Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận
được giải đáp
2
Trang 3Đ2 phép tịnh tiến và phép dời hình
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. định nghĩa phép tịnh tiến
Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ v, kí hiệu Tv là một phép dời hình biến điểm M
= v Hoạt động Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến T v
Thí dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, khi đó ta thấy:
AD
AD
T (A) D
T (B) C
Hoạt động Phép đồng nhất có phải là phép tịnh tiến không ?
2. Các tính chất của phép tịnh tiến
Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lợt thành hai điểm M' và N'
thì M'N' = MN.
Hoạt động H y chứng minh định lí 1.ãy chứng minh định lí 1.
ý nghĩa của định lí 1 là "Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì"
Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Hoạt động H y chứng minh định lí 2.ãy chứng minh định lí 1.
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến:
Góc thành góc bằng nó
Hoạt động 1 Nêu các cách tìm ảnh của đoạn thẳng AB, tia Ax, đờng
thẳng (d) qua phép tịnh tiến T v
2 Nêu các cách tìm ảnh của ABC qua phép tịnh tiến T v
3 Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến T v
Thí dụ 2: Cho hai đờng thẳng song song a và a' Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành a'
Giải
Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v = AA '
với A a và A' a' đều biến đờng thẳng a thành a'
3. biẻu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ v(a; b) biến
điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
A
D
Trang 4 y ' y b (CT)
Hoạt động H y chứng minh kết quả trên.ãy chứng minh định lí 1.
Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ của điểm M1 là ảnh của điểm
M0(2; 1) qua phép tịnh tiến vectơ v(2; 1)
Giải
Giả sử M1(x; y), ta có:
0 1
M M
y 1 1
x 4
y 0
M1(4; )
Vậy, ta đợc M1(4; 0)
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã sử dụng định nghĩa
của phép tịnh tiến để tìm toạ độ điểm M1 Còn trong thực tế chúng ta
sẽ sử dụng ngay công thức (CT)
Hoạt động Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu các cách tìm ảnh của:
1 Đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến T v
2 Nêu các cách tìm ảnh của (O, R) qua phép tịnh tiến T v
4 ứng dụng của phép tịnh tiến
Bài toán 1: Cho hai điểm B và C cố định trên đờng tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đờng tròn đó Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đ-ờng tròn cố định
Giải
Nếu BC là đờng kính thì trực tâm H của ABC chính là
A Vậy H nằm trên đờng tròn cố định (O, R)
Nếu BC không phải là đờng kính, vẽ đờng kính BB' của
đờng tròn
Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của ABC thì AH
= B'C
Nh vậy, phép tịnh tiến theo vectơ cố định B'C biến điểm A thành điểm H Do đó, khi A thay đổi trên (O ; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đờng tròn cố định là ảnh của đ-ờng tròn (O ; R) qua phép tịnh tiến nói trên
Nhận xét: Nh vậy, chúng ta đã thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán quĩ
tích
Bài toán 2: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đờng thẳng song song)
Ngời ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông
(tất nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn
thẳng từ A đến M và từ B đến N Hãy xác định vị trí của
chiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất
Giải
Lấy điểm M0 a ta có duy nhất điểm N0 b sao cho M0N0 a và M0N0 b
Gọi B' = TN M0 0 và M = AB' a, khi đó với điểm M' bất kì thuộc a tơng ứng với
điểm N' thuộc b (sao cho M'N' a)
Ta có:
M'A + N'B = M'A + M'B AB' = MA + MB' = MA + NB
4
A
B' H
A
B
M
N
a b B'
M
0
N0
M'
Trang 5Tức là AM + BN ngắn nhất.
Nhận xét: Nh vậy, chúng ta đã thấy đợc cách sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán cực
trị trong hình học
5. phép dời hình
Hoạt động 1 Yêu cầu một học sinh nhắc lại định nghĩa phép tịnh
tiến và ý nghĩa của định lí 1.
2 Lấy ví dụ về một phép biến hình không phải là phép
tịnh tiến mà vẫn có tính chất "Bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm".
Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ.
Định lí: Phép dời hình biến:
không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
B
B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1:Tìm vectơ tịnh tiến v biến hình (H 1 ) thành hình (H 2)
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến
Ví dụ 1: Cho phép tịnh tiến Tu theo u và phép tịnh tiến Tv theo v Với điểm M bất kì, Tu biến M thành điểm M', Tv biến M' thành M'' Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M" là một phép tịnh tiến
Hớng dẫn: Đi tìm vectơ a biến điểm M thành điểm M”.
Giải
Đặt a = u + v, ta có nhận xét:
MM"
Vậy, phép biến hình biến M thành M" là một phép tịnh tiến T theo vectơ a
Ví dụ 2: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) lần lợt có tâm O1, O2 và đều có bán kính R Tìm phép tịnh tiến biến (C1) thành (C2)
Hớng dẫn: Vì hai điểm O 1 , O 2 cố định nên vectơ O O 1 2 cố định, từ đó đi chứng minh
rằng "Với mỗi điểm M 1 (OO 1 ) sẽ có điểm M 2 (OO 2 ) thoả mãn
1 2 1 2
O O
T (M ) M và ngợc lại".
Giải
Trang 6Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của M
qua T
1 2
O O , ta có:
1 2
M M
= O O1 2 O1M1
= O2M2
O2M2 = R M2(C2)
Ngợc lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C2)
và gọi M1 là tạo ảnh của nó qua T
1 2
O O
, ta có:
1 2
M M
= O O1 2
O1M1
= O2M2
O1M1 = R M1(C1) Vậy (C2) là ảnh của (C1) qua T
1 2
O O
Bài toán 2:Giải bài toán định tính
Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh (H 1 ) là ảnh của (H 2) qua phép tịnh tiến vectơ v, ta thực
hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M1 tuỳ ý thuộc (H 1), ta đi chứng minh:
M2 = Tv(M1) (H 2)
Bớc 2: Ngợc lại, lấy điểm M2 tuỳ ý thuộc (H 2), ta đi chứng minh:
M1 = Tv(M2) (H 1)
Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định một hoặc nhiều phép tịnh tiến để thiết lập mối liên
kết giữa các yếu tố
Bớc 2: Sử dụng các tính chất của phép tịnh tiến để giải các yêu cầu
của bài toán
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CD, DA Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
MP + NQ = 1
Hớng dẫn: Sử dụng phép tịnh tiến T (D) E BC để chứng minh bất đẳng thức:
1
MP (AD BC).
2
Tơng tự, chứng minh bất đẳng thức NQ 1(AB CD).
2
Từ đó, để có (O*) thì ABCD là hình bình hành.
Giải
Thực hiện phép tịnh tiến TBC : D E
Khi đó tứ giác BCED là hình bình hành, vì P là trung điểm của CD nên P cũng là trung điểm của BE
Do đó, ta có:
MP = 1
2AE
1
2(AD + DE) =
1
Dấu bằng chỉ xảy ra khi:
A, D, E thẳng hàng AD//BC
Chứng minh tơng tự ta cũng có:
6
M
2
(C
2)
C B
E P
M
Trang 7NQ 1
Dấu bằng chỉ xảy ra AB//CD
Cộng theo vế (1), (2), ta đợc:
MP + NQ 1
2( AB + BC + CD + DA) (3) Vậy để có (*) thì dấu “ = ” xảy ra ở (3) khi dấu “ = ” xảy ra tại (1) và (2)
BC // AD
ABCD là hình bình hành
Bài toán 3:Giải bài toán định lợng
Phơng pháp áp dụng
Bằng việc thiết lập đợc các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh đợc các tính chất hình học ta còn có thể tính toán đợc các yếu tố trong một hình
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có AB = 3, BC = 3 CD = 2 3, BAD = CDA = 600 Tìm số
đo góc ABC và BCD
Hớng dẫn: Các em học sinh cần phác thảo tơng đổi đúng hình vẽ với các số đo của giả
thiết Từ đó, lựa chọn phép tịnh tiến để tạo đợc quan hệ song song (Ocụ thể là hình bình hành trung gian).
Giải
Xét phép tịnh tiến TDC : A A', khi đó tứ giác ADCA'
là hình bình hành và BAA ' = 600
Trong ABA', ta có:
Do đó ABA' vuông tại B và BA 'A = 300, A'B = 3
Vì A'B = BC = 3 nên BCA' cân tại B, do đó:
ABC = 3600(BAD + CDA + BCD ) = 3600(600 + 600 + 900) = 1500
Bài toán 4:Tìm tập hợp điểm M
Phơng pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bớc:
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O) và hai điểm cố định A và B Một điểm M thay đổi trên đ-ờng tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M' sao cho MM ' MA MB
Hớng dẫn: Với giả thiết của bài toán này chúng ta sẽ định hớng đợc ngay rằng "Cần
tìm một vectơ v biến điểm M thành điểm M' (Otức là MM ' v
)", bởi quỹ tích của điểm M' phụ thuộc vào sự di động của điểm M Và công việc này đợc thực hiện khá đơn giản từ điều kiện (O*).
A
B A’
Trang 8 Giải
Từ giả thiết, ta có:
= AB Tức là M' là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
theo vectơ AB
Vậy, quỹ tích điểm M' là đờng tròn (O') là ảnh của đờng tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
Ví dụ 2: Cho hai đờng tròn (O) và (O1) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một giao điểm
Đờng thẳng (d) di động qua A và cắt hai đờng tròn đã cho tại M và N Trên hai tia
AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho:
2BA = 2AC = MN (*) Tìm quỹ tích các điểm B và C
Hớng dẫn: Vì vai trò của B, C là nh nhau trong biểu
thức điều kiện nên chúng ta thực hiện với
định hớng "Tìm quỹ tích điểm B".
Giải
Dựng OE và O1F vuông góc với (d)
Ta có E, F lần lợt là trung điểm các đoạn AM, AN và:
EF
= 1
+ NA ) = 1
= BA = AC Dựng O1I vuông góc với OE, khi đó tứ giác O1IEG là hình chữ nhật
Từ đó suy ra:
1
O I = FE = AB O1ABI là hình bình hành
IB
= O A1 B = TO A 1 (I)
suy ra tập hợp các điểm B là đờng tròn (O’2) với
(O’2) = TO A1 [(O2)]
Tơng tự ta có tập hợp điểm C là đờng tròn (O’3) với (O’3) = TOA [(O2)]
Bài toán 5:Dựng hình
Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đã biết
Ví dụ 1: Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biết hai đờng chéo AC = a, BD = b,
Hớng dẫn: Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình thang ABCD với các số đo t
-ơng ứng để thấy đợc rằng không thể dựng đợc hình thang ABCD bằng cách thông thờng Và ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phép tịnh tiến trong
b-ớc phân tích cùng với kết quả "Mọi tam giác đều dựng đợc khi biết số đo
ba cạnh của nó", cụ thể với tia Dt cắt AB tại D’ ( T (D) D 'CA ) thì BDD’
có đợc đầy đủ số đo độ dài của ba cạnh bởi:
BD = b, DD’ = CA = a, BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c.
8
M
M'
O
O1
A
B
I
C
O
2
O’2
F E
Trang 9 Giải
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc hình thang ABCD thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thực hiện phép tịnh tiến
CA
khi đó tứ giác ACDD' là hình bình hành nên ta có:
BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c
BDD' dựng đợc, (biết 3 cạnh)
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
- Dựng BDD' với BD' = 2c, BD = b, DD' = a
- Dựng Dx // BD'
- Dựng By hợp với BD' góc , By cắt Dx tại C
- Dựng Cz // DD', Cz cắt BD" tại A
Thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng
Chứng minh: Theo cách dựng ta có:
- CD//AB nên ABCD là hình thang; BD = b, góc ABC =
- AC = DD' = a (do ACDD' là hình bình hành) và:
MN = 1
2(AB + DC) =
1
2(AB + AD') =
1
2BD' = c.
Biện luận: Bài toán có nghiệm hình
BDD' dựng đợc ab < 2c < a + b
Bài toán 6:Hệ toạ độ đối với phép tịnh tiến
Phơng pháp áp dụng
Ta trình bày phơng pháp thực hiện hai dạng toán
v
(a; b)
Khi đó, toạ độ điểm M1(x; y) đợc cho bởi:
0 0
x a x
y b y
tịnh tiến vectơ v(a; b)
Khi đó, mỗi điểm M(x; y)(H1) là ảnh của một điểm M0(x0; y0) (H) qua phép tịnh tiến vectơ v(a; b), ta có:
0 0 0 0 0
M (x , y ) (H)
0 0 0 0
f (x , y ) 0
Phơng trình (*) chính là phơng trình của (H1)
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với , a, b là những số cho trớc, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y'), trong đó:
A
B
N M
D’
y
x
Trang 10x ' x cos ysin a
a Cho hai điểm M(x1, y1), N(x2, y2) và gọi M', N' lần lợt là ảnh của M, N qua phép F Hãy tìm toạ độ của M' và N'
b Tính khoảng cách d giữa M và N, khoảng cách d' giữa M' và N'
c Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
d Khi = 0, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến
Hớng dẫn: Chúng ta lần lợt:
Với câu a), sử dụng ngay công thức (O*).
Với câu b), sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
Với câu c), thực hiện phép so sánh MN với M’N’ để có lời kết luận.
Với câu d), ta đi chứng minh x, y, x’, y’ thoả mãn công thức (OCT).
Giải
2 1 2 1
(d')2 = (M'N')2 = [(x2.cos y2.sin) (x1.cos y1.sin)]2 +
+ [(x2.sin + y2.cos) (x1.sin + y1.cos)]2 = [(x2 x1).cos (y2 y1).sin]2 + [(x2 x1).sin + (y2 y1).cos]2 = (x2 x1)2.cos2 + (y2 y1) 2.sin2 + (x2 x1) 2.sin2 + (y2 y1) 2.cos2 = (x2 x1)2.(cos2 + sin2) + (y2 y1) 2.(sin2 + cos2)
= (x2 x1)2 + (y2 y1) 2
2 1 2 1
c Từ (1) và (2) suy ra d = d' (hay MN = M'N')
Vậy, phép biến hình F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên theo định nghĩa nó là một phép dời hình
d Với = 0, ta thấy:
x ' x cos0 ysin 0 a
y' x sin 0 ycos0 b
y' y b
F là phép tịnh tiến
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:
Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(y; –x)
Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(2x; y)
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình
Giải
a Phép biến hình F1 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(y1; x1), N'(y2; x2)
Khi đó, ta có:
10
Trang 11M'N' = 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
(x x ) (y y ) = MN
Vậy, F1 là một phép dời hình
b Phép biến hình F2 biến hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) thành hai điểm M'(2x1; y1), N'(2x2; y2)
Khi đó, ta có:
2 1 2 1
2 1 2 1
4(x x ) (y y ) MN
Vậy, F2 không là một phép dời hình
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là ảnh của đờng thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ v, biết:
a (d): x + 3y 2 = 0 và v(1; 1)
b (d): 2x + y 2011 = 0 và v(1; 2)
Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình một đờng thẳng chúng ta đều biết rằng có thể lựa
chọn một trong ba cách:
a Cách 1: Biết một điểm mà đờng thẳng đó đi qua cùng phơng của nó.
Nh vậy, ta sẽ thực hiện:
Bằng việc sử dụng công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta tìm một điểm mà (Od 1 ) đi qua.
Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đ-ờng thẳng song song hoặc trùng với nó, tức (Od 1 ) song song với (Od).
b Cách 2: Biết hai điểm phân biệt mà đờng thẳng đó đi qua.
c. Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.
Trờng hợp đặc biệt, khi v là một vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (Od) thì (Od 1 ) sẽ trùng với (Od).
Giải
a Ta có ba cách trình bày sau:
y 1
A1(3; 1)
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
(d1): 1
1
qua A (3;1)
(d ) //(d)
(d1): 1
1
qua A (3;1) (d ) :x 3y C 0
(d1): x + 3y 6 = 0
Cách 2: Lấy hai điểm A(2; 0) và B(1; 1) thuộc (d) và gọi:
A1:
x 2 1 3
y 1
B1:
y 1 1 2
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
(d1):
1 1
qua A (3;1)
qua B (0;2)
(d1): x + 3y 6 = 0
tiến vectơ v(1; 1), ta có:
