Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho APR.. a Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.. b Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường th
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
————————————
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức ( ) 1 1
P x
a) Rút gọn P x( )
b) Tìm giá trị của x để ( ) P x 2
f x x m x m (x là biến, m là tham số)
a) Giải phương trình ( )f x 0khi m1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức 2
f x ax b đúng với mọi số thực x ; trong đó
,
a b là các hằng số
c) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f x( )0 có hai nghiệm x x1, 2 (x1 x2) sao cho
biểu thức 1 2
1 2
x x P
x x
có giá trị là số nguyên
Câu 3 (3,0 điể Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một
điểm P sao cho APR Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại điểm M (điểm M khác điểm A)
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP tại điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON tại điểm I; đường thẳng PN và đường thẳng OM cắt nhau tại điểm J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng
Câu 4 (1,0 điể Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 9
4
abc Chứng minh rằng:
3 3 3
a b c a b c b c a c a b
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên x y thỏa mãn hệ: ;
2
1 2
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
I HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn
II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (2,0 điểm
a) 1,0 điểm
Điều kiện: 0
x
x
Khi đó: ( ) 1 1
P x
2 ( ) 1
P x
x
b) 1,0 điểm
1
P x
x
1
1
1 x
Câu 2 điểm
a 1,0 điểm
Thay m1 vào PT f x( )0 ta có: x23x 2 0(1) 0,25
b) 1,0 điểm
Với mọi m ta có:
f x x m xm m m
2
( )
( )
4
f x ax b m Vậy tồn tại duy nhất giá trị 3
4
m thỏa mãn yêu cầu 0,25
c 1,0 điểm
( ) 0
2 1 4( 1) 0 4 3 0
4
Khi đó ta có:
2
1 2
2
1 2
1
P
5
2 1
m
(*) 0,25
4
m , nên 2m 1 1, để P phải có: (2m1) là ước của 5 2m 1 5 m 2 0,25
Với m2 thay vào (*) có: 5
2.2 1
P P
Vậy giá trị m cần tìm bằng 2 0,25
Trang 3Câu 3 2 điểm
x
O
K
I M
J N
P
B A
a 1,0 điểm:
180
b 2,0 điểm:
2
ABM AOM ; OP là phân giác của góc
1 2
0,25
ABM AOP (2 góc đồng vị) MB // OP (1) 0,25
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau OP = BN (2)
Ta cũng có: PM OJ I là trực tâm tam giác POJ IJ PO (3) 0,25
Ta lại có: AONP là hình chữ nhật K là trung điểm của PO và APO NOP 0,25
IK là trung tuyến đồng thời là đường cao IK PO (4)
Câu 4 (1 điểm
Ta có: 2
0 , 0
a b a b a ab b ab a b
3 3
( )
a b ab a b
(1), dấu ‘=’ xẩy ra a b
0,25
Từ (1) và BĐT AM – GM có: a3 b3 c3 ab a b( ) c3 2 abc a b3( ) 3c a b (do 9
4
abc ) 0,25
Vậy: a3 b3 c3 3c a b , dấu ‘=’ xẩy ra 3
Tương tự có: 3 3 3
3
a3 b3 c3 3b c a , dấu ‘=’ xẩy ra 3
0,25
Từ (2), (3) và (4) có: a3 b3 c3 a b c b c a c a b (5), dấu ‘=’ xẩy ra a b c 0
vô lí, do 9
4
Câu 5 (1 điểm
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x0,y0 Từ phương trình p 1 2x2 suy ra p là số
2y 2x p p yx yx 0 modp y x 0 modp (do (1)) 0.25
Do 0 x y p 0 y x 2p x y p y p x thay vào hệ đã cho ta được
2
1 2
0.25
Giải hệ này ta được p7,x2 thay vào hệ ban đầu ta suy ra y5 Vậy p7 0.25
-Hết -