NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC VÀ GIẢI TÍCH LỚP 12

Phương trỡnh tổng quỏtcủa mặt phẳng :... GV:Nguyễn Đức Bá- THPT TIỂU LA-THĂNG BèNH QN...  Dạng 2: Giữ nguyên phần đồ thị C bên phải trục tung.Bỏ phần đồ thị bên trái.

NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC 12 GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG.BÌNH QN.

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:

a (a ;a );b (b ;b )   1 2   1 2  ka (ka ;ka )   1 2 a b (a     1 b ;a1 2  b )2



a (a ,a )    a a i a j        1 1

a b   a  b







a   a  a

a.b a b c

a b

os(a,b) cos(a,b)=







 a.b a b    1 1 a b2 2

 a   b   a b1 1 a b2 2  0



AB (x    x ; y  y )

AB  AB   (x  x )  (y  y )

 Điểm chia đoạn thẳng theo 1 tỉ số k 1 :



M

M

x

1 k

y

1 k

















Trọng tâm tam giác : G A B C

1

3 1

3









  Phương trình tổng quát của đ/t: A(x x ) B(y y ) 0, (A  0   0  2 B2  0) VTPT :n (A : B), n 0      VTCP:a ( B;A),a 0      

P/T tham số :  0 1

y y     a t P/t chính tắc : 0 0 12 22

Vị trí tương đối giữa 2 đ/t : 1: A x+B1 1y C  1  0 ; 2: A x+B2 2y C  2  0

A1 B1 x B1 C1 y C1 A1

 1 c ¾t  2 D 0 

0

x y

D

µ D  





 1  2 D D  x  Dy  0

P/t chùm đường thẳng :  (A x B y C )1  1  1   (A x B y C ) 0,(2  2  2     2 2 0)

Góc giữa 2 đường thẳng : 0 0

2

.

n

1 2 1

n n

os =

n

 





Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : 0 0

d(M ; )

0

 



Phương trình các đường phân giác: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2



Phương trình đường tròn tâm I(a;b) ,bán kính R: (x a)  2  (y b)  2  R2

Phương trình đường tròn tâm O(0;0) ,bán kính R: x2 y2  R2.

Phương tích của 1 điểm đối với 1 đường tròn :PM0 /(C) x  20  y20  2 Ax +2By +C0 0 .

Trục đẳng phương : 2(A1 A )x 2(B2  1 B )y C2  1 C2  0.

Phương trình chính tắc Elip :

Bán kính qua tiêu : F M a1   ex , F M a2   ex Tâm sai : c

a

Phương trình chính tắc Hypebol :

Bán kính qua tiêu : F M1  ex+ , a F M2  ex- a,(x 0) 

F M1  ex- , a F M2  ex+ a,(x 0) 

Parabol :(P)   M / d(M;F) d(M; )   

Phương trình chính tắcParabol :y2  2px Bán kính qua tiêu: p

FM x

2

Các dạng khác: y2  2px ; x2  2py; x2  2py;(p 0) 



e 1: (C)l d(M;F)

d(M; )

µ elip e=1:(C) lµ parabol e>1: (C) lµ hypebol









Đường chuẩn của Elip(hoặc hypebol) : a

x

e



P/t tiếp tuyến của Elip

1

a  b  tại điểm M(x ; y ) (E)0 0  :

1

P/ t tiếp tuyến của Hypebol

1

a  b  tại điểm M(x ; y ) (H)0 0  :

x x y y

1

P/ t tiếp tuyến của Parabol y2  2pxtại điểm M(x ; y ) (P)0 0  : y y p(x0  0  x)

P/ t tiếp tuyến của Parabol y2  2pxtại điểm M(x ; y ) (P)0 0  : y y0  p(x0  x)

P/ t tiếp tuyến của Parabol x2  2pytại điểm M(x ; y ) (P)0 0  : x x p(y0  0  y)

P/ t tiếp tuyến của Parabol x2  2pytại điểm M(x ; y ) (P)0 0  : x x0  p(y0  y)

GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG-BÌNH QN.

 : Ax+By+C=0

 2 2 2 2 2

y

x xúc (E) :

y

x xúc (H) :

  t / xúc (P) : y2  2px  B p 2AC2 

 t / xúc (P) : y2  2px  B p2  2AC

 t / xúc (P) :x2  2py  A p 2BC2 

 t / xúc (P) :x2  2py  A p2  2BC.

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN:

a (a ;a ;a )   1 2 3  a a i a j a k   1  2  3 M(x; y;z)  OM  =x  i yj zk    

.

M

M

M

x

1 k

1 k

z

1 k



























M

M

M

x

2

2

z

2



























a (a ;a ;a );b (b ;b ;b )   1 2 3   1 2 3 a   b   ab 0    a.b    a b cos ; =(a,b)       

a.b a b    a b  a b



a   a  a  a  b   b12  b22  b23

c

b

ab

os =

a













a,b c ù ng ph ơng   a, b   0

.

 a,b   a ; a,b    b ; a,b    a b sin ;    (a,b)

.

1



 

a,bvà c đồng phẳng       a,b      c 0 

.

VABCD.A 'B'C 'D '    AB,AD AA '  

  

6

GV:Nguyễn Đức Bá- THPT TIỂU LA THĂNG BèNH -QN.

Phương trỡnh tổng quỏtcủa mặt phẳng :

0 0 0 0 0

VTPT n=(A;B;C): A(x-x



Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: Ax+By+Cz+D=0;(A 2 B2 C2  0).

Cỏc trường hợp riờng:

D 0:Ax+By+Cz=0  :mp qua gốc O 

A 0,B 0,C 0,D 0:By Cz D 0:mp//Ox       

A 0,B 0,C 0,D 0:By Cz 0: mp Ox       

B 0,A 0,C 0,D 0:Ax Cz D 0:mp//Oy       

B 0,A 0,C 0,D 0:Ax Cz 0:mp Oy       

C 0,A 0,B 0,D 0:Ax By D 0:mp//Oz       

C 0,A 0,B 0,D 0:Ax By 0:mp Oz       

Cz D 0:mp//(Oxy)   z 0:mp(Oxy) 

Ax D 0:mp//(Oyz)   x 0:mp(Oyz) 

By D 0:mp//(Oxz)   y 0:mp(Oxz) 

Phương trỡnh theo đoạn chắn : x y z

1,(a 0,b 0,c 0).

Vị trớ tương đối của 2 mp:  ( ) cắt ( )    A:B:C A':B':C' 

 A B C D

( ) ( )

A ' B' C' D'

      

 A B C D

( ) //( )

A ' B' C' D'

Chựm mp:  ( Ax+By+Cz+D)+ A'x+B'y+C'z+D')=0,(  (    2 2 0)

Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng : Ax+By+Cz+D=0 ,(A : B : C A ': B' : C')

Phương trỡnh tham số của đường thẳng : 00 12 2 2 2







Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng : 0 0 0 12 22 23

Vị trớ tương đối của 2 đt: d v à d' đồng phẳng   u,u    M M ' 0  0 

.

d v à d' cắt nhau   a : b : c a ' : b' : c' u.u' 



 

d che o d'   u,u'  M M0 '0  0



d//d'  a : b : c = a' : b' : c' (x  '0 x ) :0 (y'0 y ) :0 (z'0 z )0 .

 d d'   a : b : c = a' : b' : c'=(x'0 x ) :0 (y'0 y ) :0 (z'0 z )0

GV:Nguyễn Đức Bá- THPT TIỂU LA-THĂNG BèNH QN.

Vị trớ tương đối giữa đt và mp: d cú VTCP u (a;b;c)   ; ( )co  VTPT n=(A;B;C)   d cắt ( )   n.u 0    d    ( ) u cù ng ph ơng n    a:b:c=A:B:C.

  0  0 0

0

Aa+Bb+Cc=0 Ax







,(M0 d) d ( )  u 0 n  Aa Bb Cc 00 0 0





Khoảng cách từ điểm đến mp: 0 0 0

d(M ;( ))

0

 

.

Khoảng cách từ điểm đếnđt: 0 1

M M , u

u

 

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:  

u,u ' M M ' d( ; ')

u,u '

  

 

 

 Góc giữa 2 đường thẳng :

c ,(00 90 )0

os =

 

 Góc giữa 2 mặt phẳng :

os =

 



 Góc giữa đt và mặt phẳng :

Aa Bb Cc

 

Phương trình mặt cầu : Tâm I(a;b;c), bán kính R :(x a)  2  (y b)  2  (z c)  2  R2.

Phương trình mặt cầu : Tâm O, bán kính R : x2  y2  z2  R2.

P/t mặt cầu : Tâm I(-A;-B;-C), bán kính R :

Ax+2By+2Cz+D





( ) ti  ªp xóc ví i mÆt cÇu (S) t¹i H  d(I;(  )) R 

P.Pháp tìm H:

Lập p/trình đường thẳng  qua I và    ,(VTCP u   VTPT n )

     H

( ) (S)     d(I;( )) R   .

( ) (S) (C)     d(I;( )) R   :

P.Pháp tìm tâm H và bán kính r của (C):

Lập p/trình đường thẳng  qua I và    tại H,( VTCPu   VTPT n )      H

 r  R2  d (I;( ))2  ; (IH=d)

GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG BÌNH QN.

ĐẠO HÀM :

0

f '(x )

Quy tắc tớnh đạo hàm:

Tớnh   y f(x0  x) f(x )  0 Tỡm : 0

x 0

y

f '(x ) x

lim

 







Phương trỡnh tiếp tuyến với (C) tại M (x ;y ) (C)0 0 0  là:

 y y  0 f '(x )(x x )0  0 , f '(x ):hệ số goc của tiêp tuyên vớ i (C)0

Vận tốc tức thời: 0 0 0 0

t 0

t

lim

 

  



VI PHÂN :

 df(x ) f '(x ) x0  0   df(x) f '(x).dx hay dy y'dx  

 f(x0  x) f(x) f '(x ) x   0 

f(x) cú đạo hàm tại x 0 f(x) liờn tục tại x0

Định lý Lagrane:

Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn đoạn  a,b .cú đạo hàm trờn a,b 

thỡ c  a,b :f '(c)  f(b) f(a)

b a



Tớnh đơn điệu : f'(x) 0, x     a,b   f(x)đồng biên trên khoảng đo.

f'(x) 0, x     a,b   f(x)nghich biên trên khoảng đo.

Định lý Fermat:

 Nếu hàm số y = f(x) cú đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đú thỡ f '(x ) 00 

í nghĩa hỡnh học: Tiếp tuyến tại M(x ,y )0 0 song song với trục hoành.

Cực trị : y’ đổi dấu từ    : Hàm số đạt cực đại.

 y’ đổi dấu từ    : Hàm số đạt cực tiểu

f '(x) 0,f "(x) 0    x là điểm cực 0 tiểu

f '(x) 0,f "(x) 0    x là điểm cực 0 đại.

f(x) xỏc định trờn D: 

D

x D:f(x) M



D

x D:f(x) m

GTLN và GTNN của hàm số trờn 1 khoảng:

 Lập bảng biến thiờn của h/ số trờn  a,b ,nếu cú 1 cực trị duy nhấtGTNN(GTLN).

GTLN và GTNN của hàm số trờn 1 đoạn:

a,b a,b

và

maxf(x) minf(x)

Tỡm cỏc điểm tới hạn x ,x của f(x) trên đoạn a,b1 2  

Tớnh f(a),f(b),f(x ),f(x ) 1 2 Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn Tớnh lồi lừm và điểm uốn :

 f "(x) 0, x     a,b   Đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.

 f "(x) 0, x     a,b   Đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.

Tiệm cận :



0

0

x x

x x :TC§

limf(x)





x

limf(x)

 



x

x

f(x) a

lim

lim

 

 











.

KHẢO SÁT HÀM SỐ:

I/Hàm số bậc 2: y ax 2bx c,(a 0) 

 a > 0  a < 0

II/Hàm số bậc 3: y ax 3bx2cx d,(a 0) 

III/Hàm số trùng phương: : y ax 4bx2c,(a 0)

IV/Hàm số phân thức: y ax b ,(c 0,ad bc 0)

cx d





a'x b'

 y’=0 có 2 nghiệm  y’ < 0

Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị :

(C) tiếp xúc (C’) f(x) g(x)

f '(x) g(x)





 





có nghiệm

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :

 Dạng 1:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở trên trục hoành  Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục hoành

(Bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox).

 Dạng 2: Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải

trục tung.(Bỏ phần đồ thị bên trái).

Lấy đối xứng phần đồ thị đã giữ lại qua

trục tung

 Dạng 3: Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở trên trục hoành Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị

được giữ lại (Bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành)

 Dạng 4: Giữ lại phần đồ thị (C) với x x  0 Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) còn lại qua trục hoành khi x x  0 (Bỏ phần đồ thị của (C) khi x x  0)

P(x) ,Q(x) 0 Q(x) P(x) y Q(x) P(x) ,Q(x) 0 Q(x)          Cách giải tương tự như trên GV:NguyÔn §øc B¸- THPT TIỂU LA-THĂNG BÌNH QN

f(x),f(x) 0

y f(x)

f(x),f(x) 0







f(x),x 0

y f(x)

f( x),x 0







f(x) 0

y f(x)









P(x) ,P(x) 0

y

,P(x) 0 Q(x)









