16 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12

4 điểm Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn O và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC.. 4 điểm Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn O và M là một điểm thay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009

Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài : 180 phút

( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1 ( 3 điểm )

Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình

có một nghiệm nguyên

Bài 2 ( 3 điểm )

Giả sử p, q, x , y là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

pcot 2 x + qcot 2 y = 1 , pcos 2 x + qcos 2 y = 1 , p sinx = q siny

Cho tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và

CA Giả sử tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N, tia phân giác của góc BDC cắt BC tại M Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt BC tại Q Chứng minh rằng CD = PQ

Bài 6 ( 4 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB Gọi H

và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác NAB

a) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC tại E

Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của HK

b) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác NAB khi M lưu động trên cung nhỏ BC

- HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009

Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài : 180 phút

( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1 ( 3 điểm )

Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình

có một nghiệm nguyên

Bài 2 ( 3 điểm )

Giả sử p, q, x , y là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

pcot 2 x + qcot 2 y = 1 , pcos 2 x + qcos 2 y = 1 , p sinx = q siny

Cho tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và

CA Giả sử tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N, tia phân giác của góc BDC cắt BC tại M Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt BC tại Q Chứng minh rằng CD = PQ

Bài 6 ( 4 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB Gọi H

và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác NAB

a) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC tại E

Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của HK

b) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác NAB khi M lưu động trên cung nhỏ BC

Tỉnh An Giang

Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL

Môn: Toán (Đề nghị)

a BC b; A C c; A B R; là bán kính đường tròn ngoại tiếp A BC

ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẢNG A TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2008-2009

Huỳnh Kim Linh Sưu tầm và giới thiệu

Tìm số mũ lớn nhất của 2 trong khai triển NEWTON của số h(1 + √

3)2008i, trong đó kí hiệu số [a]

là phần nguyên của số a.

——— HẾT ———

Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

-

-

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 1

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA CHỌN

a) Một trường học có 20 học sinh xuất sắc, trong đó có 5

cặp sinh đôi Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự

trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào Hỏi có

Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam

giác đó tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các

điểm D, E, F Đường phân giác trong của góc ·BIC cắt cạnh

BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF tại điểm P

a) Chứng minh rằng DP là phân giác của góc EDF·

4

DP DE DFEF

Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

-

-

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 3

Cho tứ diện SABC với SAa SB, b SC, c Một mặt phẳng

thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA,

SB, SC lần lượt tại các điểm D, E, F

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ

tự đó Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O Chứng minh OQ vuông BC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 1

Thời gian làm bài: 180 phút





 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M

  Từ đó suy ra trong mọi tam

giác nhọn ABC ta có tan tan tan sin sin sin 9 3

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,

D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

d) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho MAN 450

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)





 với m là tham số Chứng minh rằng m0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d y: 3x3m tại 2 điểm phân biệt A B, Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại C D, sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD

2 Cho hàm số

21

x y x



 có đồ thị (C) Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình sau trên tập số thực: 15 5x x 5x127x23

2 Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2 22 1 2

30

SAC  Tính thể tích khối tứ diện theo a

2 Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn

1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1

24

Ngày thi: 07/01/2010

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ BÀI

Câu 1: (6 điểm)

1 Cho phương trình: 21 2sin x3.21 sin x m4 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 0

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình:

cos sin sin 2cos 3 0

x t y t  t  t  (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC 120 Gọi M là trung điểm của CC1 Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM)

-Hết -

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

4x + 3g(x) =

x +1

Bài 2 (5,0 điểm)

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

1/ cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 02 

2/ x42x + x3  2(x2x) = 0

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương)

và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C

-e) Thí sinh không được sử dụng tài liệu

f) Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh……… ……… Số báo danh………

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011

và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất

BAC  60 , CAD  120 Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông

 JgK7

S GD & T BÌNH PH C KÌ THI CH N H C SINH GI I VÒNG T NH L P 12

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 12

NĂM HỌC 2005 - 2006 (Thời gian làm bài 180 phút)

c m

b m

a

Chứng minh rằng:

Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1)

3 ( sin ) 2

4 4

) 2 cos 2

(cos 2

1 ) 3 cos 3

(cos 3



 x x x

Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006 6

2 6 21

24

x x

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

1) Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0 Chứng minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng

3

4

là một Hypebol Hãy viết phương trình của Hypebol đó

2) Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng

d Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Bài 5: (3 điểm)

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi K là trung điểm của

SC Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N Gọi V1, V thứ tự

là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số

V

V1

Sở giáo dục và đào tạo hà tĩnh

Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi quốc gia

Năm học 2009  2010 Môn Toán lớp 12 (vòng 1)

Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 Giải phương trình:

9xx

720

x4    3  4 

Bài 2 Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

z3yx

z8z

yx2

z3yz2yx

x4

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC M, N là trung điểm các cạnh AB, AC; H là hình

chiếu của A trên BC Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHN và CHMcắt nhau tại một điểm K khác H Chứng minh rằng đường thẳng HK điqua trung điểm của MN

Bài 4 Cho đa thức P(x) = x2 axb với a, b  R Tìm tất cả các đa thức Q(x)

bậc 4, hệ số thực, hệ số bậc cao nhất bằng 1 thoả mãn P(Q(x)) = Q(P(x))với mọi x R

Bài 5 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi chia tập A = {1, 2, …, n} thành 4

tập con rời nhau thì luôn tồn tại 3 số thuộc cùng một tập là độ dài cáccạnh của một tam giác

Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu II: (2 điểm )

log log

y x

4 ) (

4 ) (

4

x

z z

y y

x x

z z

y y

x P

CÂU IV: (2 điểm)

1) Cho tam giỏc ABC, biết C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A

trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC.

2) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, cạnh huyền BC = a,

B  Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp nghiờng đều trờn đỏy một gúc 600 Chõn đường cao của hỡnh chúp kẻ từ S ở miền trong của tam giỏc ABC Tớnh thể tớch khối chúp.

HỌ TÊN NGƯỜI TỔ HỢP

Phạm Thu Thủy

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN – KHỐI 12 (4 trang)

 ( 2 , ( 2 ) Xét ( ') :y  p.xqB i  (  ' ) đpcm

1.0 0.25

0.25 0.25

t

x t

Tương tự : 4 ( y3 + z3 ) > ( y + z)3 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi y = z

4 ( z3 + x3 ) > ( z + x)3 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi z = x 0,25

mỡnh

0,25

d2 C(1;-1)

I K

H

+ Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC).

H,I,K lần lượt là hình chiếu của O trên AB, AC, BC.

60

SHO SIO SKO

0,25

x+y+z+t=200 (1) ( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) (1) trỏ thành a   b c d 124 (*)

( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) thì a,b,c,d dương

số cách chia quà là số nghiệm nguyên dương của phương trình (*)

+)Đặt 276 dấu chấm theo hàng ngang tạo đươc 275 khoảng trống

.Đặt 3 que tính vào ba khoảng trống bất kỳ (phần dấu chấm đầu tiên

gán cho a phần dấu chấm thứ hai gán cho b.phần dấu chấm thứ ba

gán cho c phần dấu chấm thứ tư gán cho d) như vậy ta có một

nghiệm nguyên.

d c

0 20

3 1 20 2 1 20

0 20

20 3 1 2 1 20

3

2

2 2

1 2

k k k

k

k k

k k

x

x x

x x x

0.25 0.25

0.25 0.25

SỞ GD -ĐT VĨNH LONG ĐỀ THAM KHẢO THI HS GIỎI

TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG MÔN : TOÁN 12

BÀI III : (2 ĐIỂM)

Gọi R và r là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp 2008 giác đều

ở đó tổng  chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các số hạng khác nhau có thể được

để lấy dấu (+) hay (-) trước các số u1, u2, … , u2008

-