PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAII... Khi đó hãy tìm một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập đối với m... PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT – BẬC HAI Phương trình chứ
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG ax + b = 0
Nếu a 0: (1) có nghiệm duy nhất x = b
a
Nếu a = 0 và b 0: phương trình (1) vô nghiệm
a = 0 và b = 0: phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈
Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình: m2x + 2 = 4x + m (1)
Ví dụ 2:Cho phương trình: m(mx – 2) = x + 2 () Tìm m sao cho:
a) phương trình () vô nghiệm
b) phương trình () thỏa x
c) phương trình () có nghiệm
Ví dụ 3:Giải và biện luận pt sau: 2m 1 m 1
x 2
Ví dụ 4:Định m để phương trình: m(x 1) 2x 2 ( )
x 1
II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax 2 + bx + c = 0
a = 0: ta giải phương trình bx + c = 0
a 0: ta tính Δ = b2 – 4ac (Δ’ = b’2 – ac)
> 0: (1) có 2 nghiệm phân biệtx1,2 b
2a
= 0: (1) có 1 nghiệm (kép) x b
2a
< 0: (1) vô nghiệm
Ví dụ 5:Giải và biện luận phương trình: (m+1)x2 – (2m+1)x + m–1 = 0
Ví dụ 6:Định m để phương trình (m2 – 5m – 36)x2 – 2(m + 4)x + 1 = 0
có nghiệm duy nhất
Trang 2III ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x1, x2 thì:
a
và P x x1 2 c
a
Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu P < 0
Phương trình (1) có 2 nghiệm dương (0 < x1 ≤ x2)
0
P 0
S 0
Phương trình (1) có 2 nghiệm âm (x1 ≤ x2 < 0)
0
P 0
S 0
Nếu 2 số u và v có tổng bằng S và tích bằng P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình
X2 – SX + P = 0
Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1 và x2
thì nó có thể phân tích thành nhân tử: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
x x x x 2x x S 2P
x x x x 3x x (x x ) S 3PS
x x x x 2x x (S 2P) 2P
1 1 S (x , x 0)
Ví dụ 7:Tìm m để x2– 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0 có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 27
Ví dụ 8:Cho phương trình x2 – (3m + 2)x + m2 = 0 () Tìm m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = 9x2
Ví dụ 9:Cho phương trình mx2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0 Xác định m để
phương trình có 2 nghiệm Khi đó hãy tìm một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập đối với m
Trang 3IV PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT – BẬC HAI
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn trong căn
A B
A B A B
B 0
A 0 (hay B 0)
A B
2
Phương pháp tổng quát
điều kiện căn bậc hai có nghĩa
Đặt
Đặt điều kiện 2 vế cùng dấu Bình phương 2 vế ta được phương trình
dễ hơn hoặc có công thức
Nếu điều kiện phức tạp, ta có thể bình phương 2 vế để đưa về
phương trình hệ quả Giải xong nhớ thử lại
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 10:Giải phương trình:
a) |2x – 5| = x – 1 b) x 1 x2 x 7
Ví dụ 11: Giải phương trình sau:
a) 3x 1 x 1 b) 3x 7+ - x 1+ = 2
Ví dụ 12:Giải phương trình sau:
a)4x2-12x 2 4x+ 2-12x 10 7 0+ +
b) 3x2-2x 15+ + 3x2-2x 8+ =7