Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn chi tiết chuyên đề Tích vô hướng của hai vect

tan .cot.. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu?. Gọi A', B' lần lượt là[r]

Trang 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với mỗi góc 00 1800 , ta xác định

điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho xOM Giả sử

số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP OQ;

 Với 00 1800 ta có 0 sin 1; 1 cos 1

 Dấu của giá trị lượng giác:

22

3

32

22

1

cos

1 32

22

1

12

22

M(x;y) Q

Hình 2.1

1

Trang 2

Suy ra sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 OP2

+ Nếu 0 ,0 90 hoặc 0 1800 thì dễ dàng thấy sin2 cos2 1

+ Nếu 0 ,0 90 và 0 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có

sin sin sin suy ra được 6)

Câu 1 Đẳng thức nào sau đây đúng?

Lý thuyết “cung hơn kém 180”

Câu 2 Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A sin 180  sin B cos 180 cos

C tan 180 tan D cot 180  cot

Lời giải Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau

Câu 3 Cho  và  là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A sin sin B cos cos C tan tan D cot cot

Câu 4 Cho góc  tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sin0 B cos0 C tan0 D cot0

Câu 5 Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

2

Trang 3

A sin  sin 180  B cos  cos 180 

C tan tan 180  D cot cot 180 

Lời giải Chọn B

Câu 6 Hai góc nhọn  và  phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A sin cos B tancot C cot 1

 

cos cos 90 sin

Câu 7 Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

Câu 8 Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A sin 90 sin100 B cos 95 cos100 C tan 85 tan125 D cos145 cos125

Câu 9 Giá trị của tan 45cot135 bằng bao nhiêu?

3 3cos 30 sin 60 3

sin 36 cos 6 sin 90 36 cos 90 6 sin 36 cos 6 cos 36 sin 6 sin 30

2

Câu 12 Giá trị của biểu thức 2 2 2 2

sin 51 sin 55 sin 39 sin 35

Trang 4

Ta có cos 60 sin 30 1 1 1

     Câu 14 Giá trị của tan 30cot 30 bằng bao nhiêu?

A 4

1 33



Lời giải Chọn A

tan 30 cot 30 3

    

Câu 15 Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A sin 0cos 0 1 B sin 90cos 90 1

C sin180cos180  1 D sin 60cos 60 1

Câu 16 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A cos 60 sin 30 B cos 60 sin120 C cos 30 sin120 D sin 60  cos120

Câu 17 Đẳng thức nào sau đây sai?

A sin 45sin 45  2 B.sin 30cos 60 1

C.sin 60cos150 0 D sin120cos 30 0

Câu 18 Cho hai góc nhọn  và  (  ) Khẳng định nào sau đây là sai?

A coscos B sinsin C.tantan 0 D cot cot

Biểu diễn lên đường tròn

Câu 19 Cho ABC vuông tại A , góc B bằng 30 Khẳng định nào sau đây là sai?

3cos cos 30

2

B  

Câu 20 Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A cos 75 cos 50 B sin 80 sin 50 C tan 45 tan 60 D cos 30 sin 60

Lý thuyết

Câu 21 Cho biết sincosa Giá trị của sin cos  bằng bao nhiêu?

A sin cos  a2 B sin cos 2a

4

Trang 5

C

21sin cos

2

a

21sin cos

2

a

   



cosxsinx  cosxsinx  2, x B tan2xsin2xtan2xsin2x, x 90

C sin4xcos4x 1 2sin2 xcos2x,x D sin6xcos6x 1 3sin2 xcos2x,x

sin xcos x sin xcos x 1 sin xcos x

Câu 25 Đẳng thức nào sau đây là sai?

sin 2xcos 2x1

Câu 26 Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A sin2cos2 1 B sin2 cos2 1

Công thức lượng giác cơ bản

5

Trang 6

A sin2cos2 1 B sin2 cos2 1

2



  C sin2cos2 1 D sin2cos21

Câu 28 Cho biết cos 2

52



tan1 tan 89 tan 2 tan 88 tan 44 tan 46 tan 45     1

A sin 2cos 2 1 B sin2cos2 1.C sin2cos2 1 D sin2cos2 1

Câu 32 Biết sinacosa 2 Hỏi giá trị của sin4acos4a bằng bao nhiêu ?

Trang 7

tan 5 tan 85 tan10 tan 80 tan 40 tan 50 tan 45     1

Câu 37 Chọn mệnh đề đúng?

sin xcos x 1 2sin xcos x

C sin4xcos4 x 1 2sin2x D sin4xcos4 x2cos2 x1

sin xcos x sin xcos x sin xcos x  1 cos x cos x 1 2 cos x

Câu 38 Giá trị của Bcos 732 cos 872 cos 32 cos 172  là

3sin 4 sin cot 3 4 cot

Trang 8

Câu 43 Rút gọn biểu thức sau   2 2

A x x  x x

Câu 44 Đơn giản biểu thức  2  2 2

G  x x  x

cos x D cos x

cos 1 cos sin sin

Trang 9

2 sin cos

sin x P

Trang 10

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b

+ Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800) + Kí hiệu: a b;

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a b a b cos( , )a b

2 Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b c, , và mọi số thực k ta luôn có:

+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a b 0

+ a a a2 a 2 gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a

b) phương tích của một điểm với đường tròn

Cho đường tròn O R; và điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B Biểu thức MAMB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O R; Kí hiệu là P M O/

Chú ý: Ta có P M O/ MAMB MO2 R2 MT2

với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a ( ; ) và b x y1 1 ( ; ) Khi đó x y2 2

Trang 11

Phương án A: AB   3; 2, nên loại A

Phương án B: AB AC 0nên loại B

Phương án C : AB  13 nên loại C 3; 9

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau

Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra   0

Ta có a 1; 2 , b   2; 6, suy ra   10 2

cos ;

2

5 40

2

5 10

Ta có a 1;3 ,b  2;1, suy ra a b 1.  2 3.1 1

Câu 6 Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?

11

Trang 12

A a2; 1  và b  3; 4 B a3; 4  và b  3; 4

C.a   2; 3 và b  6; 4 D a7; 3  và b3; 7 

Lời giải Chọn C

Phương án A: a b 2.     3 1 4  10 0 suy ra A sai

Phương án B: a b 3.     3 4 40 suy ra B sai

Phương án C: a b    2. 6 3.4  0 a b suy ra C đúng

Phương án D: a b 7.3    3  7 420 suy ra D sai

Câu 7 Cho 2 vec tơ aa a1; 2,bb b , tìm biểu thức sai: 1; 2

A.a b a b1.1a b2 2 B.a b  a b .cos a b,

1.2

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a b a b1 1a b2 2 nên loại A

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ a b  a b .cos a b, nên loại B

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án So sánh vế trái với vế phải

Phương án C:ABBC AC AC AC 4, BC CA 2.2.cos120o  2 nên chọn C

Câu 9 Cho tam giác ABC cân tại A, A120ovà ABa Tính BA CA

a

232

a Lời giải

Trang 13

Phương án C: DoAB AC BC  vàAB AC BC  không cùng phương nên loại C



25



Phương án A:OAOBsuy ra OA OB 0nên loại A

Phương án A: do AB 4; 2 nên loại A

DA CB DA CB cos a nên loạiA

Phương án B:DoAB CD  AB CD .cos180o  a2nên chọn B

Câu 15 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB4a , đáy nhỏ CD2a , đường cao AD3a ; I

là trung điểm của AD Câu nào sau đây sai?

AB DC a B.AD CD 0 C.AD AB 0 D.DA DB 0

13

Trang 14

Phương án A:AB DC AB DC .cos 0o 8a2nên loại A

Phương án B:ADCD suy ra AD CD 0 nên loại B

Phương án C:AD AB suy ra AD AB 0nên loại C

Phương án D:DA không vuông góc với DBsuy ra DA DB 0 nên chọn D

Câu 16 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB4a , đáy nhỏ CD2a , đường cao AD3a ; I

là trung điểm của AD Khi đó IAIB ID bằng :

A.

29

2

a

292

 a C.0 D.9a2

Phương án A:BC2BHBA BC 2BA BH nên đẳng thức ở phương án A là đúng

Phương án B:CA4CI CB CA 4CB CI nên đẳng thức ở phương án B là đúng

8

 a

CB CK C.

2

a

AB AC D.

2

a

CB CK Lời giải

2 o .cos 0

2

CB CK CB CK nên loại B Phương án C:do

2 o .cos 60

Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án

Phương án A:AB ADAB AD 0 nên loại A

Phương án B:AB AC AB AC .cos 45o a2 nên loại B

 cos180  

AB CD a a a nên chọn C

14

Trang 15

Câu 20 Tam giác ABC vuông ở A và có góc o

 3;6 ; 8; 4

Phương án A:a b 24240 nên loại A

Phương án B:a b 0 suy ra a vuông góc bnên loại B

2 D.

22



Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc AB CA,  sau đó mới tính cosAB CA, 

Câu 25 Cho hai điểm A3, 2 ,   B 4, 3 Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác

MAB vuông tại M

A.M 7; 0 B.M 5; 0 C.M 3; 0 D.M 9; 0

15

Trang 16

D.a2

Ta có AB AD a a .cos90o0

Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho a2; 1  và b  3; 4 Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10 B.Độ lớn của vectơ a là 5

C.Độ lớn của vectơ b là 5 D.Góc giữa hai vectơ là 90o

Phương án A:MA AB ngược hướng suy ra , MA AB MA AB .cos180o  MA AB nên loại A Phương án B:MA MB, ngược hướng suy ra o

MA MB MA MB MA MB nên loại B Phương án C: AM AB, cùng hướng suy ra AM AB  AM AB .cos 0o  AM AB nên loại C Phương án D:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB MA MB cos180o MA MB nên chọn D

Câu 31 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC Tính AH CA

16

Trang 17

23

4

a

234

 a

232

a

232

 a

Ta có a b  a b  a b cos a b,  a b cos a b,  1nên avà b ngược hướng

Ta có AB AC       2 4 1   3 5

Câu 38 Trong mặt phẳngOxy cho A1;1, B 1;3 , C1; 1  Khảng định nào sau đây đúng

A.AB 4; 2 , BC2; 4  B.ABBC

17

Trang 18

C Tam giác ABC vuông cân tại A D Tam giác ABC vuông cân tại B

Phương án A: do AB 2; 2 nên loại A

Phương án B:AB 2; 2 ,BC0; 4 ,AB BC  8suy raAB không vuông gócBC nên loại

Ta có BA CA BH HA CA BH CA HA CA HA CA AH AC nên chọn C

Câu 43 Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏaa b 2 Hãy xác định 3a4b2a5b

Câu 44 Cho tam giác ABC Lấy điểm M trên BC sao cho AB AM AC AM 0.Câu nào sau đây đúng

A.M là trung điểm của BC B.AM là đường phân giác của góc A

C.AM BC D A, B, C đều sai

Trang 19

a b a b a b a b a b a b cos a b

Câu 48 Cho hai điểm B C, phân biệt Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM CB CM2 là :

A.Đường tròn đường kínhBC B Đường trònB BC; 

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC

Câu 49 Cho ba điểm A B C, , phân biệt Tập hợp những điểm M mà CM CB CA CB là :

A Đường tròn đường kínhAB

B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc vớiBC

C Đường thẳng đi qua B và vuông góc vớiAC

D Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB

CM CB CA CB CM CB CA CB CM CA CB AM CB

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Câu 50 Cho hai điểm A 2, 2 , B5, 2  Tìm M trên tia Ox sao cho AMB  90o

A.M 1, 6 B M 6, 0 C.M 1, 0 hay M 6, 0 D.M 0,1

Gọi M x ; 0 , với x Khi đó AM   x 2; 2 , BM  x 5; 2 Theo YCBT ta có

Trang 20

3 Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m m m a, b, c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, b, c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c

2 là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác Khi đó ta có:

Hình 2.6

20

Trang 22

 C bsinB2 R D sinC csinA.

Trang 23

Câu 18 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A cosB cosC 2cos A B.sinB sinC 2sin A

Câu 19 Cho tam giác ABC Đẳng thức nào sai ?

Trang 24

b c a bc

 

B 1 sin 2B C cos(A C ). D

.2

a c b ac

Mà: a2b2c2  0 suy ra: cosC   0 C 900

Câu 24 Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :

A Độ dài 3 cạnh B Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ

C Số đo 3 góc D Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ

Lời giải

Chọn C

Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố

độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

Câu 25 Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?

Câu 26 Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30 Bán kính đường tròn nội tiếp là:

24

Trang 25

Câu 30 Cho ABC, biết aAB( ;a a1 2) và b AC( ;b b1 2) Để tính diện tích S của ABC Một

học sinh làm như sau:

( )I Tính cos .

a b A

2 2

S  a a b b  a b a b

 2

1 2 2 1

12

S a b a b

1( 1 2 2 1)

2

S a b a b Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?

a b A

Trang 26

 2

MI R       

Câu 32 Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Người ta

xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78 24 'o Biết

60 Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km h/ , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km h/ Hỏi sau 2

giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

Lời giải

Chọn

Không có đáp án

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 30.2  60km.

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2  80km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S12S22 2 S S1 2.cos 600  20 13.

Câu 34 Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

Suy ra: khoảng cách AB 116, 7  25, 7  91 m

Câu 35 Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Người ta

xác định được một điểm Cmà từ đó có thể nhìn được A và Bdưới một góc 0

Câu 36 Cho đường tròn ( )C đường kính AB với A( 1; 2)   ; B(2;1) Kết quả nào sau đây là phương tích

của điểm M(1; 2) đối với đường tròn ( )C

Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn ( )C là: MI2R2 2.

26

Trang 27

Câu 37 Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0; 4)  B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu ?

Chọn D

Ta có: a b, cùng phương suy ra 5 15.

m m

Câu 42 Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 Khi đó diện tích của tam giác là:

Trang 28

Câu 43 Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	2,02 MB