Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A B, sao cho AB 2I
Trang 1Trường THPT Nguyễn Duy Thì
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: 2 3
2
x y x
(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A B, sao cho AB 2IB, với I(2,2)
Câu 2 (2 điểm):
1 Giải hệ phương trình:
2
2
x y
2 Giải phương trình: sin 2 3tan 2 sin 4
2.
tan 2 sin 2
Câu 3(1 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 4 0 Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x4y23 0 Tìm tọa độ của B và C, biết điểm B
có hoành độ dương
Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600
1 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a
Câu 5(1 điểm) : Cho a b c, , là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
P
Trang 2Trường THPT Nguyễn Duy Thì
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
1
2
x y x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
1,5
TXĐ: D R \ 2
x
y
phương trình đường TCN: y = 2
phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
/
2
1 0 2
x
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Hàm số không có cực trị
0,25
Bảng biến thiên:
x y
’y
∞
+∞
2
2
0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
Đồ thị:
0,5
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho
1,5
Trang 3AB IB, với I(2;2).
0
2
x
x
PTTT của (C) tại M:
2
1
0,55
Do AB 2IB và tam giác AIB vuông tại I IA = IB nên hệ số góc
của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1 vì
/
2
1 0 2
y x
nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1
0,5
0 0
1 1
1
3 1
x x x
0,25
có hai phương trình tiếp tuyến:
2
y ;x y x 6
0,25
2
, 2
x y
x y
x y x y x y
1,0
Đk:
1 2 1 2
x y
0,25
2 4 0 ( )
x y
0,25
4
2
x y xy
2 2
2
4
2
xy
0,25
Hệ đã cho tương đương:
1
4
xy
0,25
Trang 4Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 3; , 3; 1
2 2 2 2
2
2 tan2 sin2
1
Đk: cos 2 0
tan 2 sin 2 0
x
0,25
Pt tương đương:
3 sin 2x tan 2x sin 4x 0
3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0
cos 2 1 sin 2 sin 4 0
0,25
2 cos 2 1
cos 2 1 0
sin 2 0
1 cos 2
x x
0,25
Nghiệm
3
thỏa mãn (*) Phương trình có 2 họ nghiệm:
3
x k
0,25
có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình:
4 0
x y Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có
phương trình: 3x4y23 0 Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B
có hoành độ dương.
1,0
Gọi C c c ; , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d4 d1 2:
3x – 4y – 23 = 0
Ta có AIM đồng dạng CID
10 10
0,25
Mà I d 2 nên ta có: 3 10 4 10 23 0 1
c
Vậy C(1;5)
0,25
Ta có: 2 ;3 23 2 5;3 9
M d M t B t
0,25
Do 0 4 5 3 13 5 3 19 0 129
4
5
t
t
Trang 5( 3; 3) ( )
33 21
;
33 21
5 5
B B
SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc
giữa mặt phẳng ( SCD và mặt phẳng đáy bằng) 60 0
1 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
1,0
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có:
3 2
a
SH
0,25
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là SMH 600 0,25
tan 60 2
.
3 2 2 12
S ABCD
V
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
đường thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I trong
(SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K
Khi đó: dBD SA, dI S d,( , ) 2dH S d,( , ) 2dH SBD,( ) 2HK
0,25
10
IH
Xét SHI vuông tại H, ta có: 1 2 12 12 3
8
a HK
Vậy , 3
4
BD SA
a
0,5
5 Cho a b c là ba số duơng Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:, , 1,0
Trang 6
1
P
a b c
0,25
Vậy
P
=
2 54
( )
2 f t
với t a b c 1 (t 1)
0,25
4 2
4
2 162
1( ) 2
t
t loai
f’(t)
f(t)
0
-1/4
Vậy giá trị lớn nhất của 1
4
P khi
3
1 1
a b c
c
0,25