Tiiệm cậnị( T12 cua Vân - THĐ - HP)

TiÕt:TiÖm cËnThiÕt kÕ vµ thùc hiÖn:NguyÔn ThÞ V©n Gi¸o viªn:THPT TrÇn H ng §¹o... b Nếu d cùng ph ơng với Ox ta gọi d là tiệm cận ngang.. c Nếu d không thuộc hai loại trên ta gọi d là ti

O x

y

y

y

y Quan sát vị trí của các đồ thị màu hông với các đ ờng thẳng màu vàng

Tiệm cận

 1.Đinh nghĩa:giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M(x;y)

là một điểm thay đổi trên (C)

a)Nhánh vô cực của đồ thị hàm số là gì?

Ta nói (C) có nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai tọa độ x, y

dần tới  và viết M x hoặc y

y

d

M

H

M

H

M H

M H

M H

M H

Cho đ ờng thẳng d

và MH = d(M,d)

D là tiệm cận của (C)  Lim MH = 0

M0 M(C) b)Tiệm cận của đồ thị hàm số là gì?

O x

y

y

y

y Quan sát vị trí của các đồ thị màu hồng với các đ ờng thẳng màu vàng

TiÕt:TiÖm cËn

ThiÕt kÕ vµ thùc hiÖn:NguyÔn ThÞ V©n Gi¸o viªn:THPT TrÇn H ng §¹o

2.Các loại tiệm cận

Giả sử d là một tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x)

a)Nếu d cùng ph ơng với Oy ta gọi d là tiệm cận đứng

b) Nếu d cùng ph ơng với Ox ta gọi d là tiệm cận ngang

c) Nếu d không thuộc hai loại trên ta gọi d là tiệm cận xiên

3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x)

Định lý:Nếu lim f(x) = 

xx0

Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C)

a) Tiệm cận đứng

Chứng minh

Định lý: Nếu lim f(x) = 

xx0

Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C)

y

x0

M

x

lim f(x) =   khi xx0 thì y = f(x) 

xx0

=> M(x;y)  => đồ thị có nhánh vô cực

Khi đó MH = |x-x0|0 (khi M(x;y) )

 lim MH = 0  d có ph ơng trình x = x0 là một tiệm cận đứng của (C)

M

Chứng minh

3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)

Hàm số y = x

2 – 3x +1 x-3 (C) Kết luận nào sau đây đúng? a) (C) không có tiệm cận đứng

b) (C) có tiệm cận đứng ph ơng trình là : x =- 3

c) (C) có 2 tiệm cận đứng ph ơng trình là : x = 3 và x = -3 d) (C) có tiệm cận đứng ph ơng trình là: x = 3

d

Bài giải :

lim

x3

x2 – 3x +1

(C) có tiệm cận đứng ph ơng trình là: x = 3

3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)

b) Tiệm cận ngang

Định lý: Nếu lim f(x) = y0

x

Thì d : y =y0 là tiệm cận ngang của (C)

Chứng minh

O

x

y

y0

M

x

y

H

MH = |y-y0|

Vì lim f(x) = y0  khi x thì y = f(x) y0  y-y00  MH0 x

=> d: y = y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị (C)

§å thÞ hµm sè nµo cã tiÖm cËn ngang

x2 – 3x +1

x-3

x-3 b)y =

– 3x +1

3

c)y =

x2– 3x +1 d)y =

b

Bµi gi¶i :

lim

x

– 3x +1

(C) cã tiÖm cËn ngang ph ¬ng tr×nh lµ: y = - 3

3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp) c) Tiệm cận xiên

Cho đồ thị M(x;y)  (C) dần tới vô cực thì cả hai tọa độ x và y đều dần tới vô cực, Gọi d là đ ờng thẳng có ph ơng trình y = ax+b

Định lý:

d là một tiệm cận của (C)  lim [ f(x) – (ax+b)] = 0 (*)

x -

lim [ f(x) – (ax+b)] = 0 (**)

x +

lim [ f(x) – (ax+b)] = 0 (***)

x 

Nếu thỏa mãn (*) => d là tiệm cận xiên trái của (C)

Nếu thỏa mãn (**) => d là tiệm cận xiên phải của (C)

Nếu thỏa mãn (***) => d là tiệm cận xiên hai bên của (C),

Nói tắt là tiệm cận xiên

lim [ f(x) – (ax + b) ] = 0

x+

 d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C)

O

x

y

M

x

f(x)

H P

Chứng minh

M (x ; f(x) )(C), P (x ; ax+b ) d

d

MH = d(M,d)

 Là góc giữa d và Ox(/2)

Tam giác vuông MHP có MH = MP cos

M+ M+

M(C) M(C)

Lim MH = 0 M+

M(C)

lim [f(x) – ( ax+b)] = 0 (*)

3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)

c) Tiệm cận xiên

O

x

y

y = f(x)

d

M

x

f(x)

H

M (x ; f(x) )(C) P (x ; ax+b ) d

MH = d(M,d)

 Là góc giữa d và Ox(/2)

Tam giác vuông MHP có MH = MP cos

M- M-

M(C) M(C)

Lim MH = 0 M-

M(C)

lim [f(x) – ( ax+b)] = 0 (**)

lim [ f(x) – (ax + b) ] = 0

x-

 d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C)

Chứng minh

3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)

c) Tiệm cận xiên

§å thÞ hµm sè nµo cã tiÖm cËn xiªn

x2 – 3x +1

x-3

x-3 b)y =

– 3x +1

3

2– 3x +1 d)y =

a

Bµi gi¶i : Ta viÕt l¹i y = x + x-31

lim

x

[(x + 1

x-3 ) – x]= lim x

1 x-3 = 0 (C) cã tiÖm cËn xiªn ph ¬ng tr×nh lµ: y = x

Bµi I: T×m tÊt c¶ c¸c tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:

1) y = x

2 – 3x +1

x +1 2) y =

x2 - 5x +7

x2 +4x +1

x

4) y = x

2 + 3x +3 1- 2x 5) y =

x2 – 2x +1 2x +1 6) y = x +1 +

1 x

7) y = -x + 1

x-3 8) y = x +3

-1 x-3 9) y = x +3

-1 x-3

Bµi II: T×m tÊt c¶ c¸c tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:

1) y = – 3x +1

x +1 2) y =

- 5x +7

4x +1

x

4) y = 3x +3

1- 2x 5) y =

– 2x +1 2x +1 6) y = 1 +

1 x

7) y = 1

-1

-1 x+3

mx3 - 1

x2 – 3x+ 2

Bài III:Tìm m để các hàm số sau:

1.y = x

2

x - m có tiệm cận 2.y = 2x

2-3x +m

x - m

không có tiệm cận đứng

3.y = x

2+mx - 1

x - 1

có tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác

có diện tích bằng 8

Bài IV:Tìm các tiệm cận tuỳ theo m của các hàm số sau:

1.y = 2x

2-3x +m

x - m 2.y =

x+2

x2 – 4x+ m 3.y = Bài V:

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = x2+3x - 1

x - 2 CMR:

Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) luôn không đổi