[r]
Trang 1ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Một số lưu ý chung:
Để học sinh cĩ kiến thức vững để giải các bài tốn dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
1) phương trình f(x) = m cĩ nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
2) Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục trên [a; b]
Khi đĩ: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M
*) f(x) m cĩ nghiệm thuộc [a; b] m maxf(x)
*) f(x) m vơ nghiệm thuộc [a; b] m > maxf(x)
*) f(x) m cĩ nghiệm x [a; b] m minf(x)
Các ví dụ :
A) Phương trình:
Ví dụ 1:
Xác định m để phương trình sau cĩ nghiệm :
m( 1x2 1 x2 2)2 1 x4 1x2 1 x2 (
1)
Điều kiện: x 1
Đặt t = 2
1 x = 2 – t2 Vậy phương trình (1) cĩ nghiệm f(
2 m f 2 1 m 1
Ví dụ 2:
Tìm m để phương trình: 3 x 1 m x 1 24 x2 1
(1) có nghiệm
Điều kiện: x 1
(1) 3 1 4 1
2
m
Đặt: t = 4 1
1
x x
1 1
x
điều kiện: 0 t 1
Khi đó phương trình trở thành:
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau có hai
nghiệm phân biệt
x2 + 2x – 8 = m x ( 2) (1) Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 4:
Tìm m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 3 3]
log x log x 1 - 2m – 1 = 0 (1) Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc
[1; 3 3] 2 2m + 2 5 0 m 1,5
Ví dụ 5:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x + 44
cos
m
x = 0 (1)
Điều kiện: x
Dựa vào bảng biến thiên pt có nghiệm -0,5 < m 0
Ví dụ 6:
Tìm m để pt sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + 1 = 0 (1)
Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm khi
m < - 0,5 hoặc m 4 2 5
Ví dụ 7:
Tìm a để phương trình:
2
x
x x
+ a (1) có nghiệm duy nhất
Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) tại một điểm duy nhất a Vậya phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Ví dụ 8:
Giải phương trình: x + x2 2 x 2 = 3x-1+1 (1)
(1) x – 1 + x2 2 x 2 = 3x – 1
2
1
a x
1
a x
(*) Xét f(a) = ln(a a2 1) – aln3
f ’(a) = 12
1
a - ln3 < 0 , a
Vậy f(a) nghịch biến trên R và f(0) = 0 nên (*) nghiệm duy nhất a = 0 Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1
Ví dụ 9
Giải phương trình : 4 x 1 + 4 x 2 1 = 1 (1)
Do f liên tục và đồng biến trên (0,5; +) , f(0,5) = 1 nên (1) f(x) = f(0,5) x = 0,5
Ví dụ 10:
Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (*)
Xét: f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 , x = 1
III) Các bài tập:
1) Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước
a) x3 – 3x = m với 2 x 3 b) x2- 6lnx – m = 0 với 1 < x < e
Trang 2TT LT ĐH-CĐ-252- Lý Thái Tổ - Huế GV : Lê Văn Hùng – D Đ : 0976.207.747
c) 4sin6x + cos4x – a = 0
2) Biện luận số nghiệm phương trình:
a) 3x4 – 10x3 + 6x2 = m
b) 2 x 1 + 5 x = m
c) X3 + mx + m = 0
3) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm:
1
x + 3 x - x 1 (3 x ) = m
4) Tìm điều kiện m để phương trình sau có đúng một
nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)
a) 4 x4 13 x m + x – 1 = 0
b) 4 x 2 1 - x = m
5) Tìm m để pt sau có nghiệm:
2
3
sin x + 3 tg
2x + m(tgx + cotgx) = 1 6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m
8) biện luận theo k số nghiệm x ;
4 4
của phương trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x
9) Tìm tất cả giá trị m để phương trình có nghiệm duy nhất
trên đoạn 0;
2
2cosx cos2x.cos3x m = 7 cos2x
10) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a) x +3 = m x 2 1
b) x + m = m x 2 1
c) x 1 + 4m4 x2 3 x 2 + (m + 3) x 2 = 0
11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:
4 x 2 x 1 4 x 2 x 1 = 2m
x x m x x m = 6
12) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực
phân biệt :
a) 1x 8 x 1x(8 x) = m
b) 4 2x 2x24 6 x2 6 x = m
13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + 3 = 0
b) x x x12 m( 5 x 4 x)
c) 2x + x x 7 2 x2 7x
14) Tìm m để phương trình :
sinx + 2 cos
2
x
= m( cosx + 2sin
2
x
) có nghiệm trong đoạn {0 ;
2
}
B) Bất phương trình:
1) Ví dụ 1:
Tìm m để bất pt m( x2 2 x 2 + 1) + x(2- x) 0 có nghiêm thuộc [0; 1+ 3]
Vậy bất phương trình có nghiệm x [0; 1+ 3]
m M[1;2]ax ( ) f t = f(2) m 2
3
Ví dụ 2:
Vớùi giá trị nào của m thì bất pt sin3x + cos3x m , x (1) Đặt t = sinx + cosx = 2 cos( )
4
x , điều kiện : t 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x 2m -2 m - 1
Ví dụ 3:
Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 , x (1)
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) m 4 27
Ví dụ 4:
Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)
a) Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]
b) Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2] ĐS:
a/ (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < 1 b/ (1) có nghiệm x [0; 2] Minf(x) > m m < -1
Ví dụ 5:
Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả
x [0; 1]
px + 1
3 2
x
qx + 1 (1) Dựa vào bảng biến thiên ta có: p minf(x) và
q maxf(x) p 2 2 1 và q 2
Ví dụ 6:
Cho bất phương trình: x a x b x c (1) với
a > b > c a) chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm b) Giải bất phương trình: x 4 x 1 x 4
(2) Đs: đTa có f(5) = 5 4 5 1 5 4 = 0 VaÄy bất phương trình (2) có nghiệm là ( 5; +)
Ví dụ 7:
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với x > 0
(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < 0 (1) Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x > 0
bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1 m -2
Ví dụ 8:
Giải bất phương trình :
2
7 x 7 7 x 6 2 49 x 7 x 42 < 181 – 4x
Trang 3Điều kiện:
2
x x
7
Đặt: f(x) = 7 x 7 7 x 6 2 49 x2 7 x 42 + 4x
f ’(x) = 7 7 982 7
x
, x 6
7
Vậy f(x) đồng biến trên (6
7 ; +) và f(6) = 181
Khi x < 6 thì f(x) < f(6) f(x) < 181
Vậy nghiệm bất phương trình là S = [6
7 ; 6)
Ví dụ 9:
Giải bất phương trình: 3 2
2 x 3 x 6 x 16 >
2 3 4 x
Điều kiện:
x
2 (2 2 8) 0
x
- 2 x 4 Xét hàm số f(x) = 3 2
2 x 3 x 6 x 16 - 4 x
f ’(x) =
2
2 4
x
> 0 ,
x (-2; 4)
Suy ra f đồng biến trong khoảng (-2; 4)
Do đó nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = 2 3
2 x 3 x 6 x 16 - 4 x > 2 3
2 x 3 x 6 x 16 > 4 x + 2 3
Vậy khoảng nghiệâm của bất phương trình là : (1; 4)
2) BaØi tập:
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x
– 2(m + 3) < 0
2) Xác định m sao cho x đều là nghiệm bất phương trình:
22+cos2x + 21 cos 2x 2sin 2x
3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm
sin cos sin
m
Hướng dẫn: Đặt t = 2sin 2x điều kiện1 t 2 thì sin 2
3 x =
2 log 3
log 3 sin
(1)có dạng: t + log 32
3
log 3
.
m t
Xét f(t) = 2
2 log 3 1
log 3
3
t
t
với 1 t 2)
C Hệ phương trình 1) Hệ phương trình dạng:
(1) (2)
( , ) 0
f x f y
g x y
Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giải theo hai hướng sau: Hướng 1: (1) f(x) – f(y) = 0 (3)
Tìm cách đưa (3) về một phương trình tích
Ví dụ 1: Giải hệ :
(1)
3 (2)
y x
Ví dụ 2:
Giải hệ:
y
x
với x, y
R
Do đó hệ có nghiệm duy nhât x = y = 1
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0
2
2
2008
1 2008
1
x
y
y e
y x e
x
(*) ( đề dự bị 2007)
Điều kiện:
2 2
1 0
1
1 0
1
x
x y
y
(*)
2
1
(2)
x
y e
y
Xét hàm số: f(t) = 2
1
t t e
t
, t > 1
f ’(t) =
2 2
2
1
1 1
t t
t
> 0
t > 1 Vậy f(t) đồng biến trên (1; +) Từ (2) ta có f(x) = f(y) x = y Thay vào (1) ta có:
2
2008
1
e
x
Trang 4TT LT ĐH-CĐ-252- Lý Thái Tổ - Huế GV : Lê Văn Hùng – D Đ : 0976.207.747
Xét hàm số : g(x) = 2 2008
1
x x e
x
= 0 (*) g’(x) = ex -
x
x
g”(x) = ex +
2 1 52
x
x > 0 , x > 1
g’(x) đồng biến và liên tục trên (1; +) và đổi dấu
Vì lim '( )1
và g’(2) = e2 – 1
3 3 > 0
Nên g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x =
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hoành tối đa
2 lần
phương trình (*) có tối
đa 2 nghiệm
hệ phương trình có đúng
2 nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0
Ví dụ4:
Giải hệ : 1
1
x
y
Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) và ( 1; 1)
Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình:
ln(1 ) ln(1 )
(*) ( Đề dự bị khối D 2006)
Nếu xy < 0 thì vế trái của (1) luôn dương, phương trình không
thoả mãn
Nếu x = y thay vào (1) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 6:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
(I) Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm 2
m 2 2
Do đó hệâ có nghiệm khi 2 m 2 2
Ví dụ 7:
Chứng minh rằng m hệ phương trình sau có nghiệm duy
nhất
(I)
Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy
nhất x > 0 m > 0 Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi m > 0
Ví dụ 8:
Tìm m để hệ sau có nghiệm: cos cos
vậy hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm - 13
m 13
Bài tập luyện tập:
1) Giải hệ phương trình: 1
x
2) Tìm m để hệ phương trình cos cos 1
cos3 cos 3
nghiệm:
3) Giải hệ :
2
2
2
2
y x
x y
4) Giải hệ
2) Hệ phương trình có ẩn không thay đổi khi hoán vị vòng quanh
Khi giải hệ này cần chú ý:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max (x, y, z) x y, x z
Ví dụ1:
Giải hệ phương trình:
Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + 1
f ’(t) = 3t2 – 6t + 5 > 0 , t Do đó f(t) đồng biến Hệ phương trình có dạng
( ) 4 ( ) 4 ( ) 4
Vì hệ không đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z nên
ta có thể giả thiết x y, x z Nếu x > y f(x) > f(y) 4y > 4z y > z
f(y) > f(z) z > x mâu thuẫn Nếu x > z f(x) > f(z) y > x mâu thuẫn Vậy x = y = z
Từ một phương trính trong hệ ta có: x3 – 3x2 + x + 1 = 0
(x – 1)( x2 – 2x – 1) = 0 1
x x
Do đó nghiệm của hệ là: 1
Trang 5Nhận xét : Xét hệ có dạng:
f x g y
f y g z
f z g x
Nếu hàm số f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến)
thì lý luận như trên ta có x = y =z
Ví dụ 2:
Giải hệ :
(I)
(I)
3 3 3
( ) ( ) ( )
Từ phương trình (1) ta có y3 = 6(x2 – 2x +8
6) = 6(x – 1)
2 +
1
3 2 y 32
Tương tự ta có: x 3 2, z 3 2
Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8
f ’(t) = 12x – 12 > 0 , t 32 Vậy f(t) đồng biến trên [3 2; +)
Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z
do đó có thể giả thiết x y, x z
Nếu x > y f(x) > f(y) y3 > z3 y > z f(y)
> f(z) z3 > x3 z > x mâu thuẫn
Nếu x > z f(x) > f(z) y3 > x3 y > x mâu
thuẫn
Suy ra x = y = z
Từ một phương trình trong hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - 8 = 0
(x – 2)3 = 0 x = 2 Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2
Bài tập luyện tập:
1) Giải hệ :
2) Giảøi hệ:
3) Giải hệ:
3 2
3 2
3 2
1 2 4 1 2 1 2 4
x x y
y y z
z z x
4) Chứng minh a hệ sau có nghiệm duy nhất :
2 3
2 3
2 3
x y y a
y z z a
z x x a
5) Tìm a để hệ:
2
2
2
chỉ có nghiệm dạng x = y =z
6) Chứng minh rằng a > 0 hệ phương trình:
ex ey ln(1 x ) ln(1 y )
y x a
có nghiệm duy nhất
7) Tìm m đệ hệ phương trình sau có nghiệm thực:
5
8) Giải hệ:
( 1) ln ( 1) ln ( 1) ln
x y y y
y z z z
z x x x
log 1 3sin log (3cos ) log 1 3cos log (3sin )
10) Giải hệ:
Hướng dẫn:
1) Nếu một trong ba số x, y, z bằng 1 Giả sử x = 1 thì y – 1 = ylny
Xét f(y) = y – 1 – ylny
f ’(y) = - lny; f ’(y) = 0 y = 1 và f(1) = 0 0< y < 1 thì f’(y) > 0 suy ra f(y) > 0
y > 1 thì f’(y) < 0 suy ra f(y) < 0 vậy y = 1 là nghiệm duy nhất
Nếu x 1 theo trên y, z 1 hệ đã cho
ln 1 ln ( 1) ln ( 1)
y y x y
z z y z
x x z x
hệ vô nghiệm
Trang 6TT LT ĐH-CĐ-252- Lý Thái Tổ - Huế GV : Lê Văn Hùng – D Đ : 0976.207.747