Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện

Tính ố chính phương ến x: điểm.. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng các diện tích ba hình vuông nhận được.. Tính quãng đường từ nhà bạn An đến trường.. Xác định vị trí của các điểm E và F để

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Năm học 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 /4/2011

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 5 bài, gồm 1 trang.

Bài 1: (3 điểm)

x

x x x

1 : 1 3

1 1

2 3

a) Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây:

abcd : dcba = q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên

b a

c b a

Bài 5: ( 5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M là một điểm nằm giữa A và B Vẽ về một phía của

AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D Gọi I là trung điểm của CD

a Tính khoảng cách từ I đến AB

b Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào?

Hết

Họ tên thí sinh: Chữ kí của giám thị1:

Số báo danh: Chữ kí của giám thị 2:

1

* Giám thị không giải thích gì thêm.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Năm học 2010-2011 MÔN : TOÁN

Hướng dẫn chấm này có 2 trang

1 : 1 3

1 1

2 3

3

6 2 2 1

3

3 1 1 1

2 3

2

1

3

3 2 1 1

2 3

2 1

3

3 3 1 1

2 3

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

0,5

1,5

) 1 (

2 ) 1 ( 2 1

11

19 34

0  x  x  và 2x+1ẻZ

 0≤12x+8 <11  -8≤ 12x < 3 

2

3 1 2 3

1 2

1 2 3

Bài:3

(3 điểm)

Gọi x(km/h) là vận tốc ca nô xuôi dòng (ĐK: x>12)

Vận tốc ca nô khi nước lặng là : x-6 (km/h)

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: x-12 (km/h)

Thời gian cả đi và về của ca nô là 4,5 giờ nên ta có phương trình:

2

9 12

36 36







x x

0,5

1,02

S D C

ị x=4 (Loại) và x=24(thoả món điều kiện)

Vậy vận tốc của ca nụ khi xuụi dũng là 24km/h

1,00,5

Bài:4

(5 điểm)

a) abcd : dcba = q Vỡ q≠1 ị q=4 hoặc q=9 a;d phải là những số thuộc

1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 a≠ 0, d≠ 0

Do abcd = dcba x q nờn d <3 ị d =1

Giả sử q=4 khi đú 1cba x 4=abc1(vụ lớ ) vỡ 1cba x 4 phải là một số chẵn

0,50,5b) Đặt x = b+c –a , y = a+c-b , z = a+b –c  (x,y,z >0)  x+y+z =

a+b+c và 2a = a+b+c – (b+c-a) =x+y+z-x = y+z

2

z y

 tơng tự :2

; 2

y x c z x

BĐT chứng minh tơng đơng với :       6

z

y x y

z x x

z y

y z

x x

z y

x x

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

1,01,00,5

BM DF

AM



CE+DF=

4 2

2

a IH a AB





b) Khi M di chuyển trên AB

là trung điểm của AQ

, S là trung điểm của BQ , Q

là giao điểm của BL và AN)

(Bµi h×nh häc sinh kh«ng vÏ h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm)

PHÒNG GI O D C V ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- À ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ĐÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- O T O ẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- THI H C SINH GI I- N M H C 2011- ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỎI- NĂM HỌC 2011- ĂM HỌC 2011- ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012

HUY N HO NG HO MÔN THI: TO N - L P 8 ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỚP 8

Th i gian l m b i: 120 phút (Không k th i gian giao ời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao àm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao àm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao ể thời gian giao ời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao )

a) Gi i phải phương trình: x ương trình: xng trình: x6 – 7x3 – 8 = 0

b) Ch ng minh r ng: N u 2n + 1 v 3n + 1 (n ức A = ằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: ến x: ào biến x:  N) điểm) ều là các số chính phương ào biến x:u l các s chính phố chính phương ương trình: xng thì n chia h t cho 40.ến x:

B i 4 ài 1 :(6,0 i m) điểm) ểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nh n, các ọn biểu thức A điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng cao BD, CE c t nhau t i H.ắt nhau tại H ại H

a) Ch ng minh ức A = ABD  ACE

b) Ch ng minh BH.HD = CH.HE.ức A =

c) N i D v i E, cho bi t BC = a, AB = AC = b Tính ố chính phương ến x: điểm) ộc vào biến x: ào biến x: điểm) ại H d i o n th ng DE theo a,ẳng DE theo a,

b

B i 5 ài 1 : (3.0 i m) điểm) ểm)

a) Gi i phải phương trình: x ương trình: xng trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1)

b) Cho hai s a, b tho mãn a + b 0 Ch ng minh r ng: aố chính phương ải phương trình: x ≠ 0, ức A = ằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 2 + b2 +

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

b) (1,0 điểm) A > 0  1 – 2x > 0  x < 1

2Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < 1

2

0,5 đ0,5đ



0,75đ0,75đ0,5đ

0,5đ0,5đ

0,5đ0,5đb) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8

0,5đ0,5đ

5

Bài 4

(6,0điểm)

a) (2,0điểm) Chứng minh được ABD  ACE

H

b) (2,0điểm)

Chứng minh được BHE  CHD

Suy ra BH.HD = CH.HE

1,0đ1,0đc) (2,0điểm)

Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A Suy ra được DE // BC DE AD

0,25đ0,5đ0,25đ0,5đ

B i 5 ài 1

(3,0 i điể ể

m)

a) (1,5điểm)

Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình

Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với 8 4 2 1 22 1

4 4( 1) 4

x x

  ≥ 2  (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2

 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0

 (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0

 (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0

 [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,5đ

7

A

DE

HF

HUYỆN TĨNH GIA ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

x x

4

12 10 2

3 2





 bằng 02- Rút gọn với n là số nguyên dương

15

1 1 8

1 1 3

1

8

Bài 2 ( 3,5 điểm )

3 1

1 1

1

2 4 2

x

x x

x x

2- Chứng tỏ rằng phân thức    

1

· 1

2 2 2

2 2 2

x a a a x

không phụ thuộc vào x

3- Cho hình vuông ABCD, I là một điểm nằm trên cạnh AB Tia DI và tia

CB cắt nhau tại K Tia Dx  DK và cắt đường thẳng BC tại L

a- Chứng minh tam giác DIL cânb- Chứng minh khi I di chuyển trênđoạn thẳng AB thì 2 2

1 1

DK

DI  có giá trị không đổi

c a a

2 2

Bài 4 ( 2,0 điểm )

Người ta chia một đoạn thẳng dài 12 cm thành 3 phần và dựng các hình

vuông có ba cạnh là ba đoạn ấy Tính giá trị nhỏ nhất của tổng các diện tích ba hình

vuông nhận được

Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GD - ĐT HUYỆN TĨNH GIA

9

Bài 1 (2 điểm):

1 Để phân thức:

x x

x x

4

12 10 2

3 2

2 ( 0 4 0 12 10 2

3 2

x x x

2 Rút gọn với n là số nguyên dương

2

) 1 ( 2 2

1

5

4 4

3 3

2

1

) 1 (

5 3

4 4 2

3 3 1

2 2

1 1

15

1 1 8

1 1

2 2 2

n n

n

n n

n n

x

x x

x x

0

0 1

0 4

2 1

0 4

2 1

2 4

2 2

2 2

x x

x

x x

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

) 1

(

1 )

1

(

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

a a a

a x

a a x a

a a

a

x

a a a

a

x

x a a a ax x

x a a a ax x x

a a a

x

x a a a

Do đó: ACL = DAI (Cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra: ID = DL (Cạnh tương ứng)

Nên: DIL cân tại D

b) Theo công thức tam giác ta có:

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

1 1

1 1

.

1

.

2

1 2 1

CD DK

DL CD

DL DK

DL DK CD

DL DK

KL

DL DK KL CD

DL DK KL

DI   Không đổi CD (Cạnh hình vuông)

Bài 3 (2,5 điểm): Chứng minh rằng: Nếu c2  2 (ab ac bc)  0 ;bc;abc

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

2 2

) (

) (

) (

2

c b a c b

b a c b a c

b a

c b

bc ac ab c

Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)

b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)

) ( )

2 2 2 )(

(

) 2 2 2 )(

( ) ( ) 2

)(

(

) ( ) 2 )(

( ) (

) (

2

2 2

2

2 2

dfcm c b

c a c b a c b

c b a c a c

b c b a c b

c a c b a c a c

(Lời giải mang tính chất tham khảo)

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

c Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương

Câu 2 (4 điểm): Giải các phương trình:

a (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

b

2 2

Câu 3 (4 điểm): Bình thường, bạn An đi học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h thì

đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút Nhưng hôm nay, do dậy muộn so với bình thường

29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học Tính quãng đường từ nhà bạn An đến trường

Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD

sao cho AE = AF Gọi H là hình chiếu của A trên DE

a Chứng minh AD2 = DH.DE

b Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng

c Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH

Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3

Tính giá trị của M biết xy = 1 và x y đạt giá trị nhỏ nhất

= 16 2 8 :4 (2 1)(1 2 )(1 2 ) 2 1

1đ A > 0

2 0

2x 1



  2x  1 0 1

2

0.50.5

x x

2đ

2 2

 x = 3

26



0.50.5

0.50.53

4đ Gọi quãng đường từ nhà bạn An đến trường là x (km) ĐK x > 0

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 5km/h là

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian

đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ Ta có phương trình:

5

x

- 7.5

x

= 0.4Giải ra được x = 6

x = 6 thoả mãn đk x > 0 Vậy quãng đường cần tìm là 6 km

0.250.50.5

0.5

10.254

6đ

a

2đ Xét hai tam giác vuông ADE

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

Và HAD có chung góc nhọn ADH nên chúng đồng dạng.

Suy ra

AD

DE DH

AD



DE DH



10.50.5

AD



HA

AF HD

2đ Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng

S

AFH CDH

9 9

S

AFH CDH

0.5

0.50.5

0.55

0.50.50.5

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

Vậy M = 2 hoặc M = 8 0.5

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

(§Ò thi gåm cã 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS CẤP HUYỆN

N M H C: 2010 - 2011 ĂM HỌC 2011- ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011-

Môn thi: Toán

Th i gian l m b i: 150 phútờng cao BD, CE cắt nhau tại H ào biến x: ào biến x:

Ng y thi: 16/ 04/ 2011ào biến x:

b) Tìm giá tr l n nh t c a ị biểu thức P = ất của ủa A

Câu 2 ( 4 i m): Cho a th c điểm) ểm) điểm) ức A = P x( )x4 x36x2 40x m  1979

a) Tìm m sao cho P x( ) chia h t cho ến x: x  2

b) V i mtìm điểm) ược, hãy giải phương trình c, hãy gi i phải phương trình: x ương trình: xng trình P x( )= 0

Câu 3 (4 i m): điểm) ểm)

Lúc 8 gi , An r i nh mình ờng cao BD, CE cắt nhau tại H ờng cao BD, CE cắt nhau tại H ào biến x: điểm) ểm) điểm) điểm) ến x: i n nh Bình v i v n t c 4 km/h Lúc 8 giào biến x: ận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ ố chính phương ờng cao BD, CE cắt nhau tại H

20 phút, Bình c ng r i nh mình ờng cao BD, CE cắt nhau tại H ào biến x: điểm) ểm) điểm) điểm) ến x: i n nh An v i v n t c 3 km/h An g p Bìnhào biến x: ận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ ố chính phương ặp Bìnhtrên điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng r i c hai cùng i v nh Bình, sau ó An tr v nh mình Khi v ải phương trình: x điểm) ều là các số chính phương ào biến x: điểm) ở về nhà mình Khi về đến ều là các số chính phương ào biến x: ều là các số chính phương điểm) ến x:n

nh mình An tính ra quãng ào biến x: điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng mình i d i g p b n l n quãng điểm) ào biến x: ất của ố chính phương ần quãng đường Bình đã điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng Bình ãđiểm)

i Hãy tính kho ng cách t nh An n nh Bình

điểm) ải phương trình: x ừ nhà An đến nhà Bình ào biến x: điểm) ến x: ào biến x:

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

CH NH TH C

ĐỀ CHÍNH THỨC ÍNH THỨC ỨC

Câu 4 (6 i m): điểm) ểm)

Cho hình vuông ABCD G i ọn biểu thức A E l m t i m trên c nh ào biến x: ộc vào biến x: điểm) ểm) ại H BC (E khác B v ào biến x: C).Qua A k ẻ Ax vuông góc v i AE, Ax c t ắt nhau tại H CD t i ại H F Trung tuy n ến x: AI c a tam giácủa

AEF c t ắt nhau tại H CD ở về nhà mình Khi về đến K Đường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng th ng k qua ẳng DE theo a, ẻ E, song song v i AB c t ắt nhau tại H AI ở về nhà mình Khi về đến G

a) Ch ng minh ức A = AE = AF v t giác ào biến x: ức A = EGFK l hình thoi.ào biến x:

b) Ch ng minh ức A = AKF điểm) ng d ng v i ại H CAF v ào biến x: AF2 = FK FC

c) Khi E thay điểm) ổi trên i trên BC, ch ng minh chu vi tam giác ức A = EKC không điểm) ổi trên i

PHÒNG GI O D C V ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- À ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ĐÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- O T O ẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011-

HUY N NGA S N ƠN

H ƯỚP 8 NG D N CH M ẪN CHẤM ẤM

K THI CH N H C SINH GI I L P 6,7,8 N M H C 2010 - 2011 Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2010 - 2011 ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- ỎI- NĂM HỌC 2011- ỚP 8 ĂM HỌC 2011- ỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011-

Môn thi: Toán l p 8 ớp 8 Câu ý Tóm t t l i gi i ắt lời giải ời giải ải Đ ể i m

T (1) v (2) suy ra ừ nhà An đến nhà Bình ào biến x: max 8

1

x x

Câu

3

4đ G i kho ng cách t nh An b ng km) Theo b i ra ta có quãng ằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:ọn biểu thức A. ải phương trình: x ào biến x:ừ nhà An đến nhà Bình. ào biến x: điểm) ến x:n nh Bình l điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ào biến x: ng An ã i ã l 2ào biến x:điểm) điểm) điểm) ào biến x:x (x>0, x ođiểm) x,

suy raquãng điểm) ường cao BD, CE cắt nhau tại H.ng Bình ã i l điểm) điểm) ào biến x: 2

(gi ), th i gianờng cao BD, CE cắt nhau tại H ờng cao BD, CE cắt nhau tại H

Bình i t nh điểm) ừ nhà An đến nhà Bình ào biến x: điểm) ến x:n khi g p An l ặp Bình ào biến x:

12

x

(gi )ờng cao BD, CE cắt nhau tại H

Theo b i ra, ta có phào biến x: ương trình: xng trình: 3 1

E

Fx

IKG

Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, BAE CAF

( Cùng phụ với DAE ) Vậy ABE ADF  AE AF

Vì AE AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF  AI 

EF Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG IFK ( So letrong) nên IEG= IFK

 EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song

và bằng nhau nên là hình bình hành

Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF vuông góc nên

là hình thoi

0.50.50.50.5

Suy ra tam giỏc AKF đồng dạng với tam giỏc CAF

Vỡ tam giỏc AKF đồng dạng với tam giỏc CAF nờn ta cú:

c.

2.0 đ

Theo ý a, ta cú ABE ADF nờn EB = FD

Tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi nờn EK=KF

Do đú, chu vi tam giỏc EKC bằng EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( khụng đổi)

-0.50.51.0

Cõu5

2điểm) Từ điều kiện đó cho ta cú:

a 13 2a 1 2008 0 (1), b 13 2b 1 2008 0 (2)Cộng theo vế của (1) và (2) ta cú

a 13 b 13(a b  2) 0

     2

2(a b 2) ( a 1) a 1 b 1 b 1  2(a b 2) 0

     2

2(a b 2) ( a 1) a 1 b 1 b 1 2 0

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

LỚP 8 N¨m häc: 2011 - 2012

3 1

2

x

x x

a) Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC Tính: BC, AH

b) Kẻ HMAB, HNAC Chứng minh: AMN ACB

c) Trung tuyến AK của tam giác ABC cắt MN tại I Tinh diện tích tam giác AMI

2 Cho tam giác ABC cân tại A, có BAC = 1080 Tính tỷ số BC AC

b c b a

b a

- Hết

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

m Câu

) ( 1

x

loai x

Vậy (1) có nghiệm x = -

2

5

; x = 2 7

) 3