Sáng kiến kinh nghiệm toán 12 một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU HỌC TỐT HƠN CHƯƠNG III GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”... Để giúp học sinh l

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU HỌC TỐT HƠN CHƯƠNG III GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA CÁC SAI

LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”

A- Phần Mở Đầu

I Lý Do Chọn Đề Tài

 Bài toán tính tích phân là bài toán quan trọng trong các kỳ thi Tuy nhiên,

qua nhiều năm dạy lớp 12, tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường mắc phải

một số sai lầm “ấu trĩ” khi tính toán Để giúp học sinh lớp 12 học tốt hơn và không mắc phải những sai lầm kiểu như vậy, tôi tổng hợp và viết đề tài :

“Giúp Học Sinh Lớp 12 Trường THPT Nguyễn Du Học Tốt Hơn Chương III

Giải Tích 12 Thông Qua Các Sai Lầm Thường Gặp Khi Tính Tích Phân”

II Mục Đích và Phương Pháp Nghiên Cứu

1.Mục đích

Đối với học sinh (Hs)

 Giúp Hs hiểu sâu lý thuyết tích phân, nắm bắt được các sai lầm thường

gặp Qua đó nâng cao khả năng tính toán các bài toán tính tích phân

 Đặc biệt, đối với Hs khối 12 sẽ có thêm một tài liệu tham khảo tốt để

luyện thi đại học

Đối với giáo viên

 Có thêm một tài liệu tham khảo hay và bổ ích Qua đó nâng cao chất

 Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn

ra trên lớp, cùng với đóng góp của quý thầy cô

 Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những

kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ , với học sinh

 Phương pháp phân tích, thống kê số liệu: điều tra, khảo sát và phỏng vấn

học sinh lớp thực nghiệm

III Giới Hạn Của Đề Tài

 Đề tài được áp dụng cho học sinh khối 12 trong việc tránh các sai lầm trong

quá trình tính tích phân

IV Các Giả Thiết Nghiên Cứu

 Nếu không áp dụng được sáng kiến thì nhiều học sinh sẽ mắc nhiều sai lầm trong tính tích phân, mất nhiều thời gian hơn trong quá trình phát hiện các sai

lầm

 Nếu được áp dụng, phần lớn học sinh sẽ nhận ra những sai lầm đó, giảm đi

thời gian học và đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi

V Cơ Sở Lý Luận và Cơ SỞ Thực Tiễn

1 Cơ sở lý luận khoa học

 Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy

 Trong khoa học nói chung, toán học nói riêng, Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh

2 Cơ sở thực tiễn

 Bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần là một dạng toán quan trọng, luôn xuất hiện trong các kỳ thi Tuy nhiên, trong quá trình

làm toán tích phân, học sinh thường mắc phải rất nhiều sai lầm Sai lầm

trong quá trình tính toán, công thức và cả trong tư duy

VI Kế Hoạch Thực Hiện

 Mỗi năm học đều được áp dụng cho các lớp 12 và hoàn thiện dần Từ đó tìm kiếm thêm các sai lầm mà học sinh thường hay gặp.Trao đổi chuyên môn

cùng quý Thầy cô trong tổ, trong và ngoài trường

 Đề tài được thực hiện trong năm học 2013-2014 với kế hoạch cụ thể như sau:

Stt Thời gian Kế hoạch thực hiện

1 Từ 01/8/2013

đến 01/11/2013

Xác định đề tài nghiên cứu

Xây dựng đề cương chi tiết

2

Từ 02/11/2013 đến

Tiến hành điều tra khảo sát và đánh giá kết quả

B- Phần Nội Dung

I Thực Trạng Và Những Mâu Thuẫn

 Trước đây, khi dạy học sinh lớp 12, tôi thường nhận ra các em mắc phải những sai lầm rất ngớ ngẩn: áp dụng sai công thức, hiểu sai bản chất,… Và phần lớn

để nhận ra những sai lầm đó, học sinh phải trả giá cho kết quả trong các kỳ thi

và không còn cơ hội để khắc phục

 Do vậy, nhằm giúp học sinh đạt kết quả tốt hơn trong các kỳ thi, đề tài này được triển khai cho các lớp 12 Khi đó, học sinh cảm thấy tự tin hơn trong tính

tích phân và thường không phải mắc các sai lầm kiểu ngớ ngẫn như vậy nữa

 Thuận lợi: Phần lớn học sinh trường THPT Nguyễn Du đều có học lực khá và chịu khó học tập nên chỉ cần thực hiện là học sinh đã nhận ra và tránh được các

sai lầm đó

 Khó khăn: Do thời lượng chương trình nặng nên không có những buổi ngoại khóa để áp dụng với học sinh toàn khối 12 mà chỉ áp dụng được với một số lớp

12 mà tôi trực tiếp giảng dạy

II Các Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề

Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân:

 Sai lầm 1: Vận dụng nhầm bảng nguyên hàm cơ bản

* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh vận dụng công thức 1

   (Có thể dùng phương pháp đổi biến)

* Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức cosnxdx sinnx C

* Nguyên nhân sai lầm:Học sinh vận dụng cơng thức f x g x dx( ) ( ) f x dx g x dx( ) ( )

* Lời giải đúng: Đặt u x x ,ta được du dx x

* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh đổi biến nhưng khơng đổi cận

* Lời giải đúng: Đặt t = sinx => dt = cosx.dx

Vậy

1

1 0 0

 Sai lầm 4: Vận dụng không đúng định nghĩa tích phân

VD 6: Tính tích phân: I =

2

2

dx x



* Sai lầm thường gặp: I = 2 2

2 2

* Nguyên nhân sai lầm :Hàm số y = 1

x không xác định tại x= 0 2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên  2 ; 2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên

) (

 cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b

không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính

(x dx

) 1 (

x

x d

1



x không xác định tại x= -1 2 ; 2 suy ra hàm

số không liên tục trên  2 ; 2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên

* Lời giải đúng: Hàm số y = 2

) 1 (

1



x không xác định tại x= -1 2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên  2 ; 2 do đó tích phân trên không tồn tại

* Cách khắc phục: Khi tính f x dx

a

) (

 cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b

không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

2

2

) 1



x

x e

.

 Sai lầm 5: Hàm số trong đổi biến không tồn tại

VD8 :Tính tích phân: I =  

0 1 sinx dx

2





x tg



0 =

1 2

không xác định nên tích phân trên không tồn tại

*Nguyên nhân sai lầm:

4 2 2

cos 1

x tg x

x d

 Sai lầm 6: Sai lầm trong việc bỏ dấu trị tuyệt đối

1 2

3 3

0

* Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x 32 x 3 với x  0 ; 4 là không tương đương

0 4

0

2

3 3

3 3

3 3

x

5 2

1 2

9 2

3 2

3

2 3

1 xdx 2/ I =   

3

0

2 3

2 2

2 1

2

2x x dx

* Sai lầm thường gặp:I =  

 1 1  1 1 0 4

1 0

* Nguyên nhân sai lầm :Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời

0

2

41

tg

dt t tg

* Cách khắc phục: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách

4



tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng b 

dx x

x

x

x x

1   0

2 3 1

3 2 2

 Sai lầm 8: Đổi biến nhƣng không đổi cận đƣợc

*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint => dx = costdt

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0

với x=

4

1 thì t = ?

* Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2

1 x thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

4

1 không tìm được chính xác t = ?

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =

4

1 thì t =

4 15

3 2

2

3

2 192

15 33 3

2 192

15 15 4

15 3

1

t dt t t

tdt t

* Cách khắc phục: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2

1 x thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2

thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác

1

1

dx x x

2 2

2

2 1

1 1 1

1 1

dx x

x

x x

x x

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;

) 2

1 2

1 (

= ln

2 2

2 2 ln 2 2 2

2 2 ln 2 2

2 2

* Nguyên nhân sai lầm:

2 2

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

III/ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành đối với đối tượng học sinh khối 12 trường THPT Nguyễn Du Mẫu nghiên cứu được chọn là 73 học sinh ở hai lớp 12A9(lớp TN) và 12A8(lớp ĐC) năm học 2013-2014

 Đề tài đã được áp dụng trong các giờ luyện tập và tự chọn theo đúng phân phối chương trình

 Qua thực tế khi áp dụng đề tài cho lớp 12A9 tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn Và các em tự tin hơn khi gặp các bài tập tích phân

 Trước tác động, tiến hành kiểm tra 15 phút phần tính nguyên hàm cho cả hai lớp trên, nội dung đề kiểm tra hai lớp giống nhau và phù hợp với chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán, sau đó tính điểm trung bình và đánh giá sự chênh lệch giữa điểm

số trung bình của lớp TN và lớp ĐC

Điểm trung M 1 = 6.94118 M 2 = 7.17949 M 1 < M 2

bình trước tác động

Bảng 1: Xác định chênh lệch điểm trung bình của lớp TN và lớp ĐC

 Từ kết quả trên chúng tôi nhận xét: Qua kiểm tra 15 phút (trước tác động), điểm

trung bình lớp thực nghiệm (6.94118) nhỏ hơn một ít so với điểm trung bình lớp đối chứng (7.17949) Vậy lực học của lớp thực nghiệm yếu hơn một ít

 Kiểm tra đánh giá kết quả học tập sau khi đã áp dụng sáng kiến với lớp 12A9 Giáo viên tiến hành đánh giá kết quả học tập của hai lớp được chọn nghiên cứu bằng cách cho làm bài kiểm tra 15 phút Kết quả như sau:

Điểm trung bình

sau tác động

M1’ = 7.32353 M2’ = 7.20513 M1’ > M2’

Bảng 2: Kiểm chứng xác định chênh lệch điểm trung bình của lớp TN và lớp ĐC

 Cụ thể hơn ta có thể đánh giá sự tiến bộ của học sinh lớp thực nghiệm 12A9 bằng cách so sánh sự chênh lệch điểm trung bình trước tác động và sau tác động

Bảng điểm trung bình của lớp TN & ĐC trước tác động và sau tác động

bình trước tác động

Điểm trung bình sau tác động

Chênh lệch điểm trung bình trước tác động và sau tác động

0.38235

0.02564

 Ta nhận thấy sau tác động MeanTN(7.32353) > MeanĐC(7.20513), kết quả học tập của

học sinh nghiêng về lớp TN Hơn nữa chênh lệch của điểm trung bình kiểm tra trước

và sau của lớp TN (0.38235) cũng lớn hơn rất nhiều so với lớp ĐC(0.02564)

 Từ các kết quả thực nghiệm này, chúng tôi khẳng định rằng: Giải pháp : “Giúp Học

Sinh Lớp 12 Trường THPT Nguyễn Du Học Tốt Hơn Chương III Giải Tích 12 Thông

Qua Các Sai Lầm Thường Gặp Khi Tính Tích Phân“ áp dụng cho học sinh lớp 12

mang lại hiện quả tích cực và có ý nghĩa

Phụ lục : Bảng điểm kiểm tra của hai lớp TN và ĐC

Bảng điểm kiểm tra 15 phút và 15 phút (lần 2) của lớp Thực Nghiệm 12A9

Điểm KT

trước tác động

Điểm KT 15 phút sau tác động

8

Trương Thị Ngọc

15 Võ Hoàng Oanh 12A9 6 8

23

33

Nguyễn Thị Kiều

Điểm KT

15 phút lần 2

C- Kết Luận

I Ý Nghĩa Của Đề Tài Đối Với Công Tác

 Học sinh biết thêm nhiều sai lầm trong tính tích phân, qua đó giúp học sinh tránh

và tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng

 Giúp giáo viên có thêm một tài liệu tham khảo về các sai lầm trong tính tích phân

 Nâng cao chuyên môn nhằm phục vụ tốt cho việc dạy và học Qua đó trao đổi thêm kinh nghiệm và kiến thức với các Thầy cô cùng chuyên môn Đặc biệt nâng cao

khả năng tự học và sáng tạo

II Bài Học Kinh Nghiệm, Hướng Phát Triển

 Đề tài này được hoàn thiện hơn nhờ có những giờ học tự chọn, thầy và trò cùng trao đổi, tìm kiếm thêm các sai lầm mà học sinh thường gặp

 Thông qua các sai lầm giúp học sinh củng cố rất tốt kiến thức đã học Đặc biệt đối với học sinh lớp 12 đang chuẩn bị thi Tốt nghiệp Quốc gia 2015 sắp tới

 Trong thời gian tới, nếu có thể tôi sẽ mở rộng đề tài thêm một số sai lầm thường gặp trong các vấn đề khác của Toán THPT như : tổ hợp, xác suất, lượng giác,…

III Đề Xuất

 Tất cả những gì tôi viết là kinh nghiệm, kiến thức mà tôi đã nghiên cứu, tổng hợp qua nhiều năm giảng dạy Kiến thức là vô bờ, do đó đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót.Tuy nhiên, tôi mong muốn là đề tài này sẽ được phổ biến rộng rãi trong Trường, trong Ngành

 Sai lầm trong Toán học nói chung, tích phân nói riêng rất nhiều, mong rằng được trao đổi và học hỏi kinh nghiệm với các quý Thầy cô giáo trong và ngoài

Tỉnh

Ngãi Giao, ngày 28 tháng 12 năm 2014

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

( Ký và ghi rõ họ tên)

Phan Tấn Vinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo

Dục)

2 Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000)

3 Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội –

2005)

4 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn Đức

Tấn – NXB Hà Nội – 2004)