Phân giác trong góc A cắt đường thẳng BC tại D.. Tính độ dài AD?. b Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ hộp.. Tính xác suất để các số trên ba tấm th
Trang 1
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
Tổ : Toán MÔN: TOÁN KHỐI 12
Thời gian 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
Đề :
Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau :
a) 2 2x 2x 5 2x2x 1 =x+2 b) 2x2 4x4 = x 1 + 3 x
Câu 2: (3 điểm) Cho hàm số y= x 2
x 1
, đồ thị (C) và đường thẳng (dm): y=mx3
( với m ≠0 và m là tham số )
a) Chứng minh đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm các giá trị của m để độ dài đoạn AB = 17
Câu 3: ( 4 điểm)
a) Cho tam giác ABC có góc BAC=600, AB=3, AC=4 Phân giác trong góc A cắt đường thẳng BC tại D Tính độ dài AD ?
b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm BC, M(3;1) ; H là hình chiếu của A lên BD, H(1
5;
3
5); N là trung điểm của DH, đường thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 Tìm tọa độ các điểm A và D
Câu 4: (4 điểm)
a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 3 2)cos2x= sin2x + 3 b) Trong một hộp chứa 20 tấm thẻ, được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ hộp Tính xác suất để các số trên ba tấm thẻ lấy được có tổng là một số chia hết cho 3
Câu 5: ( 3 điểm)
a) Giải phương trình : x= 2 x 3 x + 3 x 6 x + 6 x 2 x
b) Giải hệ phương trình :
Câu 6: ( 2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn : 1
ab+
1
bc+
1
ca=
3
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
2
2
4b
+ 2
2
4c
+ 2
2
4a
Trang 2
Hướng dẫn đáp án :
2x 2x 5 2x2x 1 =x+2
4 điểm
Đk : 2x2 +x1 ≥ 0 <=> x ≤ 1 x ≥ 1
2 Đặt a= 2x2 2x ; b=5 2x2x 1 với a, b ≥ 0
0,5
Đề bài : ab =x+2
Ta có : a2 b2 = 3(x+2) <=> (ab)(a+b)=3(x+2) <=> (x+2)(a+b) =3(x+2)
<=> x 2 0
0,5
TH2: a+b=3 , và ab =x+2 => 2a= x+5 hay 2 2x2 2x =x+5 5
<=> x 25 0 2
4(2x 2x 5) x 10x 25
<=> x 25
<=>
x 5
5
7
0,5
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;1;5
7} b) 2x2 4x4 = x 1 + 3 x
Phương trình : 2(x2 +2x) 4 = x 1 + 3 x
Đk : 1 ≤ x ≤ 3 ; Đặt t= x 1 + 3 x , t ≥ 0
0,5
=> t2 =4+2 x22x => 3 x22x =3
2
2
Suy ra : t2 4 ≥ 0 => t ≥2 ; và x2 +2x+3= 2
4
<=> x2 +2x =
4
0,5
Khi đó phương trình trở thành :
2
4
4 =t <=> t4 8t2 +2t+12=0
<=> (t2)(t3 +2t2 4t6) =0 <=> t2=0 <=> t=2
Vì t3 +2t2 4t6 = t3 8 +2t(t2) +2 ≥ 2 với t ≥2
0,5
Khi t= 2 => x2 2x =0 <=> x=1 x=3 3 0,5
Câu 2:
Cho hàm số y= x 2
x 1
, đồ thị (C) và đường thẳng (dm): y=mx3
( với m ≠0 và m là tham số )
a)Chứng minh đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm các giá trị của m để độ dài đoạn AB = 17
(3 điểm)
a) Phương trình hoành độ : x 2
x 1
=mx3 <=> x+2 =mx
2
3x mx +3 ( x≠ 1)
<=> mx2 (m+4)x +1=0 (*)
0,5
Ta có : = (m+4)2 4m =(m+2)2 +12 >0 , m
=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay đồ thị (C) luôn cắt (dm) tại hại hai điểm phân biệt A và B
0,5
Trang 3b) Giả sử 2 nghiệm của pt (*) là x1, x2 ( x1 ≠ x2)
Theo Viét : x1 +x2 = m 4
m
; x1.x2 = 1
m Hai giao điểm A(x1; mx13) ; B(x2; mx2 3) ;
0,5
AB2 =(x2 x1)2 +m2(x2x1)2 =(m2 +1)(x2x1)2 =(m2 +1)[(x2+x1)2 4x1x2]
= (m2 +1) 2
2
m
1
Vì AB= 17 => (m2 +1) 2
2
m
=17 <=> (m+4)(m3+4) =0
<=> m=4 m=3 4
0,5
Câu 3: a) Cho tam giác ABC có góc BAC=600, AB=3, AC=4 Phân giác trong góc A cắt
đường thẳng BC tại D Tính độ dài AD ?
( 4 điểm) Ta có : AB AC
=AB.AC.cos BAC =6 Tính chất phân giác : BD
DC=
AB
AC=
3 4
0,5
=> BD
=3
4 DC
<=>AD
AB
=3
4( AC
AD
)
<=> 7AD
=4AB
+3 AC
0,5
Bình phương hai vế : 49.AD2 =16AB2 +9AC2 +24AB
AC
=432 => AD= 12 3
7
1
b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm BC,
M(3;1) ; H là hình chiếu của A lên BD, H(1
5;
3
5); N là trung điểm của DH, đường thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 Tìm tọa độ các điểm A và D
Gọi I là trung điểm AD => AIMB là hình chữ nhật
Ta có IN //AH ; AH DB => IN DB Điểm N nhìn đoạn IB dưới một góc vuông
=> N nhìn đoạn AM dưới một góc vuông
=> N là hình chiếu của M lên AN + Đường thẳng MN : 7(x3) +1(y1) =0 <=> 7x+y 22=0
5 ;
19
5 )
N là trung điểm của HD => D(5;7)
1
+ Đường thẳng BD qua D,H có phương trình : 4x3y+1=0
A AN => A(7a24;a) ta có MA=MD <=> (7a27)2 +(a1)2 =22 +62
<=>
a 3 23 a 5
=>
A( 3;3)
41 23 A( ; )
5 5
Vì A, M ở về hai phía của đường thẳng BD => A(3;3) thỏa mãn
1
Câu 4 a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 3 2)cos2x= sin2x + 3
(4 điểm) <=> 2(cos4x+cos2x) 3 (cos2x+1) 2sinx.cosx =0
<=> 4cos3x.cosx 2 3 cos2x 2sinx.cosx=0
<=> 2cosx (2cos3x 3 cosx sinx) = 0
1
C
H
I
N
Trang 4<=> cos x 0
2 cos 3x 3 cos x s inx 0
<=>
cos x 0
cos3x cos x
6
0,5
<=>
2
12 k x
24 2
, k Z
0,5
b) Trong một hộp chứa 20 tấm thẻ, được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên 3
tấm thẻ từ hộp Tính xác suất để các số trên ba tấm thẻ lấy được có tổng là một số
chia hết cho 3
Chọn ngẫu nhiên ba tấm thẻ , không gian mẫu =C =1140 320 0,5 Gọi A: “ 3 tấm thẻ được chọn , có tổng là một số chia hết cho 3 “
+ Ta có 6 tấm thẻ mang số chia hết cho 3
7 tấm thẻ mang số chia cho 3 dư 1
7 tấm thẻ mang số chia cho 3 dư 2
0,5
Số cách chọn : =A C +36 C +37 C +37 C 16 C 17 C =384 17 0,5 Xác suất : P(A) = A
=
32 95
0,5
Câu 5 a) Giải phương trình : x= 2x 3 x + 3 x 6x + 6x 2x
( 3 điểm) Điều kiện : x≤ 2
Đặt a= 2x; b= 3 x ; c= 6x với a,b,c ≥ 0 Suy ra : x=2a2 =3b2 =6c2
0,25
Theo đề bài ta có hệ :
2
2
2
3 b ab bc ca
6 c ab bc ca
<=>
(a b)(a c) 2 (b c)(b a) 3 (c a)(c b) 6
0,5
Thay vào ta lần lượt :
=> x=2
0,5
b) Giải hệ phương trình :
+ Cộng ba phương trình : 3(x+y+z)= 6z 1 + 6y 1 + 6x 1 (*) 0,25
Mặt khác : 6z 1 ≤ 6z 1 1
2
=3z Dấu bằng xảy ra khi z= 1
3 Tương tự 6x 1 ≤ 3x
6y 1 ≤ 3y
Cộng ba bất đẳng thức : 6z 1 + 6y 1 + 6x 1 ≤ 3(x+y+z) (**)
1
Trang 5Từ (*) và (**) suy ra : x=y=z=1
3
0,25
Câu 6:
( 2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn :
1
ab+
1
bc+
1
c a =
3
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
2
2
4b
+ 2
2
4c
+ 2
2
4a
P =
2
2
4b
+ 2
2
4c
+ 2
2
4a
≥ 2a2 4b + 2
2b 4c + 2
2c 4a
0,5
P ≥ 1 a2 1
0,5
<=> P ≥ 1
a+
1
b+
1
c
<=> P ≥ 1
4(
1
a+
1
b+
1
b+
1
c+
1
c+
1
a) ≥
1
4(
4
ab+
4
bc+
4
ca) =
3 2
0,5
Min P = 3
2 khi a=b=c =1
0,5
( Học sinh có thể giải cách khác vẫn cho đủ số điểm từng bài )