CHƯƠNG i PHÉP dời HÌNH

Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG

DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Vectơ:

a) Các định nghĩa:

 Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn

thẳng AB

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của

chúng song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng

hướng và cùng độ dài

 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược

hướng và cùng độ dài Vectơ đối của vectơ a kí hiệu

là -a; vectơ đối của MN là NM nên ta có MN  NM

 Hai vectơ a và b cùng phương  kR:a= kb

 aba b 0

a b

a

v u

hai vectơ bằng nhau hai vectơ đối nhau

các cặp vectơ cùng phương

 Quy tắc hình bình hành: Nếu

ABCD là hình bình hành thì:

D A

AC AD

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy

ý, ta có:

AC BC

CB AC

 A, B, C thẳng hàng  AB  k AC, k  R

 I là trung điểm AB  IA  IB 0

 G là trọng tâm ABC  GAGBGC  0

b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u= (u1; u2), v= (v1; v2), ta có:

 u v = (u1 + v1; u2 + v2)

 u v = (u1 - v1; u2 - v2)

 ku = (ku1; ku2)

 u.v = u1v1 + u2v2

2

2

u

















2 2

1 1

v u

v u v

Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB;yB), ta có:

 AB = (xB - xA; yB - yA)  AB = AB

 Tọa độ trung điểm của AB: I( ; 2

 Tọa độ trọng tâm ABC: G( ; 3

2 Đường thẳng trong mặt phẳng:

 Phương trình tham số của đường thẳng :







 (a; b) VTCP

có

) y

; M(x qua















bt y y

at x x

0

 Phương trình tổng quát của đường thẳng :







 (A; B) VTPT

có

) y

; M(x qua

n là: A(x-x0)+B(y-y0)= 0

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến

)

;

(A B

 Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  ( b a; ) thì d có một vectơ pháp tuyến

)

;

( b a

n  Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n= (A; B) thì  có một vectơ chỉ

phương là u ( B;A)

 Đường thẳng song song đường thẳng :Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+C1=0 (C≠C1)

 Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax+By+C=0 có dạng: -Bx+Ay+C2 = 0

3 Đường tròn:

 Đường tròn (C):







R kính bán

b a I tâm ( ; ) có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

 Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và

chỉ khi a2 + b2 - c > 0 Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 b2 c

§1 PHÉP BIẾN HÌNH

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy

nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm

M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp

các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành

hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình F

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

I- ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

'

MM = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

M

 Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T v, v được gọi là vectơ tịnh

tiến

 Vậy: T v (M) M' MM' v

 Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất

H ' H

v

Phép tịnh tiến theo vectơ v biến hình H thành hình H'

§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu T v (M) M', T v (N)  N' thì M'N' MN và từ đó suy ra M'N' = MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song

hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành

tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v= (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi

M'(x'; y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v, khi đóù:















b y y

a x x

'

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T v)

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó,

biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn

thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục

Đường thẳng d được gọi là trục của phép

đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu

là Đd

M' M

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối

xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d

* Nhận xét:

 Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên

đường thẳng d Khi đó: M' = Đd(M) M0M'   M0M

  M' = Đd(M)  M = Đd(M')

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox

trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm M(x;

y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

(x; y)

M 0

x O

y

d

M

§4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng

với đường thẳng d Với mỗi điểm M(x; y), gọi

M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép Đ Oy

M'(x'; y') (x; y)

M 0

x O

y d

M

III- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối

xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khác I thành

M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA GỐC TỌA ĐỘ

Trong hệ tọa độ Oxy cho M(x,y), M’=ĐO(M)=(x’,y’), khi đĩ:

' '

 



  



y y

III- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1. Nếu ĐI(M)=M’ và ĐI(N)=N’ thì M N' ' MN, từ đĩ suy ra M’N’=MN

Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc

trùng với nĩ, biến tam giác thành tam giác bằng nĩ, biến đường trịn thành đường trịn

cĩ cùng bán kính

IV TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến H thành

chính nĩ

§5 PHÉP QUAY

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó,

biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM')

bằng  được gọi là phép quay tâm O góc 

Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi

là góc quay của phép quay đó

Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu

M'

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là

chiều dương của đường tròn lượng giác

nghĩa là chiều ngược với chiều quay của

M'

O M α

M'

Chiều quay dương Chiều quay âm 2) Với k là số nguyên ta luôn có:

 Phép quay Q(O; 2k) là phép đồng nhất

 Phép quay Q(O; (2k + 1)) là phép đối xứng

tâm O

M'

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép quay biến

đường thẳng thành đường thẳng, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

biến tam giác thành tam giác bằng nó,

biến đường tròn thành đường tròn có

cùng bán kính

R

R

C'

A' B'

I' O

I

B

A

C O

* Nhận xét: Phép quay góc  với

0 <  < , biến đường thẳng d thành

đường thẳng d' sao cho góc giữa d và d'

bằng  (nếu 0 <  

2

 ), hoặc bằng 

-  (nếu

2

  

d

d'

α

α

I

H

H' O

§6 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH

VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:

Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Nếu

phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'

* Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay

đều là các phép dời hình

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng

là một phép dời hình

II- TÍNH CHẤT:

Phép dời hình biến:

1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng

nó;

3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;

4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

* Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam

giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó

cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các

đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam

giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực

tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp của tam giác A'B'C'

G' H' I'

A'

B'

O'

C'

G H

C B

A

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành

đỉnh, biến cạnh thành cạnh

III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng

nhau nếu có một phép dời hình biến hình này

H''

H' H

v

O

§7 PHÉP VỊ TỰ

I- ĐỊNH NGHĨA:

Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

điểm M' sao cho OM'  k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu

* Nhận xét:

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

4) M' = V(O,k)(M)  M = ( ' )

) 1 ,

V

k

II- TÍNH CHẤT:

 Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến

hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N'

thì M'N' k.MN và M'N' = k MN

N'

M' M

N O

 Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba

điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các

điểm;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng

song song hoặc trùng với nó, biến tia thành

tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng

dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành

đường tròn bán kính k R

B A

C

B'

C' A'

I

A C

B

A' B'

R' R

A'

O'

A

§8 PHÉP ĐỒNG DẠNG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Phép biến hình F được gọi là phép

đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai

điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương

B' M'

A

B

C M

N

* Nhận xét:

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta

được phép đồng dạng tỉ số pk

II- TÍNH CHẤT:

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các

điểm ấy;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

* Chú ý:

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng

biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC

tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam

giác A'B'C'

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh,

biến cạnh thành cạnh

III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng

dạng biến hình này thành hình kia