Bộ 16 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án

Luyện tập với Bộ 16 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án được chia sẻ dưới đây sẽ giúp các em học sinh đánh giá được năng lực học tập của mình, để từ đó có hướng ôn tập phù hợp chuẩn bị cho kì thi chọn HSG sắp diễn ra. Đề thi có đáp án chi tiết kèm theo sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc so sánh kết quả và tìm hiểu thêm nhiều phương pháp giải bài tập khác nhau nhằm nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán. Mời các em cùng tham khảo đề thi.

BỘ 16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM 2019-2020 (CÓ ĐÁP ÁN)

1 Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán lớp 12 năm 2020 có đáp án - Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa

2 Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán lớp 12 năm 2020 có đáp án - Trường THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị

3 Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán lớp 12 năm 2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

4 Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán lớp 12 năm 2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Khánh Hòa

5 Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

6 Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Phòng

7 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án -

Sở GD&ĐT Bình Phước

8 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án -

Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

9 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án -

Sở GD&ĐT Hưng Yên

10 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án -

Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

11 Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu (Lần 2)

12 Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án -

15 Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu

16 Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Ngô Gia Tự

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12

MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020

Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 (4 điểm)

Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2 mx 2 m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ,

A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm , ,

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12

Gọi x x là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị 1, 2

hàm số tại giao điểm A B C, , là:

os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2

2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 s inx 2 osx -1 2 2 osx -1

,2019

Ta chứng minh dãy số  u n là dãy số không bị chặn

Giả sử phản chứng dãy số (un) bị chặn Do dãy số  u n là dãy tăng (cmt) nên ta có dãy

 u n tăng và bị chặn thì dãy số  u n có giới hạn hữu hạn Giả sử lim u n  Vì a u  n 1

Nên ta có a  Từ định nghĩa 1 2

1

2u n u n 2u n Chuyển qua giới hạn ta có:

 2a = a2 + 2a  a = 0 Mâu thuẫn với a ≥1

C

B S

N

M

x y

61

3 1

P

abc abc

Dấu ‘=’ xảy ra khi ab  c 1

VậyMaxP 1khi ab  c 1

0.5

Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

a) Gi6i phucrng trinh (x -2)' + J 6 = 67 +Ji 1 -n

b) Tir c6c chfi s5 0, 3, 4, 5, 6,7, 8, glpp dugc bao nhi6u s5 chin, c6 ba cht s5 kh6c nhau Chn 2(a ili6m) Trong mflt phhng tqa d0 Oxy, cho hinh vu6ng ABCD v]r cic di6m M, N thoa

mdn: fu+zMe d ; zfii+ wD =6

a) Chimg minh tam grttc BMN vu6ng chn.

b) Tim tqa dQ di€m A,UietNp;21, dvdngthingBM cd phuong trinh x-2y-3:0 vit di6m A c6 hodnh d0 nh6 hon2

Cho hinh ch6p S.ABC, c6 SA : SB : SC vd d6y ld tam gi6cvu6ng cdn v6i c4nh huyAn

AB : oJi.tvtqtb6n (SBC) hqp v6i mflt d6y mQt g6c (p saocho cosp ' =+ J13 Tinh theo a th6tich kh6i ch6p S.ABC vi khoing cdch gifia hai duong thFngAB vd SC.

cffu 5 (2rli6m) Tim t6t cil cilchim si5 /:(0,+m) + (0;+oo) th6a mftn ding thirc

.f(x+ y)+ f(xy) : x * ! * xY, Yx,Y e (0;+m)

t2 cLP rixn NAnn HQC: 2019 - 2o2o

Mdn thi: To6n

urldNc nAN cuAilr uoN roAx

DE THI CH D ruvnx gsc THr Hsc cAp rixu

e (x-10)

Qx:10 ( Vi +x+6>0,xe[-6;11] )

11 _:

Jx+6 +4 t+.,/t 1-x 11

c,a sdc6 6 c6ch chon b (kh6c c,a), n€nc6 7.6:42 s6loai ndy'

c * 0, c6 3 c6ch chon c chian, mdi crich chon c sE c6 6 c6ch chgn a

(a * 0,a+ c), m6i c6ch chon c,a c66 c6ch chgn b (kh6cc,a ) ndn c6:

)

Gqi A (a;b) , v6i a 12 , ta c6 h€

Giai hQ, voi a <2 , ta duqc A (1;2

=,r(r)<ttJiT, dau " : " xay ra <+, = JtT

YQy mal f (,)=1lJ[, khi -r="'fi r ;.f (*)=-1lJ1, khi x=-fi

11o3a

[l r+i * /(3):; [7'trl : r

Th6 x : !.! =l1r > O) vio ( l) ta thu dugc:

t' ' I

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

u   

v   u  v với mọi số tự nhiên n

a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh :…………

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán

v   u  v với mọi số tự nhiên n

a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau

2,0

Ta chứng minh quy nạp rằng u n u n1v n và u n1 v n1 v n với mọi n

Do đó, 2 dãy đã cho là đơn điệu và bị chặn bởi u0 a v; 0 b nên hội tụ 1,0

Từ 1

2

n n n

n n

Q P

M

O L K H

E

D C

B A

Lại có, theo định lí Trung Hoa về dư thì hệ phương trình đồng dư luôn có nghiệm n vì

p p,  1 1 nên có vô số tự nhiên n thỏa mãn (đpcm) 1,0

KH S (cùng cạnh đáy OD), AOE

HOE

S LA

LH S (cùng cạnh đáy OE) và gọi R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và cAB thì

DE (2)

0,5

Ta chứng minh (1) xảy ra khi chỉ khi OH||DE

Thật vậy, nếu xảy ra trường hợp còn lại, tức là OH đi qua trung điểm ED

Khi đó, gọi P Q, lần lượt là trung điểm của ED , HC Dễ thấy tứ giác CEHDnội tiếp đường tròn tâm Q, suy ra QP vuông góc với ED Kết hợp (2) suy ra QP CO||

2,0

Xét tam giác CHOcó Q là trung điểm HC và QP CO|| suy ra P là trung điểm OH nên

EHDO là hình bình hành, suy ra OD EH|| Điều này trái với giả thiết OD cắtBE

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi OH||DE, mà do (1) nên điều này khi và chỉ khi COOH

khi và chỉ khi C D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn 0,5

Thật vậy n 0 a1 2 1 a0 bài toán đúng với n1

Giả sử (1) đúng đến n , suy ra a n2  a n1 1 a n 1 a n1 Vậy (1) được chứng minh

1,5

Bây giờ ta chứng minh f a n a n , n  0 2  bằng quy nạp

Với n 0 f a 0  f  1 a0 suy ra (2) đúng với n0

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ hai: 25/9/2019

a) Gọi H là trực tâm của tam giácJDK Chứng minh rằng tứ giác IJHK nội tiếp

b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK luôn đi qua một điểm cố định khác điểm I

b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A A1 4 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng

độ dài với nó Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh Gọi k là số đường chéo có hai đầu là màu xanh trong , tìm tất cả các giá trị

có thể có của

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh :…………

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: Toán Ngày thi thứ hai: 25/9/2019

Nếu f(0)0 thì f sẽ là hàm hằng Thay vào (1) dễ thấy không thỏa mãn

Vì vậy f(0)0

Thay x y 1 vào phương trình (1) ta thu được  2

(1) 1

f  Nghĩa là f(1)1 hoặc (1) 1

f x  f x  x hay f x(  1) 2x 1 f x( ) với mọi x (3)

Lại thay và x bởi x1 và y1 vào phương trình (1) ta nhận được

f x  f x  x hay f x(  1) 2x 1 f x( ) với mọi x (4)

Cho y bởi x vào phương trình (1) và sử dụng (2) (3) và (4) ta nhận được

Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán

( )

f x x với mọi x

và f x( ) x2 với mọix

6

Cho tam giác nhọnABC, D là một điểm bất kì trên cạnhBC Trên cạnh AC AB, lần lượt

lấy các điểm E F, sao choEDEC FD, FB Gọi I J K, , lần lượt là tâm đường tròn nội

tiếp các tam giácABC BDF CDE, ,

a) Gọi H là trực tâm của tam giácJDK Chứng minh rằng IJHK nội tiếp

b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác

IJK luôn đi qua một điểm cố định khác I

7,0

6.a

Do các tam giác FBD EDC, lần lượt cân tại F E, nên JDJB KD, KC

Ta có JDK1800 JDB KDC1800 IBC ICB BIC JIK

Lại có H là trực tâm tam giác JDK nên JHK 1800 JDK,

suy raJHK JIK1800

Vậy tứ giác IJHK nội tiếp

2,0

6.b

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau (bài toán Simson đảo)

Cho tam giác MJK Từ điểm L nằm ngoài tam giác Gọi B C D, , lần lượt là điểm đối xứng

của L quaMJ MK JK, , Giả sử B C D, , thẳng hàng Chứng minh rằng MJLK là tứ giác nội

tiếp

Chứng minh bổ đề: Gọi giao của BL DL CL, , với MJ JK KM, , lần lượt làE G H, , Do

Quay trở lại bài toán:

Gọi M là điểm chính giữa cung BC của đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giácABC, L là

điểm đối xứng với D quaJK

Ta có JIK  JDK JLK suy ra L(IJK)

       , suy ra L(BIC) hayMLMBMC

Suy ra JM KM, lần lượt là trung trực củaLB LC,

1,0

Vậy điểm đối xứng với L qua 3 cạnh tam giác JMK là B C D, , Mà B C D, , thẳng hàng,

theo bổ đề trên suy ra LJMK nội tiếp Vậy (IJK) luôn đi qua điểm M cố định (đpcm) 1,0

7

Cho một đa giác đều A A1 2 A20 có 10 đỉnh của đa giác được tô màu xanh, 10 đỉnh còn lại

được tô màu đỏ Ta nối các đỉnh với nhau

a) Gọi a là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp, b là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp Chứng minh ab

b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A A1 4 và tất cả các đường chéo khác của đa giác

mà có cùng độ dài với nó Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu

đỏ bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh Gọi k là số đường chéo có hai đầu là

màu xanh trong S, tìm tất cả các giá trị có thể có của 𝑘

và x x1, 2, ,x n tương ứng là số đỉnh xanh trong các cụm đó (x i   1 i 1,n )

Nếu n1 , tức là chỉ có một cụm xanh hay 10 đỉnh xanh cạnh nhau, do đó 10 đỉnh đỏ cũng

phải cạnh nhau, tức là cũng chỉ có một cụm đỏ

Nếu n2 thì mỗi cụm điểm xanh nằm giữa hai cụm đỉnh đỏ và ngược lại mỗi cụm đỉnh đỏ

1,0

lại nằm giữa hai cụm màu xanh nên số cụm đỉnh xanh sẽ bằng số cụm đỉnh đỏ bằng n

Giả sử n cụm đỉnh đỏ là: D D1, 2, ,D n và d d1, 2, ,d n tương ứng là số đỉnh đỏ trong các

Các đường chéo nối 2 đỉnh liên tiếp trong dãy trên đều có cùng độ dài với A A1 4 nên tất cả

đều thuộc S Ngoài ra, dễ thấy rằng tất cả các đường chéo thuộc Scũng tạo thành bởi 2 đỉnh

liên tiếp nào đó trong dãy trên

2,0

Tương tự câu a) ta chia dãy các đỉnh (*) thành các cụm đỏ và cụm xanh, trong đó:

 Cụm đỏ là cụm đỉnh gồm các đỉnh đỏ liên tiếp trong dãy đỉnh (*)

 Cụm xanh là cụm đỉnh gồm các đỉnh xanh liên tiếp trong dãy đỉnh (*)

Và ta cũng thu được số cụm đỉnh xanh sẽ bằng số cụm đỉnh đỏ, giả sử bằng

m  m

1,0

Ta có số đường chéo có hai đầu màu đỏ trong tập S cũng chính là số đoạn thẳng nối hai

đỉnh đỏ liên tiếp trong dãy (*) và số đường chéo có hai đầu màu xanh trong tập S cũng

chính là số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp trong dãy (*) Nên theo câu a) số đường

chéo có hai đầu màu đỏ trong tập S sẽ bằng số đường chéo có hai đầu màu xanh trong tập

Svà bằng k10m , do 1 m 10 nên k{0,1, , 9}

1,0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2020

Môn thi: TOÁN (Vòng 1)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi: 19/9/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

43

Một nhóm phượt có n thành viên Năm 2018, họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến có

đúng 5 thành viên tham gia Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên

Tìm giá trị nhỏ nhất của n

Bài 4 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD Qua điểm N thuộc đoạn thẳng AD (N không trùng với A và D), kẻ NP vuông góc với AB (P thuộc cạnh AB) Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q Chứng minh rằng QN vuông góc với BC

Trang 2/8 – Diễn đàn giáo viên Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HOÀ GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH

GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN (ngày 1)

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

ĐÈ CHÍNH THỨC

Bài 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình

3 3 3

3

4 3

4 3

x y z

0

6 2 4

g t

t t

−

4 6 2 4

Không mất tính tổng quát ta giả sử x=max x y z{ ; ; } Khi đó ta có x ≥ ; x z y ≥

x≥ (*)y ⇒ f x( )≥ f y( ) (vì hàm f t( ) đồng biến), kết hợp với hệ phương trình

h x x

x x

⇒ Phương trình h x( )=0 có nhiều nhất một nghiệm.

Ta có h( )1 =0 nên phương trình h x( )=0 có nghiệm duy nhất x =1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1;1;1)

Trang 4/8 – Diễn đàn giáo viên Toán

2 2 1

Việc còn lại là chỉ ra (2) chỉ có nghiệm duy nhất với k∈ℕ

Gọi k là số nguyên không âm lớn nhất sao cho 0 2

Ta gọi l là giá trị nhỏ nhất của 0 n thoả mãn bất phương trình trên

Khi đó hiển nhiên 0(0 1) 0(0 1)

0 0

3 1 2

1 2

3 1 2

1 0 2

Vậy f là một song ánh, suy ra điều phải chứng minh

b.Cho dãy số ( )u n xác định bởi 1 5; n 1 n 1

Trang 6/8 – Diễn đàn giáo viên Toán

≤ ≤ + Hay 21 ≤u209 < 21, 5 nên phần nguyên của u209 bằng 21

Bài 3. Một nhóm phượt có n thành viên Năm 2018, họ thực hiện sáu chiến du lịch mà mỗi chuyến

có đúng 5 thành viên tham gia Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên Tìm giá trị nhỏ nhất của n

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD

Qua điểm N thuộc đoạn thẳng AD (N không trùng với A và D), kẻ NP vuông góc với AB (P

O A

B

C N

Trang 8/8 – Diễn đàn giáo viên Toán

Từ ( )1 và ( )2 ta có điều mâu thuẫn nên ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1

3

a= = = ⇔ = = = b c x y z

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2019

Thời gian làm bài: 180 phút (đề thi gồm 01 trang) Bài I (4 điểm)

Cho hàm số yx33x2(m4)xm có đồ thị 2 C m và điểm 2; 3

2

M  

  Tìm m để đường thẳng y2x2 cắt C m tại ba điểm phân biệt A ( 1; 0), B, C sao cho MBC là tam giác đều

Bài III (3 điểm)

Cho dãy số  u n xác định bởi 1 3

3

u  ,

2 1

1 1

n n

n

u u

u



 

 ; n 1, 2,1) Chứng minh  u n là dãy số bị chặn

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I với M, N(1; 1) lần lượt là trung điểm

của các đoạn thẳng IA, CD Biết điểm B có hoành độ dương và đường thẳng MB có phương trình

x y  , tìm tọa độ điểm C

2) Cho hình chóp S.ABC có CACB 2, AB 2, SAB là tam giác đều, mp SAB( )mp ABC( )

Gọi D là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh C của tam giác SBC

a) Tính thể tích khối chóp D.ABC

b) Gọi M là điểm sao cho các góc tạo bởi các mặt phẳng (MAB), (MBC), (MCA) với mặt phẳng (ABC)

là bằng nhau Tìm giá trị nhỏ nhất của MA MB  4MS4MC

Họ và tên: SBD: Bài I (4 điểm)

 d :y2x2 cắt  C m tại ba điểm phân biệt A1;0 , , B C sao cho MBC là tam giác đều

Bài II (5 điểm)

Bài III (3 điểm)

Cho dãy số  u n xác định bởi

2

1 13

3

n n

Bài IV (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I với M N, (1; 1) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , IA CD Biết điểm B có hoành độ dương và đường thẳng MB có phương trình

  hay MBC là tam giác cân tại M

m

  (Thỏa mãn (*))

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1;7 6 2 

48

Bài III (3 điểm)

Cho dãy số  u n xác định bởi

2

1 13

3

n n

Dễ thấy mệnh đề trên đã đúng với n  1

Giả sử mệnh đề trên đã đúng với n  tức là k 1 tan

3.2

ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với 1

n k Thậ vậy

2 2

11

tan3.2

Bài IV (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I với M N, (1; 1) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA CD Biết điểm B có hoành độ dương và đường thẳng MB có phương trình ,

3 6 0,

x y  tìm tọa độ điểm C

Lời giải

y y

x x

+ Tam giác CAB vuông cân ở C

+ Tam giác SCA SCB cân ở , S