1 và N > 0
loga N 0 1 0 N a a
và
( a > 0, a 1 ) * a > 1 :
* 0 < a < 1 :
Trang 2
lnx ' 1
x và ln x ' 1
x
lnu ' u'
u và ln u ' u'
u à hà
log ' 1
ln
a x
x a và log ' 1
ln
a x
x a
log ' '
.ln
a
u u
u a và log ' '
.ln
a
u u
2
1 log
5
x y
x
1 2
1 1
0 0
1 1
x
x
x x
x x
1;
b/
2
5
1 log log
3
x y
x
0<a<1
y=logax
y
O
a>1
y=logax
1
y
x
O
Trang 32 2
2 3
2
1
3
3
x
x
3; 2 2; 7
x
Bài 2 Tính giá
a
5
1
2 3 log 2
b
3
1
log 9 log 6 log 4
2
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2 log 6 2 log 4
d
-GA-RÍT
Bài 1
a A log 15 log 18 log 10
Trang 43 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
A
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
B
3
B
6
1 log 2 log 3
2
C
6
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
4
log log 4.log 3
D
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
D
Bài 2 Hãy tính
a log2 2 sin log2 os
1
B
B
c C log tan 410 log cot 410
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0
C
d D log4 1log 2164 2 log 104 4 log 34
3
x
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
log 6 log 10 log 3 log
x
Trang 5Bài 3 Hãy tính :
loga
A a a a
1 1 3
2 5 10
loga
1
1 1
2
3
c
5 3 3 2
log
a
a a a
a a
3 2 1
2 4
a a
a a
a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A
f
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
Bài 4
Trang 6a 2 2 2
logc b a logc b a 2 logc b a.logc b a
2 loga loga
logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a
1
, , 1
a b c
2
b ac
2 log log log
logx a, logy b, logz c
2 log log
log log
b
logx a, logy b, logz c logx a logz c 2logy b
2 log log
log
b
y
7
2 2
3
a b
ln ln
a b
e
ax
log log log
1 log
a
bx
x
ax
log
log ax 1 log
x
f
Trang 71
loga loga loga k 2 loga
k k
2 log
k
a
k k
x
Bài 1 Tính
a A log 166 log 2712 x
6
log 16
4
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
b C log 1353 log 52 a; log 32 b
2
log 3
C
c D log 356 log 527 a; log 78 b; log 32 c
Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
b a b D
d Tính : log 3249 log 142 a
Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
Bài 2
a A loga b logb a 2 loga b logab b logb a 1
2
log
a
a
b
b
Trang 8log 1 log log 1 1 log 1 log
a
b
b
a
1
2
x x
log log 1
x x
1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x 1
c C loga p logp a 2 loga p logap p loga p
2
2
a 3 2
x a b c
2
b
4 3
3
a b
x
c
Ta có :
4 3 3
a b
c
2 4 2
4
3
a bc
x
ab c
Ta có :
2 4 2
4 3
a bc
ab c
Bài 4
Trang 9a log 3 log 2 1 log log
2
2
1
2
loga b loga c
c b ; loga b.logb c.logc a 1
loga ; logb ; logc
loga b loga c
c b
loga b loga c loga c loga b loga c loga c
* loga b.logb c.logc a 1 loga b.logb a loga a 1
2
loga logb logc loga logb logc 1
1 log 4 log
3 Ta có :
log 4 log 3 1; log log 4 1 log 4 log
log 1,1 log 0,99
3 7 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
Bài 1
a/ log0,4 2 log0,20,34
Trang 10Ta có : 0,4 0,4
log 0, 3 log 2
0, 3 1 log 0, 3 log 1 0
log log
Ta có :
5
1 log
Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2 d/ log 23 log 32
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
e/ log 32 log 113
Ta có : 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/ 2 12
2log 5 log 9
2
25 2log 5 log 9 log
9
2
2
2
g/ 2 4
5
log 3 log
11
9 11 5
log 9 log log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11
Trang 11h/ 3 19
8
log 2 log
9
Ta có :
9
2 log 2 log
8
k/
1
log 2 log 5
2
3 1
18
Ta có :
6
1
Bài 2 Hãy so sánh :
a/ log 102 log 305
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 53 log 47
Ta có : 3 3
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2 lne 8 ln
e
Ta có :
3
3
2 ln 2.3 6
1
8 ln 2 ln 1
8 ln 8 1 9
e
e e
e
Bài 3
2
1
2
Trang 12b/ log 7 5 log 4 5
log 7 log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
c/ log 73 log 37 2
3
1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
log 5 log 3 log 5.log 3
e/ 1 log 3 log19 log 2
Ta có :
1
log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
log 900 log log 3 log19 log 2
f/ log5 7 log 5 log 7
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
a log3 6 log3 5
Ta có :
log log
6 5
log log
5 6
3 1
log 9 log 17
Trang 13Ta có : 1 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log e log
1
log log
e
-GA-RÍT
Bài 1
y x x e
s inx-cosx x
s inx-cosx x ' cosx+sinx x 2 s inx-cosx x 3sin osx x
c
e e
y
e e
4 '
e e
2
2
2
1
x
x
e y ln x
x
Trang 14f y 1 lnx lnx
ln 1 ln 1 2 ln
2
log x x 1
2
1 ln 2
x
x x
c 3 2
ln
3 2
3
4 log
4
x
y
x
e
2 3
9 log
5
x
y
x
2
f log 1
2
x y
x
ln10
Trang 15Bài 1
a
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x
b
0
ln 3 1
lim
sin 2
x
x
x
ln 3 1 3
sin 2
2
x x
x
x
c
0
ln 4 1
lim
x
x
x
4
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
x
5
3
x x
e
e
e
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
1 1
x x x
a
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
Trang 160 0
ln 2 1 2
tan tan
x x
x
x
b
0
lim
5
x
x
5
2
c
3
0
1
lim
x
x
e
x
3
d
1
lim x
1
1
1
x
e
x
e
0
sin 3
lim
x
x
x
sin 3 sin 3
3
0
1 os5
lim
x
c x
x
2
2 2
5
2 sin
2
4 5
25 2
x
c x
Bài 3
0
osx os3
lim
sin
x
x
Trang 172 sin 2 sin
b
2
1
os
2
1
os
cos 2
c
t
2
2 sin
2 sin os
t
t t
c
Khi
0 2
tan
2
t x
t
t
c lim 2 sin3
x
3 lim 2 sin
lim 2 sin lim 6 3 3
d
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
2 2 cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
c x
t x
t
4
2 2 cos
2 sin
4
t o x
x