25 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 của các trường chuyên khu vực duyên hải đồng bằng bắc bộ có đáp án

Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 nằm trên đường thẳng AO1.. Cho 2015 điểm trên đường thẳng, tô các điểm bằng một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng mỗi điểm chỉ tô một

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài 180 phút

(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình

Chứng minh dãy số trên có giới hạn

Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC Gọi B1 là điểm đối xứng của B qua AC, C1 là điểm đối xứng của C qua các đường thẳng AB, O1 là điểm đối xứng của O qua BC Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 nằm trên đường thẳng

AO1

Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) không đồng nhất không thỏa

mãn: P(2014) = 2046, P x( ) P x( 2  1) 3332, x 0

Câu 5 (4 điểm) Cho 2015 điểm trên đường thẳng, tô các điểm bằng một trong 3 màu

xanh, đỏ, vàng (mỗi điểm chỉ tô một màu) Có bao nhiêu cách tô khác nhau sao cho không có 3 điểm liên tiếp nào cùng màu

HẾT

Người ra đề

(Họ tên, ký tên -Điện thoại liên hệ)

Tô Minh Trường-0915454109

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11

Câu 1 Câu 1Giải hệ phương trình

Điều kiện: 2

2

01

x y

Với x  7 y 6 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y (7;6)

k k

1 3 1

k k

2,0

Câu 3 Câu 3 Cho tam giác ABC Gọi B1 là điểm đối xứng của B qua AC, C1 là

điểm đối xứng của C qua các đường thẳng AB, O1 là điểm đối xứng của O

qua BC Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1

B1

A

B

C

Gọi H là trực tâm ΔABC Gọi AB1, CH cắt nhau tại P, AC1 và BH cắt

nhau tại Q Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB1C1

Dễ thấy O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

v 1,0

190

HCA CABABH HB A Vì vậy

B1AHC nội tiếp đường tròn (w1).Tương tự C1AHB nội tiếp đường tròn

(w2)

1,0

Trục đẳng phương của (K) và (w1) là AB1, Trục đẳng phương của

(O1) và (w1) là CH Nên P là tâm đẳng phương của (O1), (K) và (w1) và

nó phải nằm trên trục đẳng phương của (O1) và (K)

Tương tự ta Chứng minh được Q nằm trên trục đẳng phương của các

đường tròn (O1) và (K) Vì vậy, PQ vuông góc O1K

1,0

QC P BH QB P ( cùng chắn cung AH của (w2) nên PQB1C1 nội tiếp và tam giác AQP đồng dạng tam giác AC1B1

Thử lại ta có P(x) thỏa mãn đầu bài

(Họ tên, ký tên -Điện thoại liên hệ)

Tô Minh Trường-0915454109

Câu 5 Cho 2015 điểm trên đường thẳng, tô các điểm bằng một trong 3 màu xanh,

đỏ, vàng (mỗi điểm chỉ tô một màu) Có bao nhiêu cách tô khác nhau sao

cho không có 3 điểm liên tiếp nào cùng màu

4,0

Gọi S n là số cách tô màu thỏa mãn cho n (n 3) điểm (bài toán của ta là

2015

n ) Ta sẽ tính S n1 theo S n, xét hai điểm cuối cùng của S n có hai

trường hợp xảy ra:

+Nếu hai điểm cuối cùng màu thế thì điểm thứ n 1khác màu 2 điểm cuối

+Nếu hai điểm cuối khác màu thì điểm thứ n 1 tô bất kì

1,0

Từ đó sinh ra hai số đặc trưng M n là số cách tô n điểm mà hai điểm cuối

cùng màu, P n là số cách tô màu n điểm mà hai điểm cuối khác màu và cả

hai cùng thỏa mãn 3 điểm liên tiếp khác màu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ NỘP NGÂN HÀNG ĐỀ DUYÊN HẢI MÔN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề

Câu 1 (4 điểm) Ký hiệu  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Giải phương trình

Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm f: ¥  ¥ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) Với mọi cặp a, b nguyên dương không nguyên tố cùng nhau, ta có

f(a).f(b)=f(ab)

ii) Với mọi bộ a, b nguyên dương tồn tại một tam giác không suy biến có độ

dài ba cạnh là f(a), f(b) và f(a+b-1)

Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, hai đường cao AD, BE OD cắt BE tại K, OE cắt

AD tại L Gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

Câu 5 (4 điểm) Cho số nguyên n 2 Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất 1

3 3 0

5 21 2

Quy nạp chứng minh f(n)=1 với mọi n nguyên dương

Cho a=n; b=2 : f(n+1)<f(n)+f(2)=2, nên f(n+1)=1

Nếu f(2)=2, bằng quy nạp chứng minh được

Quy nạp chứng minh f(n)=n với mọi n >=2

Cho a=n-1; b=2 ta có f(n)<f(n-1)+f(2)=n+1, nên f(n)<=n

Lấy r là số nguyên lớn nhất sao cho 2 r không vượt quá n

Nếu 2 r =n thì theo chứng minh trên có f(n)=n

Vậy f(n)=1 với mọi n nguyên dương

Hoặc f(n)=n với mọi n>=2; f(1) thuộc {1,2,3}

Do đó hệ thức xảy ra khi và chỉ khi S HOE S HOD OH/ /DE hoặc OH đi qua

trung điểm P của DE

2,0

Câu 5

Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn (C) thì d song song với DE

Do CO vuông góc với d nên CO vuông góc với DE

Nếu OH đi qua P thì P là trung điểm của OH, hay EDOH là hình bình hành, suy

ra EO và HD song song (trái giả thiết)

Vậy K, L ,M thẳng hàng khi và chỉ khi OH song song với DE, hay OH vuông

góc với CO, tương đương C, D, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CH

1,5

Giải bằng quy nạp

Với n=2 ,ta có {1;2}={1}U{2}

Với n>=2, giả sử có 2 n +1 tập con không rỗng của tập {1,2, ,n+1} 0.5

Nếu ít nhất trong 2 n-1 +1 tập hợp trong chúng không chứa n+1, theo giả thiết quy

nạp ta có đpcm

Nếu ít nhất 2 n-1 +2 tập hợp chứa n+1 thì bỏ n+1 ra khỏi các tập hợp này và ta áp

dụng giả thiết quy nạp

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ ĐỀ NGHỊ LÀM ĐỀ CHỌN HSG KHU VỰC DUYÊN HẢI ĐHBB 2015

2

2 1

N n

; ) ( 4

) ( ) (

2 , 1

n

n n

x

x x

x x

TÝnh I =Limx n

Câu 3

Cho tam giác ABC nhọn với ABAC Giả sử D và E là các điểm trên cạnh

BC sao cho BD=CE và D nằm giữa B và E Giả sử P là điểm thuộc miền trong tam giác ABC sao cho PD||AE và PAB=EAC Chứng minh rằng:

Câu 5

Có bao nhiêu cách chọn ra k người từ n người xếp hàng dọc sao cho không có 2 người liên tiếp được chọn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015

Câu 3: Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD M

thuộc BC thỏa mãn OM // AB DM cắt (O) tại P khác D Chứng minh: C, H, P thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC

Câu 4: Tìm tất cả các hàm 𝑓: 𝑅 → 𝑅 thỏa mãn:

𝑓[𝑥𝑓(𝑦) + 2015𝑥] = 2015𝑥𝑦 + 𝑓(𝑥) với mọi x, y

Câu 5: Có bao nhiêu cách phân tích 69 thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần?

Thay vào giả thiết được:

2xyz = 1 – (xy + yz + zx) ≤ ¼ hay xyz ≤ 1/8

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = ½ (1 điểm)

Câu 3:(4 điểm) Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính

AD M thuộc BC thỏa mãn OM // AB DM cắt (O) tại P khác D Chứng minh:

C, H, P thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC

DP cắt AB tại E thì M là trung điểm DE (vì OM là đường trung bình)

BHCD là hình bình hành nên DH cắt DC tại I là trung điểm mỗi đường

Suy ra MI là đường trung bình của ∆DHE → MI // EH

𝑚𝑛 + 2015𝑚 = 𝑚 ↔ {𝑚 = ±√2015𝑛 = −2014 Vậy có 2 hàm thỏa mãn yêu cầu, là 𝑓(𝑥) = ±√2015𝑥 – 2014 (1 điểm)

Câu 5: (4 điểm)Có bao nhiêu cách phân tích 69 thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần?

Xét phân tích 69 = (2𝑎1 3𝑏1)(2𝑎2 3𝑏2)(2𝑎3.3𝑏3) với {

𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝑁

𝑎1+ 𝑎2 + 𝑎3 = 9

𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 = 9 Với mỗi 𝑎1∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑎1 ≤ 9, có 10 − 𝑎1 cách chọn số 𝑎2, để 𝑎1 + 𝑎2 ≤ 9

69 = (23 33)(23 33)(23.33) (1 điểm)

+) TH2: 2 thừa số bằng nhau:

69 = (2𝑎 3𝑏)(2𝑎 3𝑏)(29−2𝑎 39−2𝑏) và (a ; b) # (3 ; 3)

Khi đó a ∈ {0; 1; 2; 3; 4} ; b∈ {0; 1; 2; 3; 4 } và (a ; b) # (3 ; 3) → số cặp (a; b) là 5.5 – 1 =24, và 24 cặp này cho ta 24 cách phân tích thỏa mãn yêu cầu Tuy nhiên, mỗi cặp sẽ cho 3 lần đếm trong quá trình đếm

mà ta vừa nêu ở trên (1 điểm)

+) TH3: nếu cả 3 thừa số khác nhau, thì mỗi phân tích bị đếm trùng 3!=6 lần Vậy số cách phân tích là: 1 + 24 + (55 × 55 − 24 × 3 − 1): 6 = 517 cách

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN

VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút

Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H , nội tiếp đường tròn ( )O Đường

thẳng CH cắt AB tại D Đường thẳng qua D vuông góc với OD , cắt đường thẳng BC tại E

Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH cắt đường thẳng AB tại F ( F không trùng B ) Chứng

Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương m n một bảng hình vuông kích thước n n, ; ´ được

gọi là bảng “ m- hoàn thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm

(không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng m

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ

nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng?

(Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2)

HẾT

ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11

1 Ta chứng minh nếu các số ,x y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì

2 2

Do đó f '( )x nghịch biến trên (0;2 ,) hơn nữa f ' 1( )= 0nên f '( )x nhận giá trị

dương trên (0;1)và âm trên (1; 2 )Suy ra f x( )£ f( )1 = 0với mọi x Î (0;2 )

Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với đường tròn (ABC), I

và Anằm cùng phía đối với BC Vì OD^ IJ nên D là trung điểm IJ

90

DCF= DBH = - BAC= DCA nên D là trung điểm AF , vậy tứ giác

AIFJlà hình bình hành, suy ra ·IFJ = IAJ·

1,5

Gọi K là giao điểm đường thẳng CD với đường tròn(ABC)( K khác C ), thì D

là trung điểm HK , do đó tứ giác IKJHlà hình bình hành, nên ·IKJ = IHJ· 0,5

Vì IJ là trục đẳng phương của hai đường tròn (ABC), (IHJ); BC là trục đẳng

phương hai đường tròn (ABC) (, HBC)nên giao điểm E của BC IJ, là tâm đẳng

phương ba đường tròn(ABC) (, HBC)và (IHJ)nên điểmE nằm trên FH là trục

đẳng phương hai đường tròn (IHJ) (, HBC)

1,5

*

1 1

\ 1;0;1 ,

f n Î ¡ - " În ¥ hơn nữa theo chứng minh trên

( )

( )

16

Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán

5 Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “ m- hoàn thiện” kích thước 3x3

Gọi x y z t, , , lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1 cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới

m+ z- x- y- t y x+ -t z

y+ -t z m- y- t z

2,0

Vì các số được điền là không âm và y là số nhỏ nhất trong các số ở đường chéo

chính nên các điều kiện sau phải thỏa

Ta thấy rằng bộ bốn số không âm (y;2y+ -t z x; + y+ -t z x; + t)sắp theo thứ

tự tăng dần xác định duy nhất bộ các số x y z t, , , thỏa mãn ( )* và tương ứng với

một cách lập bảng “ m- hoàn thiện” Do vậy, số cách lập được là 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Trường Trung học Phổ thông Chuyên

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

———–***———–

ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 10

Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút

Câu 1 Giải hệ phương trình

((xy)3 + 3xy3 + 1 = 5y23xy3 = 2y2 + 1

Câu 2 Cho ba số dương a, b, c > 0 Chứng minh rằng

Câu 3 Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) Một điểm M

cố định trên cung nhỏ dBC của (O) khác với B, C Điểm N thay đổi trên đoạn AM

và nằm trong tam giác ABC N B, N C tương ứng cắt AC, AB ở X, Y M X, M Ygặp (O) ở các điểm thứ hai Z, T Chứng minh rằng ZT luôn đi qua điểm cố định

Câu 4 Một số nguyên dương n được gọi là đẹp nếu như nó có thể biểu diễn dướidạng (x

2 + y)(x + y2)

(x − y)2 , trong đó x > y là các số nguyên dương

1 Chứng minh rằng tập các số đẹp chứa vô hạn số lẻ và vô hạn số chẵn

2 Tìm số nguyên dương bé nhất mà là số đẹp

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

———–***———–

ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 11

Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút

Câu 1 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

a(b + c)2 + b

Câu 3 Các điểm C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB và điểm P thuộc đoạn

AB sao cho AC = AP , BD = BP N là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoạitiếp tam giác P CD và AB E là giao điểm của AC và BD K là hình chiếu của Ntrên CD Chứng minh rằng EK ⊥ AB

Câu 4 Trong mỗi ô vuông của bảng 50 × 50 ta viết số ±1 sao cho tổng các số trongbảng có giá trị tuyệt đối không lớn hơn 100 Chứng minh rằng tồn tại hình vuôngcon 25 × 25 với các cạnh là các đường lưới sao cho tổng tất cả các số trong hìnhvuông con đó có trị tuyệt đối không lớn hơn 25

Hướng dẫn giải đề thi lớp 10

1 Đầu tiên y = 0 không thỏa mãn Với y 6= 0, chia phương trình đầu cho y3, hệ viết lại ở dạng



≥ 6.

Do đó ta có kết quả.

3 Gọi D = XY ∩ BC, P = XY ∩ AM, E = DM ∩ (O), Q = AM ∩ BC Ta có (DQBC) = −1 nên

M (DBQC) = −1 Suy ra EBAC điều hòa Từ A(DQBC) = −1 ta suy ra A(DP Y X) = −1 Do vậy

M (DP Y X) = −1 hay M (EAZT ) = −1 Từ đây ET AZ điều hòa Thành thử ZT, BC, AA đồng quy.

4 1 Cho x = y + 1 ta suy ra có vô hạn số lẻ đẹp Cho x = 2y + 1 ta suy ra có vô hạn số chẵn đẹp.

2 Đáp số n bé nhất là 10 Đầu tiên ta chọn (x, y) = (3, 1) thì được số đẹp 10 Tiếp theo giả sử n đẹp, khi đó vì x − y | (x2+ y) − (x + y2) và (x − y)2 | (x 2 + y)(x + y2) nên x − y | x2+ y, x + y2 Từ đó đặt x2+ y = u(x − y) và x + y2 = v(x − y) Suy ra u > v là các số nguyên và hơn nữa v ≥ 2 Ta có

n = uv và x + y − 1 = u − v Do vậy u − v ≥ 2y ≥ 2 Từ đó v ≥ 2 và u ≥ 4 Suy ra n ≥ 8 Nếu n = 8 thì u = 4, v = 2 Tuy nhiên khi đó x + y − 1 = 2 hay x + y = 3 ta thu được x = 2, y = 1 Thay vào thì không thỏa mãn Nếu n = 9 thì từ uv = 9 và 1 < v < u sẽ không có nghiệm Vậy n ≥ 10.

Hướng dẫn giải đề thi lớp 11

1 Bất đẳng thức tương đương a(a + b + c)

Tuy nhiên điều này suy trực tiếp từ bất đẳng thức Nesbit và bất đẳng thức phụ 3(x2+ y2+ z2) ≥ (x + y + z)2.

2 Ta thấy f (x) ≡ −P (x) là một nghiệm hàm Giả sử f (x) 6≡ −P (x) Đặt g(y) = f (y) + P (y) Khi đó tồn

ta y0 sao a = g(y0) 6= 0 Suy ra f (x) = f (x + a) với mọi x Ta có f (x) = f (x + g(y)) với mọi x, y Từ đây

f (x) = f (x + g(y + a)) và f (x + a) = f (x + a + g(y)) với mọi x, y Từ đây f (z) = f (z + g(y + a) − g(y) − a) với mọi z Chú ý h(y) = g(y + a) − g(y) − a là đa thức có bậc 2015 lẻ nên h toàn ánh Vậy f hằng số.

3 Ta có \ N CD = \ BP D = 180

◦ − B

\ ACD

2 Vậy CN là phân giác \ACD Tương tự DN là phân giác

\

BDC Tóm lại N là tâm bàng tiếp đỉnh E của tam giác ECD.

Gọi H là hình chiếu của E lên AB và K0 = EH ∩CD Theo giả thiết cos A+cos B = AC + BD

EB

EA·

EC ED

S(EAK0) S(EBK 0 ) =

cot A/2 cot B/2 Suy ra

S(ECK0) S(EDK 0 ) =

AB + AE − BE

AB + BE − AE hay tương đương CK

|SI− SII| = |SI| + |SII| ≥ 26 + 26 = 52 Mặt khác, ta có |SI− SII| ≤ 25 + 25 = 50 (vì các hình vuông này chung 24 dòng hoặc 24 cột) Tóm lại ta được tất cả các hình vuông con có tổng cùng dấu.

Ta chia hình vuông ban đầu thành bốn hình con bằng nhau ở bốn góc Vì các tổng cùng dấu nên ta suy

ra tổng các số có trị tuyệt đối lớn hơn 4 × 25 = 100, mâu thuẫn.

Danh sách các thầy cô đề xuất bài

1 Thầy Nguyễn Sơn Hà: Câu 1 – Đề lớp 10 và Câu 2 – Đề lớp 11

2 Thầy Nguyễn Minh Hà: Câu 3 – Đề lớp 11

3 Thầy Hà Duy Hưng: Câu 2,3,4 – Đề lớp 10 và Câu 1,4 – Đề lớp 11

Biên soạn đề thi: TS Hà Duy Hưng

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

( Đề này gồm có 01trang, gồm 05câu)

x y

y x

y x xy y

x x

4 1 4 2

3 28 ) 1 2 ( 4

10 2

2 2

2 3

2 2 2

3 6

Câu 2( 4 điểm): Cho dãy (xn) xác định bởi:

6

3

;1

n n

x

x x

Chứng minh rằng nN ta có 2xn - 2 là số chính phương

Câu 3( 4 điểm): Cho ABC là tam giác nhọn với đường tròn nội tiếp (I) Gọi D là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A với BC Gọi M, N là giao điểm của AD với (I) (N nằm giữa A và M) Gỉa sử IM cắt đường cao AH của tam giác ABC tại K

a) Chứng minh KA=KM

b) Gọi (Oa) là đường tròn có tâm nằm trên đường cao AH đi qua A và tiếp xúc trong với đường tròn (I) tại A1 Các điểm B1,C1 xác định tương tự Chứng minh rằng

AA1, BB1, CC1 đồng quy tại 1 điểm

Câu 4( 4 điểm): Tìm tất cả hàm f: R→R* liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:

1

) 2 (

1 )

Câu 5( 4 điểm): Cho một bảng ô vuông có 100  100 ô vuông , mỗi ô đều điền một dấu + Ta thực hiện phép biến đổi như sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng ( dấu + thành dấu - , dấu - thành dấu +) Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi như trên thì bảng có thể có đúng 98 dấu - được không?

- Hết -

HỘ I C ÁC TRƯỜNG C HUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒ NG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015

TRƯỜ NG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI TỈNH HẢI DƯƠ NG Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 1 trang, gồm 5 bài)

Bài 1(4 điểm) Cho hai số thực dương phân biệt a, b và hàm số

có duy nhất một nghiệm thực dương

Bài 2(4 điểm) Cho dãy số  y n thỏa mãn 3

y  y   y y  y  n Chứng minh rằng dãy số y n

n

 

 

  có giới hạn bằng 0 khi n 

Bài 3(4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có AC

vuông góc với BD tại điểm H Gọi I, J, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA, gọi M, N, P, Q tương ứng

là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh rằng tám điểm I, J, K, L, M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OH

b) Chứng minh rằng giao điểm của IK và JL nằm trên đường thẳng OH

Bài 4(4 điểm) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực và thỏa mãn:

) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) (x P x2  P x2 P x

ĐÁP ÁN +BIÊU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11

Bài 1(4 điểm)

Ta đi tìm miền giá trị của hàm số khi x ( 0 ,  )

) (

0 ) )(

( 2

) (

1 ) )(

x a x

b x a x b

x a x

b a x

( lim

0

b a x f ab x

f

x x

Để chứng minh phương trình có duy nhất một nghiệm dương, ta chỉ cần chứng minh

2 2

2

b a b

) (

0 ) (

4 ab a b   a b , đúng vì ab

Bất đẳng thức thứ hai tương đương với

2 2

) (

0 ) ( 2 )

Rõ ràng I và K nằm trên đường tròn đường kính MP, J và L nằm trên đường tròn đường kính NQ (1)

Mặt khác, MNPQ là hình bình hành và MN song song AC, NP song song

BD, AC vuông góc BD nên MN vuông góc NP, vì vậy MNPQ là hình chữ

nhật Do đó đường tròn đường kính MP cũng là đường tròn đường kính NQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, J, K, L, M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của MP và NQ, gọi tâm đó là T Hơn nữa, OM song song HP( vì cùng vuông góc với AB), OP song song HM(vì cùng vuông góc với CD) nên OMHP là hình bình hành, do đó trung điểm T của MP cũng là trung điểm của OH

Vậy I, J, K, L, M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của OH

b)(2 điểm) Ta sẽ dùng phép nghịch đảo để chứng minh phần này

Kí hiệu (T) là đường tròn được nêu trong phần (a).Ta có

+ Nếu IK và JL đều không đi qua H: thế thì phép nghịch đảo nêu trên biến

IK thành đường tròn (HPM), biến JL thành đường tròn (HQN) Gọi G là giao điểm của IK và JL, phép nghịch đảo trên biến G thành G' thì G' thuộc

cả hai đường tròn (HPM) và (HQN) Vậy đường thẳng HG' là trục đẳng phương của hai đường tròn này

Bài 4(4 điểm)

giả sử degP(x)=n

- Nếu n=0 thì P(x)=const (thỏa mãn)

- Nếu n>0 ta đặt P( 2x 1 )  2n P(x) R(x), degR(x)<n Thay vào giả thiết ta nhận được

) ( ) ( )

Q( ) , đồng nhất hệ số ta được 2i a i  2n a i, i 0 , 1 , ,n 1, suy

ra a i  0 , i 0 , 1 , ,n 1

n n

n x P x a x a

Họ tên người ra đề

ĐT: 0982841051

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

Trường THPT Chuyên Trần Phú

KỲ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ

Năm học 2014 – 2015

ĐỀ ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN 11

Thời gian làm bài: 180’

Bài 1: Giải hệ phương trình

333



Bài 3: Hai đường tròn (O’), (O”) tiếp xúc ngoài với nhau tại D và cùng tiếp xúc

trong với đường tròn (O) tại E, F tương ứng sao cho O, O’, O” không thẳng hàng

d là tiếp tuyến chung tại D của (O’) và (O”) AB là đường kính của (O) sao cho

AB vuông góc với d và A, E, O’ cùng phía so với d

Chứng minh rằng AO’, BO”, EF và d đồng quy

Bài 4: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P x  sao cho P 0 0 và

 

          

  Z , với  x là phần nguyên của x

Bài 5: Có bao nhiêu dãy gồm 2015 số dương  2015

1

n n

a  sao cho a1 1,a n1a n 1với mọi n1, 2014?

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Giáo viên ra đề: Lê Đức Thịnh; Số điện thoai: 0986530513

TRƯỜNG THPT CHUYấN BẮC NINH

1 2

2 1

n n

y

y y

1 2

2 1

5 2

1 ,

2

Tìm đợc công thức số hạng tổng quát của dãy này: z n n

2

1 4





và BC giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Do đú DE và PQ cũng giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường suy ra PDQE là hỡnh bỡnh hành Suy ra QE||PD từ đú A, E , Q thẳng hàng

Vẽ hỡnh bỡnh hành BPAT Khi đú ta cũng suy ra TACQ là hinh bỡnh hành

Ta cú TQA=QAE=EAC=BAP=APT

Do đú tứ giỏc TAQB nội tiếp

Ta thấy qua phộp tịnh tiến vộc tơ BPuuur thỡ tam giỏc BQT biến thành tam giỏc PCA

Do đú ACB=TQB=TAB=ABP (ĐPCM)

Cõu 4

Gọi m 1 là nghiệm thực của P(x) Khi đó

) (

)

(

)

( m a m2 cm e m bm d

Q      Q(  m)  (a.m2cme)  m(bmd)

Suy ra:

0 m) - (1 e) cm (am

) (

e) cm (am

) (

)

( ) ( ) (

.

2 2

2 2

2 2

2 2

d bm m e cm m a m Q m Q

Do đó Q(x) có ít nhất 1 nghiệm thực thuộc  m; m

Vậy Q(x) có nghiệm thực

Cõu 5

Giả sử k người được chọn là: a ; a ; ; a1 2 k

Gọi x1 là số người đứng trước a1

Gọi x2 là số người đứng giữa a1 và a2

Gọi xk là số người đứng giữa ak 1 và ak

Và xk 1 là số người đứng bờn phải ak

Mỗi cỏch chọn bộ a ;a ; ;a 1 2 k bằng số cỏch chọn bộ x ; x ; ; x ; x 1 2 k k 1  thỏa món

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

0 4 ) 1 ( 4

0

2 2

2

2 2

x

xy xy

y x

y x

Ta có :

2

1 4

1 2

1 4

2 2

2 4 28 4

0 2

3

y x

y x

2

9

Vì xn Z nN,n 1 nên phương trình (1) phải có nghiệm

nguyên Do đó (1) có  ' phải là số chính phương

0,5

)1(8)8(

4)1(

K

Gọi J là tiếp điểm của (I) với BC

Giả sử IJ cắt (I) tại điểm thứ 2 là N’E

Qua N’ vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại điểm

B’, C’

AC

AC AB

b) Từ câu a ta suy ra: đường tròn có tâm thuộc đường cao

AH, đi qua A và tiếp xúc (I) tại M thì MAD/

do đó A1AD

0,5

Tương tự, nếu gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B, C của với CA, CB thì B1 BE;

0,5

1



FB

FA EA

EC DC DB

Theo định lí Ceva ta có AD, BE, CF đồng qui

Câu 5 Giả sử sau một số lần biến đổi bảng có đúng 98 dấu -

Gọi xi là số lần đổi dấu ở hàng thứ i ( i = 1, 2 ,100 , tính từ trên

Ta có số lượng các dấu - trên bảng là m(100-n) + n( 100-m) =

n-50 = 0 mâu thuẫn với (*)

Vậy bảng không thể có đúng 98 dấu -

1

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

2 2

, 0;1; ;1313

, 1;2; ;13 \ 714

k k k

k k

11