đ i s ma tr n thì l i r t đ n gi n Tính lõm đòi h i ma tr n Hess là xác đ nh âm, trong khi tính l i đòi h i ma tr n này là xác đ nh d ng Nh trong tr ng h p hàm m t bi n, các đi u ki n này có ngh a đòi h i r ng hàm s chuy n đ ng nh t quán kh i b t c ti p tuy n nào c a nó mà không ph thu c vào h ng di chuy n nào

12 11

Tính lõm c a hàm s này cho phép ta tìm đ c giá tr c c tr c a hàm s

này đ t t i đi m có các đ o hàm riêng b c nh t b ng 0 Ch ng h n hàm s trên mô

m t đi m c c ti u (c c đ i) toàn c c trên M

Ví d 2: Trong kinh t h c vi mô hàm Cobb-Douglas f (x, y) = xa yb v i a, b∈

(0,1) th ng đ c s d ng đ mô t các hàm l i ích và các hàm s n xu t Các đ o hàm riêng b c nh t và b c hai c a nó là

1

1 1 2

) 1 (

)

1

(

b a b

a

b a b a

y x b b y

abx

y abx y x a

a

nh th c con chính c p 1 c a nó là

H1 = a(a-1)xa-2 yb < 0,

nên hàm s trên là lõm khi đ nh th c con chính c p 2 c a nó

H2 = a(a-1)b(b-1)x2a-2 y2b-2 – a2b2x2a-2 y2b-2

= ab(1-a-b)bx2a-2 y2b-2 > 0 i u ki n ch đúng khi a + b < 1 T c là trong s n

su t, khi hàm s n xu t th hi n hi u qu gi m theo qui mô, thì nó là m t hàm lõm Hàm t a lõm, hàm t a l i

Các t p h p các đi m trên đó m t hàm nh n m t giá tr l n h n m t h ng s b t

Ví d 3: th y s khác nhau này gi a hàm lõm và hàm t a lõm ta l y ví d v i hàm:

Bây gi ta bi u di n ti p ma tr n Hess ng v i hàm này Do

T (3) và (4) ta th y hàm đã cho ch lõm khi v i 0< k< 0,5 Và ng c l i, hàm này

là l i v i k > 0,5

1.3 C c đ i hóa hàm nhi u bi n

Hàm nhi u bi n và đi u ki n t i u

Xét các quy t đ nh mà m t tác nhân kinh t l a ch n các m c khác nhau

c a nhi u bi n s Gi s tác nhân này mu n tìm m t t p các giá tr đ c c đ i giá

tr hàm y = f(x1,x2, , xn) S d ng các đ o hàm riêng ta có th tìm đ c giá tr

c c đ i c a hàm nhi u bi n này b ng cách ti p c n t ng t nh v i hàm m t bi n

f = f(x) Trong tr ng h p hàm m t bi n, tác nhân này thay đ i x đi m t l ng r t

nh dx, và quan sát s thay đ i y g i là dy S thay đ i này đ c xác đ nh b i

dy = f’(x).dx (1.14)

S đ ng nh t trong ph ng trình (1.14) ghi nh n r ng s thay đ i y b ng v i s thay đ i x nhân v i đ d c c a hàm s Công th c này t ng đ ng v i công th c

v đ d c t i m t đi m cho các ph ng trình tuy n tính trong đ i s c b n Nh

tr c đây, đi u ki n c n cho đi m c c đ i là dy = 0 v i nh ng thay đ i c a x xung quanh đi m t i u Ng c l i y có th t ng v i nh ng thay đ i c a x thích h p

Nh ng dx không nh t thi t b ng 0 trong ph ng trình (1.14), nên dy = 0 hàm ý

r ng t i đi m đó f’(x) = 0 T ng t , v i hàm nhi u bi n ta có th xét s thay đ i

ch c a m t bi n, ch ng h n là x1, trong khi gi cho các bi n còn l i khác không

đ i S thay đ i y do s thay đ i c a x1 này đ c xác đ nh b i

f

∂

∂

.dxn = f1dx1+ f2dx2 + + fndxn (1.15)

Bi u th c này đ c g i là vi phân toàn ph n c a hàm f, t ng t nh bi u th c

đ i v i tr ng h p m t bi n trong ph ng trình (1.14) Ph ng trình này có ý ngh a b ng tr c giác là: T ng thay đ i c a y b ng t ng các thay đ i do s thay đ i

c a m i bi n xi

i u ki n c c đ i b c nh t

i u ki n c n cho m t c c đ i (ho c m t c c ti u) c a hàm s f(x1,x2, ,xn)

là dy = 0 v i m i t h p các thay đ i r t nh c a các bi n xi Cách duy nh t đ

đi u đó x y ra là t i đi m này có:

f1= f2 = = fn = 0 (1.16)

M t đi m th a mãn ph ng trình (1.16) đ c g i là m t đi m t i h n Ph ng trình (1.16) là nh ng đi u ki n c n cho m t đi m c c đ i đ a ph ng th y đi u này b ng tr c giác, chú ý r ng n u m t đ o hàm riêng nào đó (ch ng h n fi) l n

h n (ho c nh h n) 0, thì y có th t ng lên khi t ng (ho c gi m) xi M t tác nhân kinh t có th tìm đ c đi m c c đ i này b ng cách đi tìm di m mà y không có

ph n ng gì đ i v i nh ng thay đ i r t nh c a b t c bi n xi nào ây là m t k t

qu quan tr ng cho phân tích kinh t Nó nói lên r ng b t c m t ho t đ ng nào (t c là xi) c ng c n h ng t i đi m mà t i đó đóng góp “biên” c a nó đ i v i hàm

m c tiêu (t c là y) ph i b ng 0 N u không t i đ c đi m đó thì không th c c đ i hóa y

Ví d 4: L y l i ví d 1 y = - (x1-1)2 - (x2-2)2+ 10 (1.17) hay

l n h n 1 và 2, thì càng làm cho y gi m đi các s h ng b c hai âm trong bi u th c (1.17) càng l n Vì th c ra, các đi m tìm đ c b ng các đi u ki n c n là m t đi m

c c ti u đ a ph ng (và toàn c c)

i u ki n c c đ i b c hai

Tuy nhiên, các đi u ki n ph ng trình (1.16) ch a đ đ đ m b o cho

m t đi m c c đ i i u này có th hình dung b ng m t hình nh t ng t : T t c các đ nh đ i đ u (ít hay nhi u) là ph ng, nh ng không ph i b t c ch ph ng nào

c ng là m t đ nh đ i M t đi u ki n b c hai t ng t nh trong tr ng h p hàm

m t bi n f”(x0) < 0 v i x0 là đi m t i h n là c n thi t đ đ m b o r ng m t đi m tìm đ c b ng các ph ng trình (1.16) là m t đi m c c đ i đ a ph ng i u ki n

c n có liên quan này ph i xem xét thêm các đ o hàm riêng b c hai c a hàm f Xét m t hàm hai bi n y = f(x1, x2) i u ki n c n đ hàm này nh n đ c

giá tr c c đ i c a nó là các đ o hàm riêng c a nó theo c x1 và x2 đ u b ng 0 T c

là,

M t đi m th a mãn các đi u ki n này có d u hi u“ph ng“ trên hàm s (đi m t i

đó dy = 0) và do đó là m t ng viên cho m t đi m c c đ i đ m b o đi m này

là m t đi m c c đ i đ a ph ng thì y s gi m đi khi có b t c m t s thay đ i nào

c a các xi r i kh i đi m t i h n B ng hình nh, ch có m t con đ ng duy nh t

r i kh i đ nh đ i là đi xu ng

N u chúng ta ch xét các chuy n đ ng theo h ng x1, thìđi u ki n đ c yêu

c u là rõ ràng: d c theo h ng x1 (t c đ o hàm riêng f1) ph i tri t tiêu t i đi m

t i h n, và đ o hàm riêng b c hai theo h ng x1 ph i âm T ng t nh v y khi

ch chuy n đ ng theo h ng x2 Do đó c hai đ o hàm riêng c p 2 (f11 và f22) ph i

âm t i m t đi m c c ti u đ a ph ng B ng hình nh qu đ i, n u chúng ta ch gi i

h n chuy n đ ng theo h ng b c-nam hay đông-tây, thì đ d c c a qu đ i ph i b tri t tiêu khi chúng ta đi qua đ nh c a nó, và đ d c này ph i thay đ i t d ng sang âm

i u chúng ta c n khám phá là nh ng đi u ki n đ c đ a ra đ i v i các

đ o hàm riêng b c 2 c a f đ đ m b o r ng d2

y là âm v i các di chuy n theo m i

h ng đi qua đi m t i h n Tr c h t ta có vi phân toàn ph n c a hàm này cho b i

m c tr c ta đã bi t đ đi u ki n đ đ m t hàm b c hai có hai bi n đ t c c đ i

t i đi m t i h n là ma tr n Hess c a nó ph i xác đ nh âm, hay cùng v i f11 < 0 là

22 21

12 11

f f

f f

= f11f22 – f122 > 0 (1.23)

1.4 nh lý bao

M t trong ng d ng quan tr ng c a đ nh lý v hàm n là đ nh lý bao; nó

quan tâm đ n giá tr t i u c a m t hàm s thay đ i nh th nào khi có m t tham

s c a hàm này thay đ i Do có nhi u v n đ kinh t chúng ta s nghiên c u liên quan đ n nh ng nh h ng c a s thay đ i m t tham s (ví d , nh h ng mà s thay đ i giá tr tr ng c a m t hàng hóa tác đ ng lên vi c mua hàng hóa c a m t

cá nhân), nên đây là m t ki u tính toán này mà chúng ta th ng xuyên ph i làm

nh lý bao th ng cung c p cho chúng ta m t ph ng pháp tính tr c ti p và nhanh chóng

Ví d c th Cách d nh t đ hi u đ nh lý bao là thông qua m t ví d Gi s y là

a = 2, thì x* = 1 và y* = 1 Do đó, vi c t ng giá tr c a tham s a lên 1 đã làm t ng giá tr c c đ i c a y lên ¾ Trong b ng 1.1, các giá tr nguyên c a c a a t 0 đ n 6

đ c s d ng đ tính các giá tr c c đ i cho x và các giá tr có liên quan c a hàm

m c tiêu y L u ý khi a t ng lên thì giá tr c c đ i cho y c ng t ng lên i u này

đ c minh h a trong hình 1.3, nó cho th y m i quan h gi a a và y* là b c hai Bây gi chúng ta mu n tính toán t ng minh xem y* thay đ i nh th nào khi a thay đ i

và đi u này đúng nh m i quan h minh h a trong hình 1.3 T ph ng trình trên,

2 5/2

3

0

¼

1 9/4

4 25/4

9

Ph ng pháp tr c ti p c a đ nh lý bao

đ t đ c k t qu trên là h i ph c t p Ta ph i tìm giá tr t i u c a x v i

m i giá tr c a a sau đó thay th giá tr x* này vào ph ng trình c a y Trong

nh ng tr ng h p t ng quát h n thì đi u này là r t r c r i vì nó đòi h i l p đi l p

l i vi c t i u hóa c a hàm m c tiêu nh lý bao, cung c p m t cách ti p c n thay

ây cùng chính là k t qu đã thu đ c tr c kia Lý do mà c hai cách ti p

c n đ u cho cùng m t k t qu đ c minh h a trong hình 1.3 Các ti p tuy n đ c

ch ra trong hình cho bi t các giá tr c a y theo a c đ nh x* d c các các ti p tuy n này là ∂y/∂a Rõ ràng, t i y* đ d c này cho giá tr mà chúng ta tìm ki m

Hình 1.2 Minh h a đ nh lý bao

K t qu này là hoàn toàn có th t ng quát, và chúng ta s d ng chúng m t

ch trong môn h c này đ đ n gi n hóa các k t qu c a chúng ta Tóm t t l i, đ nh

lý bao kh ng đ nh r ng s thay đ i giá tr t i u c a m t hàm s theo m t tham s

c a nó có th tìm đ c b ng cách l y đ o hàm riêng hàm m c tiêu trong khi gi cho x (hay các xi) không đ i t i giá tr t i u c a nó T c là,

u v i m t giá tr c th c a tham s a khi ki m tra l i

Tr ng h p nhi u bi n

nh lý bao t ng t c ng đúng cho tr ng h p y là m t hàm nhi u bi n

Gi s y là hàm ph thu c vao n bi n xi và m t tham s a,

Th các hàm này vào hàm m c tiêu ban đ u (ph ng trình 1.27) ta thu đ c bi u

th c giá tr t i u c a y (là y*) ph thu c v a tr c ti p v a gián ti p vào tham s a thông qua nh h ng c a a t i x*i

y* = f(x*1(a),x*2(a), , x*n(a), a)

l y vi phân toàn ph n ph ng trình này theo a, ta có:

Cho đ n gi chúng ta m i t p trung vào tìm giá tr c c đ i c a m t hàm

nhi u bi n mà ch a có h n ch nào đ i v i các giá tr xi có th dùng đ c Tuy nhiên, trong h u h t các v n đ kinh t không ph i t t c các giá tr c a xiđ u kh thi Ví d , trong nhi u tính hu ng đòi h i t t c các xi là d ng i u này là đúng

v i v n đ đ i m t v i nhà qu n lý khi ph i l a ch n s n l ng đ c c đ i hóa l i nhu n; m t m c s n l ng âm là không có ngh a Trong nh ng hoàn c nh khác, các xi có th ch u ràng bu c b i các xem xét kinh t Ví d , đ l a ch n b hàng hóa tiêu dùng, thì m t ng i không th l a ch n b hàng hóa nh mong mu n Mà các l a ch n b h n ch b i m t l ng s c mua s n có; t c là b i ràng bu c v ngân sách c a anh ta Các ràng bu c này làm gi m b t giá tr c c đ i c a hàm đã

đ c t i u hóa Do chúng ta không có kh n ng đ t do ch n trong s t t c các giá tr xi, nên y không th l n nh nó có th Các ràng bu c này đ c g i là

„không liên k t“ n u chings ta có th nh n đ c cùng m t m c y v i áp đ t ràng

bu c này hay không áp đ t

g(x1,x2, , xn) = 0 (1.33)

trong đó hàm g th hi n m i quan h ph i đ c duy trì gi a các bi n xi

M t ph ng pháp đ gi i bài toán c c đ i hóa có đi u ki n là ph ng pháp

nhân t Lagrange, nó liên quan t i m t th thu t toán h c thông minh và c ng tr

nên có m t cách gi i thích kinh t h u ích Tính h p lý c a nó hoàn toàn đ n gi n,

m c dù ta không c g ng th hi n t m đây Trong ph n tr c các đi u ki n c n cho m t c c đ i đ a ph ng đã đ c đ c p Chúng ta đã ch ra t i đi m t i u t t

c các đ o hàm riêng ph i b ng 0 Nh v y có n ph ng trình (fi = 0 v i i = 1,2, ,n) v i n bi n ch a bi t (các xi) Nói chung các ph ng trình này có th gi

đ c đ tìm các giá tr t i u xi Tuy nhiên, khi các xi b ràng bu c, thì có thêm ít

nh t m t ph ng trình (đi u ki n) mà không có thêm bi n Do đó làm cho h

ph ng trình không gi i đ c Ph ng pháp Lagrange đ a thêm vào m t bi n (nhân t Lagrange), nó không nh ng giúp gi i bài toán d dàng (vì có n+1 ph ng trình v i n+1 bi n) mà c ng còn có m t cách gi i thích r t h u ích trong r t nhi u tình hu ng thu c kinh t

Các đi u ki n b c nh t

Ph ng pháp nhân t Lagrange b t đ u b ng vi c thi t l p bi u th c

ℑ= f(x1,x2, , xn) + g(x1,x2, , xn) (1.34)

trong đó là m t bi n đ c thêm vào g i là nhân t Lagrange Sau này chúng ta

s gi i thích ý ngh a c a bi n m i này Tuy nhiên, đi u đ u tiên chú ý là khi đi u

ki n ràng bu c đ c duy trì thìℑvà f có cùng m t giá tr [vì g(x1,x2, , xn) = 0]

Ti p theo, n u chúng ta chúng ta ch gi i h n s quan tâm c a chúng ta đ n các xi

th a mãn đi u ki n ràng bu c, thì vi c đi tìm c c đ i có đi u ki n c a f là t ng

đ ng v i vi c đi tìm các đi m t i h n c a ℑ Sau đây chúng ta s ti n hành ch ra

đi u đó, xem nh là m t bi n thêm vào các bi n xi T ph ng trình (1.34), các

đi u ki n cho m t đi m t i h n là

c a (1.35) áp đ t đi u ki n này; và (2) trong s t t c các giá tr c a các bi n xi

th a mãn đi u ki n ràng bu c, thì nh ng giá tr là l i gi i c a h các ph ng trình

(1.35) s làm cho ℑ (và do đó c f) là l n nh t có th đ c (gi s đi u ki n b c 2

đ c th a mãn) Vì v y, ph ng pháp nhân t Lagrange cho ta môt cách đi tìm l i

gi i cho bài toán c c tr có đi u ki n nh đã đ a ra

ki n biên đ c xem l i này có nh ng di n gi i kinh t trong nhi u tình hu ng khác nhau

Di n gi i v nhân t Lagrange

Cho đ n đây chúng ta đã s d ng nhân t Lagrange ( ) ch nh m t “th

thu t” đ đ t đ c l i gi i nh mong mu n Th c ra, bi n này có m t s gi i kinh

t quan tr ng, là trung tâm đ i v i phân tích c a chúng ta t i nhi u đi m trong môn h c này phát tri n s di n gi i đó, ta vi t l i n ph ng trình đ u tiên trong (1.35) nh sau:

f

− = (1.36) Nói cách khác, t i đi m c c đ i t l gi a fi và gi là nh nhau đ i v i m i xi Các t

“chi phi phí biên” T c là, chúng ph n ánh gánh n ng ph i ch u thêm lên ràng

bu c này khi s d ng nhi u h n m t chút xi mô t đ n gi n, gi s ràng bu c này đòi h i t ng chi tiêu v x1 và x2 đ c cho tr c b i m t l ng ti n c đ nh F

Do đó, ràng bu c s là p1x1 + p2x2 = F (trong đó pi là chi phí cho m i đ n v xi) S

d ng thu t ng hi n t i c a chúng ta, ràng bu c này có th vi t d i d ng n nh sau:

g(x1,x2) = F - p1x1 - p2x2 = 0 (1.37)

Trong tình hu ng này, thì

-gi = pi (1.38)

và đ o hàm –gi th c t ph n ánh chi phí biên cho vi c s d ng m i đ n v xi

Th c hành t t c các bài toán t i u hóa chúng ta s g p ph i trong nh ng ch ng sau có m t s di n gi i t ng t cho các m u s trong các ph ng trình (1.36)

Bây gi chúng ta đ a cho các ph ng trình (1.36) m t di n gi b ng tr c

giác Chúng ch ra r ng, t i các l a ch n t i u đ i v i các giá tr xi thì t s gi a

l i ích biên c a vi c t ng thêm xi và chi phí biên c a vi c t ng thêm xiđ i v i m i

bi n x th y đây là m t đi u ki n rõ ràng cho m t c c đ i, gi s đi u đó không đúng: t c gi s r ng “t l l i ích –chi phí” c a x1 l n h n so v i c a x2 Trong

tr ng h p này, x1 s đ c s d ng nhi u h n chút n a đ đ t t i c c đ i Hãy xét

vi c s d ng thêm x1 nh ng ph i t b đ m t l ng x2 đ gi cho g (ràng bu c) là không đ i Do đó, chi phí biên c a l ng x1 đ c s d ng thêm ph i b ng chi phí

ti t ki m đ c t vi c gi m s d ng x2 Nh ng do t l l i ích-chi phí (l ng l i ích trên m i đ n v chi phí) c a x1 l i l n h n so v i c a x2, nên l i ích t ng thêm

t vi c s d ng nhi u h n x1 s l n h n l i ích gi m đi do s d ng ít h n x2 Vi c

s d ng nhi u h n x1 đ ng th i gi m x2 phù h p khi đó s làm t ng y và cho nhi u

“l i h n h i” Ch khi các t l chi phí-l i ích là b ng nhau v i t t c các xi thì m i

đ t đ c m t c c đ i đ a ph ng, trong đó không th t ng m t l ng nh xi có th

t ng hàm m c tiêu Các ng d ng c th c a nguyên lý c b n này đ c phát tri n trong r t nhi u tài li u c a môn h c này K t qu này là n n t ng cho lý thuy t kinh t vi mô v hành vi t i u hóa

x cua bien ich loi

(1.39)

đ v i m i xi N u ràng bu c b dao đ ng đôi chút, thì không c n bi t chính xác xi

nào đ c thay đ i (th c ra, t t c các x i có th thay đ i), vì t i biên m i bi n đ u

h a h n cùng m t t s v l i ích-chi phí Khi đó, nhân t Lagrange cho ta m t

th c đo v vi c m t dao đ ng chung nh v y c a ràng bu c s tác đ ng t i giá tr

c a y nh th nào V b n ch t n đ nh m t “giá m ” đ i v i ràng bu c M t cao cho th y y t ng đáng k khi ràng bu c dao đ ng, vì m i xiđ u có m t t l l i ích-chi phí cao Ng c l i, m t th p cho th y y t ng r t ít khi ràng bu c dao

đ ng N u ràng bu c không liên k t chút nào, thì s có giá tr 0, khi đó ám ch

r ng ràng bu c không h n ch giá tr c a y Trong tr ng h p nh v y, tìm giá tr

c c đ i có đi u ki n c a y s đ ng nh t v i vi c tìm c c đ i không đi u ki n; giá

m c a ràng bu c này b ng 0 Di n gi i này v c ng đ c ch ra b ng vi c s

d ng đ nh lý bao nh mô t ph n sau c a ch ng này

i ng u

Ch đ này cho th y co m t m i liên h rõ ràng gi a bài toán c c đ i hóa

m t hàm có đi u ki n và bài toán n đ nh các giá tr cho ràng các ràng bu c i u này ph n ánh cái đ c g i là nguyên lý toán h c v “đ i ng u”: M i bài toán c c

đ i hóa có đi u ki n có liên quan v i nó là m t bài toán đ i ng u v c c ti u hóa

có đi u ki n t p trung chú ý vào các ràng bu c c a bài toán g c (ban đ u) Ví d ,

quay l i câu chuy n đ u tiên c a chúng ta các nhà kinh t gi thi t các cá nhân c c

đ i hóa l i ích c a h v i ràng bu c v ngân sách ây là bài toán ban đ u c a

ng i tiêu dùng Bài toán đ i ng u cho ng i tiêu dùng là c c ti u hóa chi tiêu c n thi t đ đ t đ c m t m c l i ích cho tr c Ho c, bài toán ban đ u c a m t hãng

có th là c c ti u hóa t ng chi phí c a các đ u vào đ c s d ng đ s n xu t m t

m c s n l ng cho tr c, khi đó bài toán đ i ng u là c c đ i hóa s n l ng v i

m t chi phí các đ u vào cho tr c đã đ c mua Nhi u ví d t ng t s đ c phát tri n trong các tài li u v kinh t vi mô M i ví d đ u ph n ánh m t đi u là luôn có hai cách nhìn nh n b t k bài toán t i u hóa có đi u ki n nào ôi khi t n công tr c di n m t tr c b ng cách phân tích bài toán ban đ u có th đ a đ n

nh ng nh n th c r t l n Nh ng có nh ng tình hu ng ti p c n “c a sau” b ng cách

ki m tra l i bài toán đ i ng u có th mang l i nhi u ki n th c h n Dù đi b ng con

đ ng nào, thì các k t qu nói chung là nh t quán, dù không ph i luôn luôn nh

v y, cho nên s l a ch n đ a ra ch y u là v n đ ti n l i

nh lý bao trong các bài toán c c đ i hóa có đi u ki n đ ng th c

nh lý bao đã bàn đ n tr c đây trong các bài toán c c đ i hóa không có

đi u ki n c ng có nh ng ng d ng quan tr ng trong các bài toán c c đ i hóa có

đi u ki n đây ta trình bày tóm t t đ nh lý này Nhi u ng d ng c a nó s xem xét sau này Gi s chúng ta mu n c c đ i hóa giá tr c a hàm

y = f(x1,x2, , xn; a) (1.40)

v i đi u ki n

g(x1,x2, , xn; a) = 0 (1.41)

trong đó có s ph thu c t ng minh c a các hàm f và g vào tham s a Nh đã

ch ra, có m t cách gi bài toán này b ng vi c thi t l p bi u th c Lagrange

đ c t i đi m t i u Do đó bi u th c Lagrange đóng m t vai trò gi ng nhau khi

áp d ng đ nh lý bao cho các bài toán có đi u ki n nh là khi làm v i các bài toán

ch có riêng hàm m c tiêu không có đi u ki n

1.5.2 T i u hóa có đi u ki n b t đ ng th c

Trong m t s bài toán kinh t không c n thi t gi cho chính xác Ví d ,

ràng bu c ngân sách c a m t ng i yêu c u anh hay ch ta không chi tiêu nhi u

h n m t l ng nh t đ nh trong m t giai đo n, nh ng ít nh t c ng có th tiêu ít h n

l ng đó Trong các ràng bu c b t đ ng th c c ng xu t hi n các giá tr ch p nh n

đ c c a m t s bi n trong các bài toán kinh t Ví d , th ng th ng các bi n kinh t ph i không âm (dù ràng chúng có th nh n giá tr b ng 0) Trong ph n này chúng ta s ch ra ph ng pháp Lagrange có th thích nghi th nào v i nh ng tình

hu ng nh v y

tránh nhi u ký hi u r c r i, chúng ta s khám phá các ràng bu c b t

đ ng th c cho tr ng h p đ n gi n liên quan t i hai bi n l a ch n K t qu đ a ra

d dàng t ng quát hóa đ c Gi s chúng ta tìm cách c c đ i hóa hàm y = f(x1,x2)

không nh t thi t duy trì chính xác (m t ng i không nh t thi t tiêu h t t t c thu

nh p c a anh ta) và v vi c các xi ph i không âm (nh trong h u h t các bài toán kinh t )

t i h n c a bi u th c này i u này c n đ n 8 đi u ki n b c nh t

Có 3 ph ng trình liên quan t i 3 h ng s a, b, và c cho ta nh ng nh n th c

quan tr ng v b n ch t các l i gi i c a nh ng bài toán có đi u ki n b t đ ng th c

Ví d , dòng th ba trong h ph ng trình (1.47) hàm ý r ng, trong l i gi i t i u

ho c 1 ho c a ph i b ng 0 Trong tr ng h p th hai (a=0), ràng bu c g(x1,x2) = 0

có hi u l c và giá tr 1 tính đ c ch ra t m quan tr ng có liên quan đ i v i hàm

m c tiêu f Ng c l i, n u a ≠ 0, thì 1 = 0 và đi u này ch ra r ng s s n có c a

bi n bù nào đó trong ràng bu c ám ch giá tr c a nó đ i v i hàm m c tiêu là b ng

0 Trong tr ng h p tiêu dùng, đi u này có ngh a là m t ng i không tiêu h t t t

c thu nh p c a anh ta, thì thu nh p th m chí có t ng thêm c ng không làm t ng

l i ích c a anh lên tí nào

Các m i quan h có tính bù t ng t c ng đúng cho các bi n l a ch n x1 và

x2 Ví d , dòng th t trong h ph ng trình (1.47) yêu c u l i gi i t i u có

ho c b ho c 2 b ng 0 N u 2 = 0, thì l i gi i t i u có x1 > 0, và bi n l a ch n này th a mãn đúng vi c ki m tra chi phí-l i ích đ f1 + 1g1 = 0 V i l a ch n khác, các l i gi i khi b=0 có x1 = 0, và c ng yêu c u 2 > 0 Nh v y, các l i gi i này không liên quan t i vi c s d ng x1 vì bi n này không th a mãn vi c ki m tra chi phí-l i ích đ c ch ra b i f1 + 1g1 < 0 K t qu đúng t ng t cho bi n l a

ch n x2

Các k t qu này, đôi khi đ c g i là các đi u ki n Kuhn –Tucker theo tên

ng i đã khám phá ra chúng, cho th y các l i gi i c a bài toán t i u hóa có đi u

ki n khác v i các bài toán t ng t có ràng bu c là đ ng th c v nh ng ph ng

di n t ng đ i đ n gi n Vì v y, chúng ta không th quá sai khi làm vi c tr c h t

v i các ràng bu c đ ng th c và có th gi thi t r ng chúng ta có th d a trên tr c giác đ kh ng đ nh nh ng gì s x y ra n u các bài toán th c t có ràng bu c b t

đ ng th c ó là cách ti p c n chung đ a ra trong nhi u tài li u kinh t v mô Các đi u ki n b c hai

Xét bài toán l a ch n x1 và x2đ c c đ i hóa

y = f(x1,x2) (1.48)

v i ràng bu c tuy n tính

c- b1x1 – b2x2 = 0 (1.49)

(trong đó c, b1, b2 là các tham s h ng s c a bài toán) Bài toán này là m t ki u

th ng g p trong kinh t vi mô và là m t tr ng h p đ c bi t c a các bài toán c c

tr có đi u ki n Bi u th c Lagrange là

ℑ= f(x1,x2) + (c – b1x1 –b2x2) (1.50) Các đ o hàm riêng theo x1, x2 và đi u ki n b c nh t cho k t qu :

Ph ng trình này cho th y nh ng thay đ i v x1 và x2 có liên quan đ c ch p nh n

đ xem xét các di chuy n kh i đi m t i h n ti p t c, ta c n s d ng các đi u

f

dx12 (1.57) Hay

d2y = (f11f22- 2f12f1f2 + f22f12) 2

2

2 1

ây là đ c tr ng cho các hàm t a lõm Nói cách khác, m t hàm t a lõm th a mãn

đi u ki n b c hai c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n

th y rõ m t hàm t a lõm luôn th a mãn đi u ki n (1.59) ta l y l i ví d phân trên: c c đ i hóa hàm y = f(x1, x2) = (x1.x2)k , trong đó các bi n x1, x2 ch nh n các giá tr d ng, và tham s k có th nh n các giá tr d ng khác nhau Dù k nh n giá

tr nào, thì hàm trên là t a l i nh đã ch ra đ u ch ng Hàm này có

m i k>0

i u ki n b c hai c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n th c ch t là đòi h i

ma tr n Hess g m các đ o hàm b c hai c a hàm Lagrange theo các bi n l a ch n

là n a xác đ nh âm; hay các đ nh th c con chính c a nó thay nhau đ i d u

Nh v y vi c ki m tra đi u ki n b c hai đ i v i ma tr n Hess xác đ nh

âm ch c n rút l i b ng vi c ki m tra d u c a các đ nh th c con chính c a nó i

v i đi u ki n b c 2 b t đ ng th c (1.59) c a bài toán c c đ i hóa có đi u ki n, ta

có cách th hai đ ki m tra b ng cách s d ng Ma tr n Hess có vi n sau

Gi s chúng ta mu n tìm các giá tr x1,x2 làm c c đ i hóa

y = f(x1,x2)

g(x1,x2) ≥ 0

(th c ra v i các bài toán c c đ i hóa, trong th c t th ng các đi u kiên ban đ u

c a nó th ng có d u “≤” , nh ng trên mô hình ta có đ i chuy n v và đ i d u đ

nh t quán v i các phân tích trên)

1 2 2

2 2

2 1

2 2 1

2

1 2

2 2

1

2 2 2

x x x x

x x x x

x x

λλ

λλ

ℑℑ

22 21 2

12 11 1

2 1

0

g g

g g

ma tr n cu i cùng đ c g i là ma tr n Hess có vi n Ta có th ki m tra l i ma tr n Hess có vi n này luôn có đ nh th c con chính c p 1 b ng 0 và đ nh th c con chính

c p 2 là âm, nên nó ch xác đ nh âm khi đ nh con chính c p 3 đ i d u, t c là

d ng, v i các bi n l a ch n đã th a mãn đi u ki n c p 1 đ nh th c con chính

c p 3 c a ma tr n này d ng, b n đ c có th t ki m tra l i nó t ng đ ng v i

đi u ki n c p 2 (1.59)

T ng t , ma tr n Hess có vi n (v i bài toán c c ti u hóa có đi u ki n) ch xác

đ nh d ng khi đ nh th c con chính c p 3 là âm v i các bi n l a ch n đã th a mãn

đi u ki n c p 1

K t qu này có th t ng quát hóa cho tr ng h p n bi n l a ch n x1,x2 , ,xn

Ch ng h n, v i tr ng h p có 4 bi n l a ch n, khi đó ma trân Hess có vi n có

41

4

34 33 32

31

3

24 23 22

21

2

14 13

12

11

1

4 3 2

1

0

f f

f

f

g

f f

f

f

g

f f

f

f

g

f f

f

f

g

g g

3

23 22

21

2

13 12

11

1

3 2 1

0

f f

f

g

f f

f

g

f f

f

g

g g

41

4

34 33 32

31

3

24 23 22

21

2

14 13 12

11

1

4 3 2 1

0

f f f

f

g

f f f

f

g

f f f

f

g

f f f

f

g

g g g

g

> 0

1.5.3 nh lý Kuhn-Tucker

T các k t qu trên ta có th t ng quát hóa bài toán c c đ i hóa đi u ki n

thông qua đ nh lý Kuhn-Tucker sau đây

i i

i g x x x

∑

=

λ

nh lý Kuhn-Tucker phát bi u nh sau: đi u ki n c n và đ đ m t ph ng án

Bài t p

Bài 1 Gi s t ng doanh thu c a m t hãng ph thu c vào s n l ng đ c s n xu t

Q là hàm TR = 70Q – Q2; t ng chi phí c ng ph thu c vào Q là hàm

Bài 2 Cho công ngh s n xu t c a m t hãng là hàm Q = K1/2L2/3

Hãy ch ng t hàm này không ph i là hàm lõm, nh ng là m l i là m t hàm t a lõm

Bài 3 M t doanh nghi p thuê v n K (theo gi ) và lao đ ng L (theo đ s n) m t

s n l ng nh t đ nh Q c a m t lo i s n ph m Công ngh doanh nghi p này s

Tìm ma tr n Hess có vi n c a bài toán

Ch ng t r ng các đ nh th c con chính c a ma tr n Hess có vi n này th a đi u

ki n c p 2 cho l i gi t i u c a bài toán

2.1 Công ngh và hàm s n xu t

Khái ni m công ngh có th hi u khái quát là s h i t ki n th c c a xã h i vào nh ng k x o c a ho t đ ng c a s n xu t Khi ti n hành s n xu t các hãng

ph i d a vào m t công ngh nh t đ nh nh thông qua máy móc thi t b và bi n các

đ u vào khác nh lao đ ng và nguyên li u thành các s n ph m M t công nghê c

th đ nh ra gi i h n v s l ng , ch t l ng và ki u dáng s n ph m đ c s n xu t

ra t nh ng ngu n l c cho tr c Do đánh giá ch t l ng và ki u dáng là ph c t p

và khó l ng hóa, nên các nhà kinh t t p trung nghiên c u v m t s n l ng H

th ng s d ng m t hàm s n xu t đ mô t quan h gi a các đ u vào và đ u ra Khi đó ràng bu c công ngh đ i v i hãng là nh ng gi i h n v l ng đ u ra t các

l ng đ u vào cho tr c Hàm s n xu t cho bi t m c s n l ng Q mà hãng có th

s n xu t đ c t m t t h p đ u vào nh t đ nh trong m t kho ng th i gian nào đó

đ n gi n hóa ng i ta s d ng hàm s n xu t có d ng Q = f(K, L) v i hai đ u vào v n (hay máy móc) K và lao đ ng L Nh v y, m i hàm s n xu t Q = f(K, L)

Ba hàm s n xu t sau là nh ng nh ng h p đ c bi t c a hàm CES tùy thu c

vào giá tr c a tham s trong ph n sau chúng ta s ch ra đi u này ti n

T su t thay th k thu t biên (TRS) cho bi t m t đ n v lao đ ng thay th đ c bao nhiêu đ n v v n trong khi v n gi a cho m c s n l ng không đ i d c theo

đ ng đang s d ng Giá tr c a nó ph thu c vào đi m n m trên đ ng đ ng l ng

MPL.dL = - MPK.dK (2.4)

i u này nói lên r ng, d c theo m t đ ng đ ng l ng s n l ng thu đ c t vi c

t ng L lên m t chút đ c cân b ng đúng v i l ng m t đi v s n l ng do gi m K thích h p Vi t l i bi u th c này, ta có

MP

(2.5)

Nh v y TRS cho bi t t s gi a các n ng su t biên c a các đ u vào

Ph ng trình (2.5) cho th y, các đ ng đ ng l ng này mà chúng ta quan

sát th c t ph i có đ d c âm Do c hai MPL và MPK là không âm (không hãng nào l a ch n vi c s d ng m t đ u vào t n kém h n mà gi m s n l ng), nên

Q=20 Q=30

Q=10

LA LB L m i giai đo n

A

B

l ng gi cho không đ i Gi thi t có v có m i quan h nào đó v i gi thi t v

n ng su t biên gi m d n Vi c s d ng ph ng trình (2.5) thi u cân nh c có th

d n t i k t lu n cho r ng t ng L đ ng th i gi m K s d n t i t ng MPK, gi m MPL

và do đó làm gi m TRS V n đ n m ch n ng su t biên c a m t đ u vào ph

thu c vào m c s d ng c a c hai đ u vào – s thay đ i L tác đ ng t i MPK và

ng c l i Nói chung không th đ a ra TRS gi m d n t riêng gi thi t v n ng

)]

/ (

) / (

[

K

KK KL L LK

LL K

f

dL dK f f f dL dK f f

)(

]2

[

K

KK L KL L K LL K

f

f f f f f f

f − + (2.8)

Do chúng ta gi s fK > 0, nên m u s c a bi u th c này d ng Do đó, bi u th c này âm n u t s âm Vì fLL và fKK đ u âm, nên t s khi fKL d ng N u chúng ta

có th gi thi t đi u này thì dTRS/dL < 0 (t c các đ ng đ ng l ng là l i)

2.3 Các hàm thu n nh t, hàm v t

2.3.1 Hàm thu n nh t

Nhi u hàm s xu t hi n t nhiên trong lý thuy t kinh t có thêm nh ng tính

ch t toán h c M t l p các tính ch t đ c bi t quan tr ng có liên quan t i vi c hành

vi c a các hàm s th nào khi tât c (hay h u h t) các bi n c a chúng cùng t ng lên

m t t l Nh ng tình hu ng nh v y xu t hi n khi chúng ta đ t ra các câu h i nh

đi u gì s x y ra n u t t c các giá cùng t ng lên 10% hay s n l ng c a m t hãng

s thay đ i th nào n u nó s d ng t t c các đ u vào t ng lên g p đôi T duy v

nh ng c u h i này s đ a đ n m t cách t nhiên khia ni m các hàm thu n nh t C

x

x x

Ph ng trình này đ c g i là đ nh lý Euler cho các hàm thu n nh t Nó cho bi t

v i m t hàm thu n nh t có m t m i quan h xác đ nh gi a giá tr c a hàm s này

v i các giá tr c a các đ o hàm riêng c a chúng

Tuy nhiên, do phép chuy n đ n đi u có nhi u d ng, nên nó không duy trì

đ c nhi u m i quan h toán h c chính xác ch ng h n nh m i quan h có trong các hàm thu n nh t Ví d , xét hàm f(x, y) = x.y Rõ ràng đây là hàm thu n nh t

b c 2 – khi g p đôi các bi n c a nó thì giá tr c a hàm t ng lên 4 l n (= 22

) Nh ng qua phép chuy n đ n đi u F đ n gi n c ng thêm 1 vào f; t c là F(f) = f + 1 = x.y +

1, thì không còn là thu n nh t n a Do đó, tr m t s tr ng h p đ c bi t các hàm

v t nói chung không còn s h u các tính ch t thu n nh t c a hàm c s ban đ u Tuy v y, các hàm v t l i duy trì m t đ c đi m r t hay c a các hàm thu n nh t Tính ch t này là s đánh đ i ng m gi a các bi n trong m t hàm ch ph thu c vào

t s gi a các bi n đó, mà không ph thu c vào các giá tr tuy t đ i c a chúng Ta minh h a đi u này b ng m t hàm n 2 bi n f(x,y) = 0

L y vi phân toàn ph n ta có 0 = fx dx + fydy, suy ra

) , (

1 1

ty tx f t

ty tx f t y k x k

−

−

= -

),(

),(

ty tx f

ty tx f y

)1,(

y

x f y

x f

y

x

(2.13)

nó cho th y s đánh đ i ch ph thu c vào t l gi a x và y N u ta s d ng b t c

m t phép chuy n đ n đi u F nào (v i F’>0) v i hàm thu n nh t ban đ u f, thì ta có

)1,('

x f F y

x f

F x

= -

)1,(

)1,(

x f y

x

f x

(2.14)

i u này cho th y s đánh đ i không b nh h ng qua phép chuy n đ n

đi u và nó v n gi m t hàm ch theo t l gi a x và y

đôi khi đi u quan tr ng là bi t đ c m i quan h chính xác b ng con s gi a các

S phân bi t này đ c minh h a qua ví du sau Chúng ta đã nghiên c u

phép chuy n đ n đi u c a hàm s

f(x1, x2) = (x1.x2)k (2.15)

b ng vi c xem xét các giá tr khác nhau c a k Ta đã ch ra tính ch t t a l i (m t tính ch t theo th t ) đ c duy trì v i m i giá tr c a k Do đó, khi ti p c n nh ng bài toán t p trung vào c c đ i hóa hay c c ti u hóa m t hàm nh v y có các ràng

bu c tuy n tính chúng ta không c n lo l ng v s chính xác xem phép chuy n nào

đ c s d ng Ng c l i, hàm s trong ph ng trình (2.15) ch lõm (m t tính ch t theo s l ng) trong m t kho ng r t h p các giá tr c a k Nhi u phép chuy n đ n

Nh v y, m c đ thu n nh t c a hàm này ph thu c vào k – t c là, m c đ thu n

nh t không đ c duy trì đ c l p v i vi c phép chuy n đ n đi u nào đ c s d ng

−

−

k k

k k x kx

x kx

b ng các đ n v khác nhau Ví d , chúng ta có th đo l ng đ u ra c a m t qui trình.hóa h c b ng pint hay quart (1 pin = 0,5 quart = 0,473 lít) Vi c thay đ i t

m t đ n v này sang m t đ n v khác trong tr ng h p này là hoàn toàn đ n gi n – chúng ta ch vi c nhân ho c chia cho 2 M t phép chuy n đ n đi u k c c h n là

ng i ta đo l ng đ u ra b ng m t thùng g m nhi u quart Trên c s di n gi i này, m t công ngh v t là m t công ngh có m t s cách đo đ u ra sao cho công ngh „gi ng nh “ có hi u qu không đ i theo qui mô

Hình 2.2 Các hàm s n xu t thu n nh t và v t

Trong ph n A, mô t m t hàm thu n nh t b c 1 N u x và x’ đ u có th s n xu t y

đ n v s n l ng, thì 2x và 2x’ có th s n xu t 2y đ n v s n l ng Trong ph n B,

mô t m t hàm v t N u x và x’ s n xu t cùng m t m c s n l ng y, thì 2x và 2x’ có th s n xu t cùng m c s n l ng nh ng không nh t thi t b ng 2y

Các hàm thu n nh t và v t r t đ c quan tâm do cách th c đ n gi n mà

các đ ng đ ng l ng c a chúng thay đ i khi m c s n l ng thay đ i Trong

m c s n l ng liên quan t i các đ ng đ ng l ng là khác nhau

Các công ngh thu n nh t và v t r t đ c quan tâm vì chúng đ t ra các

h n ch c th v t l thay th k thu t thay đ i nh th nào khi qui mô s n xu t thay đ i C th , v i c hai hàm này t l thay th k thu t là đ c l p v i qui mô

2.4 Hi u qu theo qui mô

2.4.1 Phân lo i hi u qu theo qui mô

M t trong nh ng câu h i đ u tiên v đ c tr ng c a các hàm s n xu t là s n

l ng thay đ i nh th nào n u cùng t ng t t c các đ u vào lên Ví d , gi s t t

c các đ u vào đ u đ c t ng g p đôi: Li u s n l ng có t ng lên g p đôi hay m i quan h này không hoàn toàn đ n gi n nh v y? ây là m t câu h i v hi u qu theo qui mô đ c th hi n b i hàm s n xu t mà r t đ c các nhà kinh t quan tâm

mà ngayAdam Smith đã nghiên c u r t nhi u v s n xu t đinh ghim Smith nh n

ra hai l c tác đ ng đ a vào v n hành khi ti n hành thí nghi m t ng g p đôi t t c các đ u vào Th nh t, vi c t ng g p đôi qui mô cho phép phân công lao đ ng và chuyên môn hóa s n xu t cao h n Do đó, có m t suy đoán r ng hi u qu có th

t ng lên – s n l ng t ng h n g p hai Th hai, vi c t ng g p đôi tât c các đ u vào c ng ch u m t đi hi u qu nh t đ nh vì vi c giám sát qu n lý hãng có qui mô

l n h n tr nên có nhi u khó kh n h n Cái nào trong hai xu h ng này có nh

h ng l n h n là m t câu h i th c nghi m quan tr ng

N u hàm s n xu t đ c cho b i Q = f(K, L) và t t c các đ u vào đ u đ c nhân v i cùng m t hàng s d ng t (trong đó t> 1), thì chúng ta có th phân lo i

hi u qu theo qui mô c a hàm s n xu t nh sau

N u s n l ng t ng lên ít h n t l đó, thì hàm s n xu t th hi n hi u qu theo qui

mô gi m Và n u s n l ng t ng lên nhi u h n t l đó, thì hàm s n xu t th hi n

hi u qu theo qui mô t ng Nh chúng ta s th y, v lý thuy t có kh n ng m t hàm s n xu t th hi n hi u qu theo qui mô không đ i v i m t s m c s d ng

đ u vào nào đó và hi u qu theo qui mô t ng ho c gi m v i nh ng m c đ u vào khác Tuy nhiên, các nhà kinh t bàn đ n m c đ hi u qu theo qui mô c a m t hàm s n xu t v i m t n ý là ch trong m t kho ng dao đ ng t ng đ i h p c a

vi c s d ng đ u vào và xem xét m c s n l ng có liên quan

2.4.2 Hi u qu theo qui mô không đ i

Có m t s lý do kinh t t i sao hàm s n xu t c a m t hãng có th th hi n

hi u qu theo qui mô không đ i N u hãng v n hành nhi u nhà máy nh nhau, thì

nó có th t ng ho c gi m s n xu t đ n gi n b ng vi c thay đ i s nhà máy đang

v n hành T c là, hãng có th t ng g p đôi s n l ng b ng cách t ng g p đôi s nhà máy v n hành, và vi c đó đòi h i s d ng đúng g p đôi các đ u vào M t cách khác, n u ng i ta mu n mô hình hóa hành vi c a toàn b m t ngành g m nhi u hãng, thì gi thi t hi u qu theo qui mô không đ i là có ý ngh a vì ngành này có

th m r ng ho c thu h p b ng cách thêm vào ho c b t đi m t s hãng gi ng nhau tùy ý Cu i cùng, m t s nghiên c u v toàn b n n kinh t M đã th y r ng hi u

qu theo qui mô không đ i là m t x p x t ng đ i t t đ s d ng m t hàm s n

xu t „g p“ V i t t c nh ng lý do đó, tr ng h p hi u qu theo qui mô không đ i

d ng nh r t đáng đ xem xét chi ti t h n

Khi m t hàm s n xu t th hi n hi u qu theo qui mô không đ i, thì nó th a mãn đ nh ngh a v „tính thu n nh t“ T c là, hàm s n xu t này là thu n nh t b c 1 theo các đ u vào c a nó vì

f(tK, tL) = t1f(K, L) = tQ (2.18)

Trong m c trên ta đã ch ra n u m t hàm thu n nh t b c k, thì đ o hàm c a

nó là thu n nh t b c k-1 Trong đi u ki n đó đi u này ám ch r ng các hàm n ng

su t biên suy ra t hàm s n xu t có hi u qu theo qui mô không đ i là thu n nh t

b c 0 T c là,

MPK =

K

L K

K f

∂

∂ ( ,1)

(2.20)

T c là, n ng su t c a m i đ u vào ch ph thu c vào t s gi a v n và lao đ ng,

mà không ph thu c vào giá tr tuy t đ i c a nh ng đ u vào này i u này đ c

bi t quan tr ng, ví d khi gi i thích s khác nhau v n ng su t gi a các ngành

ho c gi a các n c

2.5.1 Khái ni m đ co giãn thay th

này cho m t đ u vào khác „d dàng“ nh th nào ây là m t câu h i v hình d ng

c a riêng m t đ ng đ ng l ng ch không ph i v c h các đ ng đ ng l ng

D c theo m t đ ng đ ng l ng t su t thay th k thu t s gi m d n khi t l

v n/lao đ ng gi m (t c là khi K/L gi m); bây gi chúng ta mu n xác đ nh m t tham s nào đó đo l ng m c đ ph n ng này N u TRS không thay đ i v i m i thay đ i v K/L, ta nói s thay th này là d dàng, vì t l các n ng su t biên c a hai đ u vào không thay đ i khi thay đ i h n h p đ u vào M t kh n ng khác, n u TRS thay đ i nhanh v i nh ng thay đ i nh v K/L, thì ta nói s thay th này là

r t khó kh n, vì bi n thiên r t nh v h n h p đ u vào s có nh h ng l n đ n các n ng su t t ng đ i c a các đ u vào M t th c đo v ph n ng này không

ph thu c vào qui mô đ c đ a ra b i b ng khái ni m đ co giãn thay th Bây

gi chúng ta đ nh ngh a chính th c khái ni m này

Cho hàm s n xu t Q = f(K, L) đ co giãn thay th ( ) đo l ng t l thay

đ i v K/L so v i t l thay đ i v TRS d c theo m t đ ng đ ng l ng T c là, =

d( / )

L K

TRS

/ =

TRS

L K

ln

)/ln(

∂

∂

=

)/ln(

)/ln(

K

L f f

L K

đ n đ l n t ng đ i c a nh ng thay đ i này N u cao, thì TRS không thay đ i nhi u so v i K/L, và đ ng đ ng l ng t ng đ i ph ng Ng c l i, m t giá tr

th p hàm ý r ng đ ng đ ng l ng b cong t ng đ i d c; TRS thay đ i t ng đ i

l n so v i s thay đ i c a K/L Nói chung, kh n ng đ đ co giãn thay th bi n

đ i khi ng i ta di chuy n d c theo m t đ ng đ ng l ng và khi qui mô s n xu t thay đ i Tuy nhiên, th ng th ng r t thu n tiên khi gi thi t r ng là không thay đ i d c theo m t đ ng đ ng l ng N u hàm s n xu t là v t khi đó do t t

c các đ ng đ ng l ng là thu n túy b th i ra phía ngoài, nên s nh nhau trên

t t c các đ ng đ ng l ng Sau này trong r t nhi u v n đ chúng ta s g p ph i

nh ng hàm nh v y

Hình 2.3 Mô t b ng đ th đ co giãn thay th

Khi di chuy n t đi m A t i đi m B trên đ ng đ ng l ng Q = Q0, c t l

v n/lao đ ng (K/L) và TRS đ u thay đ i co giãn thay th ( ) đ c đ nh ngh a

là t s gi a các t l thay đ i này Nó là m t th c đo v đ ng đ ng l ng đ c

2.5.2 Hàm s n xu t c b n

Trong m c này chúng ta minh h a b n hàm s n xu t c b n, m i hàm đ c

đ c tr ng b i m t đ co giãn khác nhau Các hàm này đ c th hi n ch v i hai

đ u vào, tuy nhiên vi c t ng quát hóa cho nhi u đ u vào c ng đ c th c hi n d dàng

T t c các đ ng đ ng l ng c a hàm này là nh ng đ ng th ng song song v i đ

d c b ng –b/a M t h các đ ng đ ng l ng nh v y đ c minh h a trong hình 2.4 Do d c theo m i đ ng đ ng l ng là đ ng th ng thì TRS là h ng s , nên

m u s trong đ nh ngh a (bi u th c 2.21) b ng 0, và do đó là vô cùng M c dù hàm s n xu t tuy n tính này là m t ví d h u ích, nh ng nó r t ki m khi g p trong

m c s n l ng đ c s n xu t ra v i l ng đ u vào ít h n khi di chuy n d c theo

đ ng đ ng l ng h ng t i đi m góc Do K/L là không đ i nên d dàng th y

đ ng.là ràng bu c k t h p v i s n l ng và v n t ng thêm là th a Khi aK = bL, thì c hai đ u vào đ c s d ng h t Khi đi u này x y ra thì K/L = b/a, và s n xu t

đ c ti n hành t i đi m góc trên h các đ ng đ ng l ng N u c hai đ u vào là

đ t ti n, thì đây là cách v n hành duy nh t c c ti u hóa chi phí Qu tích c a t t c

nh ng đi m góc nh v y là m t đ ng th ng đi qua g c t a đ v i đ d c b ng b/a

Hàm s n xu t có t l các đ u vào c đ nh có m t pham vi ng d ng r t

r ng Ví d , r t nhi u máy móc đòi h i m t s ng i nh t đ nh đ v n hành chúng,

nh ng n u b t c lao đ ng nào t ng thêm đ u là th a Hãy xét vi c k t h p v n (m t máy c t c ) v i lao đ ng đ v n hành m t máy này Ch c n m t ng i đ

v n hành m t máy c t c , và c hai đ u vào này n u thi u m t th thì không th

t o ra m t s n l ng nào Và có th có nhi u máy ki u này, và đòi h i b sung

m t s lao đ ng c đ nh cho m i máy