(Luận văn thạc sĩ) phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học tính tích phân ở lớp 12 trung học phổ thông ( ban nâng cao)

Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

DƯƠNG QUANG THỌ

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

(BAN NÂNG CAO)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

DƯƠNG QUANG THỌ

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

( BAN NÂNG CAO )

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số:60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Bùi Văn Nghị

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

Trang

Ch-ơng 1 CƠ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.3 Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo 13

Chương 2 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG

QUA DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN

24

2.1 Rèn luyện sự nhuần nhuyễn trong vận dụng bảng nguyên hàm của những hàm

2.1.1 Rèn luyện sự nhuần nhuyễn, thành thạo trong tính tích phân cơ bản 25

2.1.3 Nhuần nhuyễn trong đổi biến số những dạng cơ bản 30 2.1.4 Nhuần nhuyễn trong tính tích phân hàm số giá trị tuyệt đối 39 2.1.5 Nhuần nhuyễn trong biến đổi và tính tích phân hàm số giá lượng giác 43 2.2 Rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy cho học sinh thông qua các bài toán tính

tích phân

49

2.2.2 Mềm dẻo trong xác định u, v trong phương pháp tính tích phân từng phần 59 2.2.3 Mềm dẻo khi tính tích phân sau khi hữu tỷ hóa các hàm số lượng giác 63 2.3 Rèn luyện tính linh hoạt, nhậy bén của tư duy cho học sinh thông qua các bài

2.4.8 Tính tích phân của một số hàm đặc biệt khác 105

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước khác trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển nền kinh tế xã hội Một trong những khâu then chốt để thực hiện điều này là đổi mới nội dung và phương

pháp dạy học Nghị quyết Đại hội đại biểu lần IX của Đảng đã chỉ rõ:“Đổi mới phương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh nhồi nhét, học vẹt, học chay”

Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, tránh thói quen học tập thụ động thiếu tích cực đồng thời tăng cường tính tự học, tự nghiên cứu, khả năng khái quát hóa, phân tích hay tổng hợp nhằm nâng cao hiệu quả học tập và phát triển tư duy của HS Khi học toán, việc tìm tòi những lời giải khác nhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện của tư duy sáng tạo Nó không chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức Toán học mà còn tạo niềm say mê, hứng thú, tích cực học tập cho các em học sinh

Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho HS, mới phát huy được tư duy sáng tạo của HS, không những đáp ứng cho môn học mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp ở bậc học cao hơn sau này

Thực tế giảng dạy tôi nhận thấy chủ đề Nguyên hàm - Tích phân là một chủ

đề hay và khó trong chương trình môn toán Trung học phổ thông Tích phân còn giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình toán học ở các trường Đại học Cao đẳng đào tạo về lĩnh vực khoa học tự nhiên Phép tính tích phân được ứng dụng rộng rãi trong: xác suất thống kê, vật lý, thiên văn học, y học trong các ngành công nghiệp như: đóng tàu, sản xuất ôtô, máy bay và ngành hàng không vũ trụ

Tích phân là một trong những nội dung kiến thức toán học hay và khó nhưngtrong nó chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo cho các em học sinh

Với những lý do trên, đề tài nghiên cứu được lựa chọn là: "Phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học tính tích phân ở lớp 12 trung học phổ thông (Ban nâng cao)"

2 Mục tiêu nghiên cứu

Khai thác khả năng phát triển tư duy sáng tạo và đề xuất giải pháp phát triển

tư duy cho học sinh thông qua nội dung dạy học tính tích phân trong chương trình Giải tích 12 nâng cao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

- Định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh thông qua dạy học tính tích phân

- Hệ thống một số dạng và cách tính tích phân, xây dựng dạng bài tập tích phân lớp 12 ban nâng cao phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho HS

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài

4 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu khai thác và vận dụng được các biện pháp rèn luyện các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo trong dạy học tính tích phân lớp 12 THPT thì học sinh vừa có

kỹ năng tính tích phân tốt hơn vừa rèn luyện và phát triển được tư duy sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học bộ môn Toán

- Các sách báo, mạng internet, bài viết khoa học về toán cùng các công trình nghiên cứu có vấn đề liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu chương trình: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập giải tích

12 nâng cao có liên quan đến chủ đề nguyên hàm tích phân

Điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học tập của HS trong quá trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập về tích phân nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương trình sách giáo khoa môn Toán Giải tích lớp 12 ban nâng cao

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy

học tính tích phân

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói

và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn

đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm ”

Trong Toán học thường có các loại hình tư duy là: tư duy biện chứng, tư duy lôgic, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo Theo A Ia Khinxin [21, tr 109], tư duy toán học mang những nét độc đáo sau:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến đích

- Phân chí rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

Trong cuốn "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần Thúc Trình

có định nghĩa:" Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản

chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết".[29, tr.1]

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung của tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu , ký hiệu, công thức, mô hình Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

1.1.1 Quá trình tư duy

Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn Nếu giả thiết không đúng thì chuyển qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

1.1.2 Các thao tác tư duy

Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận

thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp là các

thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán, phân tích

- tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

2 2





 hoặc đặt 6

11

x t x

So sánh, tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay

khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng

đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Cách 1: Đơn giản biểu thức dưới dấu tích phân rồi tích

Với hướng giải như trên thì việc tích phân sẽ hơi dài đôi khi còn có sự nhầm lẫn trong quá trình biến đổi bởi việc sử dụng các công thức lượng giác của các em

HS thường không được tốt cho nắm

Cách 2 Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân trên

Các em HS có thể nhìn thấy ngay sự giống nhau trong việc đặt ẩn phụ là sin

t x hay tsinx1 thì ta đều có dtcosxdx nhưng giá trị cận thì có sự khác nhau dẫn đến kết quả hai tích phân trên là khác nhau

Cách 3 Sử dụng phương pháp vi phân để tính nhanh hai tích phân trên

Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất

nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [10, tr 51]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

Ví dụ 1.3 Tính tích phân

1 2

01

dx x

Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,

những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của một con

người thì J.Danton quan niệm: " Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy những ý

nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá "[42]

Theo từ điển, “sáng tạo” nghĩa là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới

không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Như vậy, sự sáng tạo cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của xã hội

Nhà tâm lí học Henry Glêitman định nghĩa: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [44] Nhà tâm lí học Karen Huffman cho rằng người có tính sáng tạo là người tạo ra được giải

pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề [45]

Theo nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, sáng tạo là thành phần không thể thiếu trong mô hình cấu trúc tài năng Năm 1993,

tại hội thảo Tôkyô, Renzuli J.B đã đưa ra mô

hình cấu trúc chung của tài năng [27]

I: Inteligence (thông minh)

C: Creativity (sáng tạo)

M: Motivation (sự thúc đẩy,

có thể hiểu là niềm say mê)

G: Gift (năng khiếu, tài năng)

Mô hình cấu trúc tài năng với ba thành phần là thông minh, sáng tạo và niềm say mê Có thể nói sáng tạo là cơ sở của cấu trúc tài năng và mang tính tương đối (sáng tạo với ai)

Quá trình sáng tạo của con người thường được bắt đầu từ một ý tưởng mới, bắt nguồn từ tư duy sáng tạo của mỗi con người Vậy tư duy sáng tạo là gì ?

Nhà tâm lí học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [27] Theo

ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ

như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác J Danton cho rằng:

“Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như

sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

[42, tr.20]

Theo Nguyễn Bá Kim: “tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [10]

G

M

C I

Hình 1.2 1

Theo Tụn Thõn: “Tư duy sỏng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đỏo và cú hiệu quả giải quyết vấn đề cao … Tư duy sỏng tạo là tư duy độc lập và nú khụng bị gũ bú, phụ thuộc vào cỏi đó cú Tớnh độc lập của nú bộc lộ vừa trong việc đặt mục đớch vừa trong việc tỡm giải phỏp Mỗi sản phẩm của tư duy sỏng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cỏ nhõn đó tạo ra nú”

Trong tỏc phẩm “Sỏng tạo Toỏn học”, G Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là cú hiệu quả nếu tư duy đú dẫn đến lời giải một bài toỏn cụ thể nào đú Cú thể coi là sỏng tạo nếu tư duy đú tạo ra những tư liệu, phương tiện giải cỏc bài toỏn sau này Cỏc bài toỏn vận dụng những tư liệu phương tiện này cú số lượng càng lớn, cú dạng muụn màu muụn vẻ, thỡ mức độ sỏng tạo của tư duy càng cao, thớ dụ: Lỳc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải ỏp dụng cho những bài toỏn khỏc Việc làm của người giải cú thể là sỏng tạo một cỏch giỏn tiếp, chẳng hạn lỳc ta

để lại một bài toỏn tuy khụng giải được nhưng tốt vỡ đó gợi ra cho người khỏc những suy nghĩ cú hiệu quả” [33]

Theo I.Ia Lecne chỉ ra cỏc thuộc tớnh của quỏ trỡnh tư duy sỏng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối t-ợng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối t-ợng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối t-ợng ở những ph-ơng thức đã biết thành một ph-ơng thức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một ph-ơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nh-ng ph-ơng

thức khác (Lecne - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977) [32]

Krutexki chỉ ra ba vũng trũn đồng tõm phản ỏnh mối quan hệ của ba dạng tư duy, cho thấy điều kiện cần của tư duy sỏng tạo là tư duy độc lập và tư duy tớch cực [40, tr.66 - 70]

ễng làm sỏng tỏ mối quan hệ của ba dạng tư tuy bằng vớ dụ sau:

- Tư duy tớch cực: Học sinh chăm chỳ nghe giỏo viờn giảng cỏch chứng minh định lý và cố gắng hiểu bài

- Tư duy độc lập: Học sinh nghiờn cứu tài liệu, tự mỡnh tỡm hiểu cỏch chứng minh định lý

- Tư duy sỏng tạo: Học sinh tự khỏm phỏ định lý, tự chứng minh định lý đú

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ng-ời học Toán: "Đối với ng-ời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đ-ơng đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đ-ợc cái mới mà họ ch-a từng biết " Như

vậy, lời giải một bài toỏn cũng được xem như là mang yếu tố sỏng tạo nếu cỏc thao tỏc giải khụng bị những mệnh lệnh nào đú chi phối (từng phần hoặc hoàn toàn), tức

là nếu người giải chưa biết trước thuật toỏn để giải và phải tiến hành tỡm hiểu những bước đi chưa biết trước

Tư duy sỏng tạo cú tớnh chất tương đối vỡ cựng một chủ thể giải quyết vấn đề trong điều kiện này cú thể mang tớnh sỏng tạo trong điều kiện khỏc thỡ lại khụng cú tớnh sỏng tạo, hoặc cựng một vấn đề được giải quyết cú thể mang tớnh sỏng tạo đối với người này nhưng khụng mang tớnh sỏng tạo đối với người khỏc Tuy nhiờn tư duy sỏng tạo luụn là một dạng tư duy độc lập, tạo ra những ý tưởng mới độc đỏo và

cú được hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Hỡnh 1.2 2

Tư duy sỏng tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tớch cực

1.3 Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo

Rubinstein cho rằng tư duy sáng tạo bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề [21, tr 114] Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm khi các phương pháp lôgíc để giải quyết các nhiệm vụ là không đủ, hoặc vấp phải trở ngại, hoặc kết quả không đáp ứng các đòi hỏi đặt ra từ đầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả vẻ đẹp của giải pháp

Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc của

tư duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:

- Tính mềm dẻo (Flexibility)

- Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

- Tính độc đáo (Originality)

- Tính hoàn thiện (Elaboration)

- Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility)

Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại (Redefition) [21, tr 114]

1.3.1 Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và phán đoán

Tính mềm dẻo của tư duy có ba đặc trưng nổi bật dưới đây:

Thứ nhất, tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác; vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng

tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

Một đặc trưng khác của tính mềm dẻo của tư duy đó là khả năng suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ năng có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước

Tính mềm dẻo còn thể hiện ở khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

xdx d x để được hàm số dưới dấu tích phân có bậc thấp hơn:

1

2 1

giả thuyết mới Các nhà tâm lí học coi yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn thường nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau, từ đó tìm ra phương án tối ưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng , tránh cái nhìn phiến diện, bất biến, cứng nhắc

Trở lại ví dụ 1.4 ở trên, tính tích phân

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bề ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Lấy lại ví dụ trên: tính tích phân sau

được I = 0 Rõ ràng đây là một lời giải độc đáo của bài toán trên

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng đó của mình

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgíc, chưa tối ưu hoá từ đó

có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Trong quá trình giải toán, các em HS đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp: dùng kĩ năng phân tích khi tìm tòi lời giải, sử dụng kĩ năng tổng hợp để trình bày lời giải ngắn gọn nhất Khi làm các bài tập cùng loại, cùng dạng, các em HS đã biết phát hiện các khác biệt của các bài, các điều kiện khác nhau của chúng để tránh cách giải dập khuôn, máy móc Các em HS thường rất hào hứng mỗi khi tìm ra được cách giải mới cho một bài toán, từ đó so sánh, đánh giá tìm ra cách giải hay và đẹp nhất Do đó mỗi người GV cần có phương pháp dạy học thích hợp để bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo của HS

Qua đó chúng ta thấy các yếu tố cơ bản của quá trình tư duy sáng tạo nêu trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này này sang hoạt động trí tuệ khác(tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) Nhờ đó có thể đề

xuất được nhiều phương án khác nhau và tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.4 Thực tiễn về khả năng phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh khi giải

toán tính tích phân

1.4.1 Nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

Các nhà nghiên cứu Toán học cho rằng có thể xem xét Toán học theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực tư duy sáng tạo cần được bồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng phát triển

Môn toán với vị trí đặc biệt của nó trong nhà trường THPT, có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận, trong học tập và trong giải quyết các vấn đề Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho HS trí thông minh sáng tạo, khả năng tự học, tự nghiên cứu Phát triển tư duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung là một nội dung quan trọng của mục

đích dạy học môn Toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức, có hệ thống, có

kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên, trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá

- Hình thành, rèn luyện những thành phần của tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính linh hoạt, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

1.4.2 Mối liên hệ giữa nội dung tính tích phân và khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Ở trường THPT, điều quan trọng đối với người học toán không phải là nhớ cho được nội dung toán học, nhớ các định nghĩa, tính chất hay công thức mà điều quan nhất là phải biết vận dụng kiến thức đó trong việc giải các bài toán để phát triển tư duy toán học đồng thời biết cách phát hiện vấn đề và xây dựng các phương pháp toán học để giải quyết vấn đề đó Các nhà tâm lí học cho rằng: Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp lôgic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập tính tích phân cần phải khai thác và sử dụng hợp lí, nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo, biểu hiện ở các mặt như: Khả năng tìm cách giải quyết mới, khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán, khả năng khai thác các kết quả của một bài toán đã biết, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán

Chủ đề nguyên hàm tích phân lớp 12 THPT là một nội dung mới đối với HS,

nó chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực tư duy sáng tạo cho các em HS Bởi vì, chỉ cần thay đổi một chút ở hàm số dưới dấu tích phân thì việc tính tích phân đã khác nhau rất nhiều Chẳng hạn, HS có thể dễ dàng

tìm được nguyên hàm của hàm số f(x) = xe x, nhưng chuyển sang tìm nguyên hàm

Từ đó, bên cạnh việc giúp HS giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa,

GV có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho HS phát triển năng lực tư duy sáng tạo của bản thân

Phát triển cho HS từng yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em HS Việc phát triển tư duy sáng tạo toán học luôn gắn với khả năng phát triển trí tuệ, phát triển tư duy lôgic luôn gắn liền với việc phát triển của phương pháp suy luận toán học Có thể thấy tiềm năng của chủ đề tính tích phân trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn

Những thuận lợi: Đây là kiến thức mới đối với HS, nó được áp dụng rộng rãi

trong toán học, trong khoa học kỹ thuật và nó có tác dụng nghiên cứu các bộ môn khoa học khác nên dễ gây được sự hứng thú học tập cho đa số HS Nếu vận dụng phương pháp dạy học thích hợp thì sẽ giúp các em nắm vững lí thuyết vận dụng tốt kiến thức vào giải bài tập, phát triển tư duy nhận thức cho người học Cách trình bày, diễn đạt kiến thức mới của sách giáo khoa mới là tương đối dễ hiểu và phù hợp với trình độ nhận thức của đa số các em HS Số lượng bài tập vừa phải( đã có

tính chọn lọc số bài tập phức tạp cũng đã giảm tải) nên phần nào không gây tình trạng quá tải đối với HS và vẫn đảm bảo về rèn luyện kỹ năng tính toán, nhận dạng được bài tập cơ bản giúp các em giải được dạng bài: tính tích phân, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay

Những khó khăn: Đối với HS, với tư duy ở trình độ THPT chương nguyên

hàm tích phân là một mảng kiến thức mới và khó, lần đầu tiên các em được tiếp cận Bởi thế các em HS không tránh khỏi những bỡ ngỡ và lúng túng khi học vấn

đề này, cụ thể là khó khăn về tiếp cận khái niệm mới, khó khăn trong thể hiện khái niệm cũng như việc trực tiếp vận dụng các công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản vào tính tích phân Số tiết dành cho chương này còn hạn chế (20 tiết) nó còn bất cập với lượng kiến thức mới mà HS phải lĩnh hội nên dễ gây tâm lý ngại khó khi học trong các em

1.4.3.2 Sơ lược nội dung chương nguyên hàm tích phân lớp 12

Theo chương trình sách giáo khoa mới lớp 12 THPT ban nâng cao, chủ đề nguyên hàm tích phân có nội dung cụ thể như sau:

Tích phân Một số phương pháp tính tích phân Luyện tập

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Luyện tập

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III - Kiểm tra

+ §Þnh nghÜa + TÝnh chÊt + C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n PhÇn øng dông tích phân gåm c¸c néi dung sau ®©y:

+ TÝnh diÖn tÝch một h×nh ph¼ng + TÝnh thÓ tÝch cña một vËt thÓ

Từ đó nhận thấy: Với 20 tiết dành cho chương Nguyên hàm – Tích phân, GV chỉ có thể giúp cho HS hiểu được khái niệm và biết phương pháp tính nguyên hàm, tích phân cơ bản Để có thể đáp ứng được yêu cầu cao hơn, GV cần phải tận dụng các giờ học tự chọn để luyện tập và phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.4.3.3 Phiếu tham khảo ý kiến giáo viên và học sinh

Để nêu được tình hình dạy học, những khó khăn, thuận lợi của GV khi giảng dạy và HS khi học, chương Nguyên hàm tích phân lớp 12, trường THPT Quang Trung - Thủy Nguyên - thành phố Hải Phòng chúng tôi dùng phiếu tham khảo ý kiến với nội dung phụ lục 4, 5

Nhận xét được rút ra từ phiếu điều tra theo tỉ lệ % của giáo viên là:

Nội dung tích phân lớp 12 là một nội dung khó đối với học sinh vì đây là nội dung có tính trừu tượng cao.Với nội dung trên nên việc áp dụng các phương pháp dạy học tích cực vào bài giảng để phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh khi tính tích phân là khó khăn và chưa được quan tâm

Đối với phần lớn các em HS, tích phân là một nội dung có tính trừu tượng Rất nhiều em HS học nội dung này vì nó có mặt trong các kì thi quan trọng, vì sợ thầy cô kiểm tra chứ chưa thực sự vì yêu thích nội dung học này

Trong một tiết học tích phân, nhiều em HS chưa tìm được hứng thú thậm chí còn cảm thấy căng thẳng, tính tích cực chủ động hay các ý tưởng độc đáo, tìm ra hướng giải mới, phát hiện ra vấn đề giải bài toán là chưa có đối với các em HS Đa

số HS chưa bắt kịp được với nhịp độ giảng dạy trên lớp của GV và còn gặp nhiều khó khăn khi tự mình giải các bài tập về nhà

1.5 Tiểu kết chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo đồng thời đề cập tiềm năng của chủ đề tính tích phân trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS Dựa trên cơ sở lý luận về tư duy và tư duy sáng tạo, chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lý luận này vào giảng dạy, không những phát huy được sự độc lập suy nghĩ của HS, mà còn kích thích được tư duy sáng tạo trong quá trình học tập,

nó còn giúp các em có thể phát triển năng lực toán học, một thành tố cơ bản của HS

để học giỏi toán, hình thành phẩm chất của một nhà khoa học

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nói trong một quyển sách về cách dạy học:"

Không ai có thể đi dạy cho người khác cái mà bản thân mình chưa có, người thầy không những luôn tự nghiên cứu khoa học mà còn phải là người thiết kế và thi công được óc thông minh sáng tạo ở học trò, do đó người thầy giáo phải là một nhà khoa học chân chính "

Việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua quá trình dạy học tính tích phân là cần thiết, qua đó chúng ta giúp các em HS học tập chủ động hơn, tích cực hơn, kích thích được tính sáng tạo của HS trong học tập và trong cuộc sống

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN

Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài được thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Để làm được điều này đòi hỏi người GV cần chú ý rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh theo các thành phần như: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm, tính chính xác trên cơ sở trang bị kiến thức cho học sinh và rèn luyện các hoạt động trí tuệ

Việc trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh đại trà, đặc biệt bồi dưỡng tư duy nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau Điều quan trọng nhất trong việc phát triển tư duy sáng tạo là giải phóng hoạt động tư duy của học sinh để các em có cách nghĩ, cách nhìn, cách giải quyết vấn đề không bị gò bó, không nhàm chán

Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập cho các em thao tác tư duy tiền lôgic cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh khi học Khi tự đưa ra

dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải

cho kết quả dự đoán của mình Như Nguyễn Cảnh Toàn đã nói: " Đừng nghĩ rằng

"mò mẫm" thì có gì "sáng tạo" nhiều nhà khoa học lớn đã phải dùng đến nó Không dạy mò mẫm thì người thông minh nhiều khi phải bó tay vì không nghĩ đến hoặc không biết mò mẫm"

Rèn luyện cho học sinh biết nhìn tình huống bài toán đặt ra hoặc biết đặt bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để có hướng giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra và đưa ra lời giải chuẩn cho bài toán Học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác nhau tìm ra cách giải quyết tối

ưu Người thầy có vai trò định hướng giúp học sinh thực hiện điều này tập luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy

2.1 Rèn luyện sự nhuần nhuyễn, thành thạo trong tính tích phân cơ bản

Như đã phân tích ở trên: Nhuần nhuyễn là một thành tố của sáng tạo Sẽ không thể sáng tạo nếu chưa có sự nhuần nhuyễn trong xử lý công việc

Theo chúng tôi, GV cần phải rèn luyện cho HS nhuần nhuyễn, thành thạo các dạng tích phân sau:

- Nhuần nhuyễn trong việc vận dụng bảng nguyên hàm của những hàm số thường gặp(bảng nguyên hàm cơ bản)

- Nhuần nhuyễn trong việc đổi vi phân

- Tiếp đó cần rèn luyện cho HS sự nhuần nhuyễn trong việc đổi biến số một số dạng cơ bản

Khi thực hành giải toán, để rèn được tính nhuần nhuyễn, ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữa bài toán

đã cho với các bài toán đã biết Qua đó thể hiện dược tính nhuần nhuyễn của tư duy, tính độc lập trong suy nghĩ của học sinh

2.1.1 Rèn tính nhuần nhuyễn trong vận dụng bảng nguyên hàm của những hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm của những hàm số thường gặp trong SGK như sau:



3

2 1

13) (2x ) dx

2.1.2 Nhuần nhuyễn trong đổi vi phân

Những dạng đổi vi phân thường gặp trong bài toán tính tích phân là:

(tan )

eax b dx  d eax b ; ax dx 1 d(a )x ;1dxd(ln )x ;

(sinx1) sin x2sinx1 thì việc tính tích phân này sẽ phức tạp hơn

Tuy nhiên nếu HS chú ý phân tích và quan sát bài toán thì sẽ nhận thấy:

0

tanos2

e dx e







1 2 0

rộng thành bài toán sau Tính tích phân sau

e x

dx x

 điều này cho phép HS

vận dụng phương pháp tính nhanh tích phân nhờ việc sử dụng vi phân

Khi đó HS có hướng giải như sau:

5

2011 3

(3x12) dx

 2)

2 2 0

32012

Cỏc em HS cú thể tớnh theo hướng đổi biến số đặt t2lnx1 và tớch phõn

mới theo biến t cũng cho kết quả như trờn

Tuy nhiờn khụng phải bài toỏn nào cũng cú thể dễ dàng tớnh tớch phõn mà khụng cần đưa ra biến mới, chẳng hạn vớ dụ sau:

1

I  x dx sẽ được tớnh như thế nào? Một trong những phương phỏp đú là phương phỏp đổi biến số

2.1.3 Nhuần nhuyễn trong đổi biến số những dạng cơ bản

Định lý 1 Cho hàm số u = u(x) cú đạo hàm liờn tục trờn K, hàm số y f u( )

liờn tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xỏc định trờn K; a và b là hai số thuộc K Khi đú nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) thỡ

2.1.3.1 Nhuần nhuyễn trong ph-ơng pháp đổi biến dạng 1

Hỡnh thành quy tắc đổi biến số dạng 1

Vớ dụ 2.1.7 Tớnh tớch phõn

1

2 0

I  x dx

Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đổi biến thế nào? tại sao ta lại nghĩ đến việc đổi biến như vậy?

GV có thể dẫn dắt HS dựa vào đặc điểm của hàm số dưới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số   2

1

y x có tập xác định [-1; 1] thì các em liên tưởng đến

tập giá trị của hàm số lượng giác sinx hoặc cosx Chẳng hạn HS có hướng đổi biến

số để tính tích phân như sau:

a x khi giả thiết a > 0

Đặt xasintdxacostdt với 0;

Bước 1: Chọn xu t( ) sao cho u(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2: Lấy vi phân dxu t dt( )

Bước 3: Tính các cận  và  tương ứng theo a và b

Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử là ( ) f x dx g t dt( )

+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng 2 2

a x thì đặt

2 2

xk t t    

  + Nếu hàm số có dạng a x

2

x  a b a t t  

   Cñng cè phương pháp đổi biến số dạng 1 trên

Ví dụ 2.1.9 Tính tích phân sau: a)

4

2 0

4

I  x dx b)

1 2

01

dx J

tdt dx

3(1 tan )

14

23

4

t dx xdx

t dt t

2 0

Chỳ ý trước khi tớnh tớch phõn bằng phương phỏp nào đi nữa thỡ cỏc em HS

cũng cần phải kiểm tra tớnh liờn tục của hàm số f(x) dưới dấu tớch phõn vỡ theo định

nghĩa cỏc em chỉ tớnh tớch phõn của những hàm số liờn tục

2.1.3.2 Nhuần nhuyễn trong ph-ơng pháp đổi biến dạng 2

Hỡnh thành quy tắc đổi biến số dạng 2

Việc tớnh tớch phõn như trờn được gọi là phương phỏp đổi biến số dạng 2

Định lí 3: Nếu hàm số uu x( ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

I  f x dx  g u du

Từ định lý trờn ta cú thể rỳt ra cỏc bước khi đổi biến số dạng 2 là:

 B-ớc 1: Đặt uu x( ), với u(x) là hàm đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 a b ;

 B-ớc 2: Biểu thị ( ) f x dx theo uu x( ) và du sao cho ( ) f x dxg u du( )

 B-ớc 3: Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u)