GIẢI ĐỀ GIẢI TÍCH 1

Dành cho các bạn sinh viên các trường đại học cao đẳng trên toàn quốc.Bài giảng là tâm huyết cả đời của quý thầy cô được biên soạn tỉ mĩ, chọn lọc giúp sinh viên hoàn thành môn học cũng như vận dụng kiến thức vào thực tiễn ngành học của mình.Nguồn: Trường Đại học Bách KhoaĐHQG TP HCM

ĐỀ ÔN THI CUỐI HỌC KỲ 161 – MÔN GIẢI TÍCH 1

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm sau:

1 y  ex21 x  5  2

3

x y

x



2

2

1

x y

x





Câu 2: Tính các tp sau

2

1 3

1

1 ln

e e





Câu 3:

1 Với mỗi miền D cho dưới đây, tính theo yêu cầu của mỗi câu

 

2 1

2

3

x

y

2 D4: y  ln , x y  0, x  2 Quay miền D quanh 1 trong 2 trục ta được 2 vật thể Tính diện tích xung quanh của 2 vật thể đó

Câu 4: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt:

1 y  2 x    y 1 2 x  y 1 2 2

2.

2 x xy dx ydy

 

2 2

3 x dx y x dy 0, y 1 0



Câu 5: Giải các hpt:

 

 

5

1.

t





     



 

2 2cos3 2.









 

 

4

3.

t

    







Câu 6: Tìm m để tp hội tụ:

3

0

1.

1

m

x

dx

x







0

2.

dx



2

2 1

0

1 arctan 3.

m

x













Đáp án:

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm sau:

1 y  ex21 x  5  MXĐ: \    1 ; TC: x   1, y   x 7; CT: yct  y   3 , ycd   y   3 ; Hàm đồng biến với x      ; 3   3;  , nghịch biến với x       3; 1   1;3 

2

3

x y

x



2

     

x   y   x  T y   x  P ; CT: 15

4

ct

y  y   

Hàm đồng biến với 15 5  

  , nghịch biến với

15

; 4

x     

3

2

2

1

x y

x



 MXĐ: \    1,1 ; TC: x   1, x  1, y   x T   , y  x P  ; CT: yct  y    2 , yct  y   2 , yct  y   0

Hàm đồng biến vớix    2; 1      0;1   2;  , nghịch biến với

 ; 2   1;0    1; 2

x      

Câu 2: Tính các tp sau

1

1 3

1

0

1

4

t

t







 

2

ln

e

e

3 1

3

1 1 1

x dx I





 Ta tính nguyên hàm trước:

2 3

2

2 2

2 2

x dx

t

t t





2 2

2

          

3 0

I 

Câu 3:

1 Với mỗi miền D cho dưới đây, tính theo yêu cầu của mỗi câu

2

1

D y   x   y y  x y   V     x dx   x dx  

2: 3, 4 , 0 2

D y  x y   x y   D nhận trục Oy là trục đối xứng vì 3 hàm đều chẵn với x

   

y

  1 2 

3

D y  x   y y   x y   S D   xdx    x dx

2 D4: y  ln , x y  0, x  2 Quay miền D quanh 1 trong 2 trục ta được 2 vật thể Tính diện tích xung quanh của 2 vật thể đó

Quay miền D quanh trục Ox ta được vật thể có diện tích xung quanh gồm phần mặt cong tạo ra khi quay phần cung y  ln ,1 x   x 2 quanh Ox và phần đt x  2,0   y ln 2 quay quanh Ox tạo thành hình tròn bán kính R  ln 2 Do đó, ta có kết quả:

2 2

2 1

1

x

 



Quay D quanh trục Oy: phần mặt cong tạo ra khi quay phần cung y  ln ,1 x   x 2 quanh Oy, đoạn thẳng x  2,0   y ln 2 quay tạo thành hình trụ, đoạn thẳng y  0,1   x 2 quay tạo thành hình tròn Do đó, ta được:

 

ln 2 2

2 2 0

Câu 4: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt:

1 y  2 x    y 1 2 x  y z x    2 x      y 1 y  2 2 zz  Thay vào pt đã cho:

2 2

4

z dz dx

z z



z

z

2 1 2 2

2 x xy dx ydy

2 1 1

2

y  xy  x  y

  Đặt

2

z  y   y  z y   Thay vào

pt đã cho:

x

3 23 2 43 2  

0, 1 0



   BỎ vì đây là pt Bernoulli với x=x(y)

Câu 5: Giải các hpt:

 

 

1.

15 225

y   y   y   e     t y C e  C e  te  t 

15 225

x    y  y    t C e  C e  te  e  t 

 

 

2.





 

 

1 2

1 2

3.

 



Câu 6: Tìm m để tp hội tụ:

1

1 2

1.

1: 0

J m   Tp HT, m  0 : Tp HT       m 1 m 1 Suy ra: J1 HT    m 1

1 :

1

m

m x

x

J

x x 

 Suy ra: J2 HT   m 2

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi    1 m 2

1

1 2

1

dx

1 3 1

1 3

1

: 0 :

1

m

m x

m

x 







Suy ra: J HT m1 

2 3 2

2 3

1

1

x

m x









Suy ra: 2 1

3

J HT   m

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi 1

3

m 

1

1 2

1: 0 : 2 23

m

x





 nên J HT1   m 2

1

m

x 

  nên J HT2   m 1

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi 1   m 2