Các câu còn lại 1 điểm.. Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ.. Có nhiều cách làm.
Trang 1Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu còn lại 1 điểm
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ
Câu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 √ 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 )
5
√
z = z k = 10√
5 0
c o s 3 π/4 + k2 π
5 + i s in
3 π/4 + k2 π
, k = 0 , 1 , , 4
Câu 2 X = A −1B T
− 2 I, A −1 =
Suy ra X =
−2 3 −4 1 1
−1 9 −5 8
Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β)
Câu 4. Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = √
3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 =√
3 2
Câu 5. Có nhiều cách làm Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 , −5 , −8 ) , f( 0 , 0 , 1 ) = ( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A =
1 8 −1 2 −1 2
Ứng với trị riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A − 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T
Suy ra tất cả
các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α − β, β)
Câu 6 f( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 1 ) ] E = ( −1 , 5 , −4 ) T;
f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ] E = ( 1 , 2 , 0 ) T
f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ] E = ( 1 , 0 , 1 ) T Ma trận cần tìm: A =
−1 1 1
−4 0 1
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A =
−2 8
Chéo hóa trực giao A = P DP T
, trong
đó D =
9 0
0 4
, P =
√
√
−2
√
√
Dạng chính tắc cần tìm: f( y1, y2) = 9 y2
1 + 4 y2
2 Phép đổi biến X = P Y
Câu 8. Ta có A3
( X1) = A( A( AX1) ) = A( AX2) = AX3 = X1 Suy ra X1 là vécto riêng của A3 ứng
với trị riêng λ1 = 1
Tương tự 2 vécto X2, X3 đều là vécto riêng của A3
ứng với trị riêng λ1 = 1
Vì X1, X2, X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3 Suy ra A3
chỉ có một trị riêng
và A3
= I.