mặt cầu tronmg không gian

bài tập trác nghiệm mặt cầu trong không gian với các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp và được soạn thảo theo phương pháp trác nghiệm phục vụ cho kì thi trung học phổ thông quốc gia, tất cả các bài tập đều có đáp án và hướng dẫn giải cụ thể chính xác

Trang 1

Bài 2 MẶT CẦU

Câu 1 Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

, tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt

phẳng

2x−2y z− + =9 0

và mặt cầu

x +y + −z x+ y− −z =

là:

A

( 1;2;3)

I −

và r=8

B

(1; 2;3)

I

và r=4

C

(1; 2;3)

I −

và r=2

D

(1; 2; 3)

và r=9

Hướng dẫn giải

Do bốn đáp án là khác nhau về bán kính nên ta chỉ tính bán kính cho đơn giản.

Mặt cầu có tâm

( 3; 2;1)

O= −

, bán kính là R=10 Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là :

( ) ( ) ( )2 2 2

2 3 2 2 1 9

6

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là :

r= R −d =

Chọn A

Oxyz

, cho mặt cầu

( )S x: 2+y2+ +z2 4x−2y− =21 0

và (1;2; 4)

Tiếp diện của

( )S tại M có phương trình là:

A

3x y+ −4z−21 0=

B

3x y+ +4z−21 0=

C

3x y− −4z−21 0=

D

3x y+ −4z+21 0=

Mặt cầu

( )S

có tâm là

( 2;1;0)

I −

Tiếp diện của

( )S

tại Mcó một véctơ pháp tuyến là

(3;1; 4)

IM = −

uuur

Phương trình tiếp diện là :

3 x− + − −1 y 2 4 z+ =4 0

Hay

3x y+ −4z−21 0=

ChọnA

Trang 2

Oxyz

, cho đường thẳng (Δ) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P : 2x+4y z− − =7 0

,

( )Q : 4x+5y z+ − =14 0

và hai mặt phẳng

( )α :x+2y−2z− =2 0;

( )β :x+2y− + =2z 4 0

Mặt cầu có tâm thuộc (Δ) và tiếp xúc với

( )α

và

( )β

có phương trình là:

A

( ) (2 ) (2 )2

x− + y− + −z =

B

( ) (2 ) (2 )2

x+ + y− + −z =

C

( ) (2 ) (2 )2

x+ + y+ + −z =

D

x+ + y+ + +z =

Giả sử tâm mặt cầu là

( ; ; )

I x y z

, do I cách đều hai mặt phẳng

( )α

và ( )β

Khi đó ta có

⇔ + − = −

Lại có I thuộc giao tuyến của

( )P

và

( )Q

nên tọa độ I là nghiệm của hệ

x y z



 + − = ⇔ = − = =



 + + =



Chọn B

Oxyz

, cho mặt cầu

( )S x: 2+y2+ −z2 2mx+2my−4mz+ =3 0

và

mặt phẳng

( )α :x+2y− + =4z 3 0

Với giá trị nào của m thì

( )α

tiếp xúc với

( )S

?

A

4 2

5

m=- Ú =m

B m=2

C m=3

D m= Ú =2 m 3

Mặt cầu có tâm

( ; ; 2 )

I m −m m

, bán kính

( )α

tiếp xúc với

( )S ⇔d I( ,( )α ) =r

2

Trang 3

( )

2 2

m

+ + −

2

3 9

21

2

5

m

−

= −





 =

 Chọn A

Oxyz

,cho mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2 : −3 + +2 + −1 =100

và mặt

phẳng

( )α : 2x−2y z− + =9 0

Tâm I của đường tròn giao tuyến của

( )S

và

( )α

nằm trên đường thẳng nào sau đây?

A

−

C

−

Lời giải

Mặt cầu

( ) có tâm (3; 2;1)

bán kính 10

−





H S

R

,

( )α

có VTPT

(2; 2; 1)

= − −

r

n

;

Ta có

( )α

⊥

IH

tại H

3 2

1 1

= +





 = −



¢

z t ⇒I(3 2 ; 2 2 ;1+ t − − t −t)

; Mặt khác

( )α 2 ( 1; 2;3)

; Chọn đáp án A

Oxyz

, cho mặt cầu

( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4 - 4 0y =

và đường

thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )

( ) :P x y+ =0, Q x: +2z=0

Viết phương trìnhmặt

phẳng

( )α

chứa dvà cắt

( )S

theo một đường tròn có bán kính là 2 2

Trang 4

x y z

C

x y z

D

x y z

Lời giải

Mặt cầu

( ) có tâm (1; 2;0)

bán kính 3

−





I S

R

;

Mặt phẳng

( )α

có dạng:

,m≠0

;

Ta có:

; ( ) :α 2 2 0

Chọn đáp án A

Oxyz

,cho đường thẳng

( ) ( )

= ∩

với

( )P x z: + − =1 0,( )Q y: − =2 0

và mặt phẳng

( )α :y z− =0

Viết phương trình

( )S

là mặt cầu có

tâm thuộc đường thẳng d, cách

( )α

một khoảng bằng 2 và cắt

( )α

theo đường tròn giao tuyến

có bán kính bằng 4,

(x I >0)

A

C

Lời giải

Gọi

( ) có tâm

bán kính







I S

R

;

Ta có

1 0

2 0

1

=

 + − =

x t

x z

y

;

Ta có

( ; 2;1 )

I d I t t

;

4

Trang 5

( )

2

;

( ) ( ) (2 )2 2

Oxyz

,cho mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2 : −1 + −3 + −2 =1

và hai mặt

phẳng

( )P x y z: − + − =1 0,( )Q x y z: + − − =3 0

Viết phương trìnhmặt phẳng

( )α

chứa giao

tuyến của hai mặt phẳng

( )P

và

( )Q

đồng thời tiếp xúc với

( )S

A x− =2 0

2 0

− − =

x y

2x y− + =1 0

x y

Lời giải

Mặt cầu

( ) có tâm (1;3; 2)

bán kính 1





I S

R

;

Mặt phẳng

( )α

chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P

và

( )Q

( ) : (α 1) ( 1) (1 ) 1 3 0

;

Mặt phẳng

( )α

tiếp xúc với

( )S

( 1).1 ( 1).3 (1 ).2 1 3

( 1) ( 1) (1 )

; ( ) :α 2 0

Oxyz

,cho mặt cầu

( )S x: 2 +y2 + −z2 2z m− 2 =0

và mặt phẳng

( )α : 3x+6y−2z− =2 0

Với giá trị nào của m thì

( )α

cắt

( )S

theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 2π

?

A

65 7

= ±

m

65 7

= −

m

65 7

=

m

Trang 6

Lời giải

Mặt cầu

( ) có tâm (0;0;1) 2

bán kính 1





= +



I S

Gọi

( )C

là đường tròn giao tuyếncủa

( )α

và

( )S

có bán kính r

Diện tích hình tròn

( )C

là 2π ⇒ =r 2

Ta có

Chọn đáp án A

Oxyz

,cho đường thẳng

1

2

= − +



 = −



 = − +



( )α :x−2y z− + =3 0, ( )β : 2x y+ −2z− =1 0

Viết phương trình mặt cầu

( )S

có tâm I là giao

điểm của d và

( )α

đồng thời

( )β

cắt

( )S

theo đường tròn có chu vi là 2π

A

2+ −2 + +1 =2

( ) (2 )2

2+ +1 + +1 =4

C

( ) (2 )2

2+ −1 + −1 =2

2+ +2 + +1 =9

Lời giải

Gọi

( ) có tâm

bán kính







I S

R

Ta có I là giao điểm của d và

( )α

, tọa độ điểm I thỏa

1 3 2

= − +



 = −



 = − +



 − − + =



x y z ⇒I(0; 2; 1)−

Gọi

( )C

là đường tròn giao tuyếncủa

( )β

và

( )S

có bán kính r

Chu vi đường tròn

( )C

là 2π ⇒ =r 1

Ta có

2 [ ;( )]β 1 1 2

6

Trang 7

( ) 2 ( ) (2 )2

Chọn đáp án A

Oxyz

,viết phương trìnhmặt cầu

( )S

có tâm thuộc mặt phẳng

(Oxy)

và đi qua ba điểm

(1; 2; 4 ,− ) (1; 3;1 ,− )

A

2+ 2+ +2 4 −2 − =21 0

C

2+ 2+ −2 4 +2 − =21 0

Lời giải

Ta có

( )S

là mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng

(Oxy) ( )⇒ S

có tâm

( ; ;0)

I a b

Suy ra

( )S

có dạng:

2+ 2+ −2 2 −2 + =0

x y z ax by c

Ta có

21 2;2;3

− ∈



c

⇒ S x +y + +z x− y− =

Chọn đáp án A

Oxyz

,viết phương trìnhmặt cầu

( )S

có tâm

(4; 2; 1− )

I

và tiếp xúc

với đường thẳng d:

A ( ) (2 ) (2 )2

C

Lời giải

Gọi

( )S

có bán kính R

Ta có d qua

(2; 1;1)−

A

, có VTCP

(2;1; 2)

=

uur

d u

Trang 8

( )S

tiếp xúc với đường thẳngd

( ; )  ;  4

uur uur uurd

d

IA u

R d I d

u

Chọn đáp án A

Oxyz

,cho mặt cầu

( )S :x2+y2+ −z2 2x−4y−6z=0

và đường

thẳngd:

1

2 2 0

= +



 = −



 =



z

Đường thẳng d cắt

( )S

tại hai điểm A, B Tính độ dài đoạn AB? A

2 5

5

3

2 3

Lời giải

Mặt cầu

( ) có tâm (1;2;3)

bán kính 14





=



I S

R

Đường thẳng d cắt

( )S

tại hai điểm

,

A B

, khi đó tọa độ điểm

,

A B

thỏa

1

2 2

0 4 (2;0;0), (0; 4;0) 2 5 0

= +



 = −

 + + − − − =



z

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho mặt phẳng

( )α :x y z+ + + =3 0

, gọi

( )C

là đường

tròn giao tuyến của mặt cầu

2+ 2+ −2 4 +6 +6 + =17 0

và mặt phẳng

x y z

Gọi

( )S

là mặt cầu có tâm I thuộc

( )α

và chứa

( )C

Phương trình của

( )S

là:

A

B

2+ 2+ +2 6 +10 +2 + =15 0

C

( ) (2 ) (2 )2

D

( ) (2 ) (2 )2

Lời giải

8

Trang 9

Câu 60: Vì mặt cầu

( )S

có tâm I thuộc mặt phẳng

( )α

nên tọa độ điểm I phải thỏa mãn phương trình

( )α

Lần lượt thử tọa độ tâm I vào 4 phương án, ta được

Phương án A: tâm

(3; 5; 1),− −

I

khi đó

( ) ( )

3+ − + − + = ⇒5 1 3 0

chọn

Phương án B: tâm

( 3; 5; 1),− − −

I

khi đó

( ) ( ) ( )− + − + − + ≠ ⇒3 5 1 3 0

loại

Phương án C: tâm

( 3;5;1),−

I

khi đó

( )− + + + ≠ ⇒3 5 1 3 0

loại

Phương án D: tâm

(3; 5;1),−

I

khi đó

( )

3+ − + + ≠ ⇒5 1 3 0

loại

Chọn đáp án A

Oxyz

, phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và đi qua hai

điểm

(3;1;0 ,) (5;5;0)

là:

A

B

C

D

Lời giải

Lần lượt thế tọa độ điểm

,

A B

vào 4 phương án Chỉ có phương án A thỏa vì

3 10− + +1 0 =50

và

5 10− + +5 0 =50

Chọn đáp án A

Oxyz

, có hai mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

( )α : 2x+2y z+ + =3 0

tại điểm

(3;1;1)

M

và có bán kính R=3

Khoảng cách giữa hai tâm của hai mặt cầu đó là:

7

D 3

Trang 10

Lời giải

Vì hai mặt cầu

( )S1 (có tâm 1

I

) và

( )S2 (có tâm 2

I

) cùng tiếp xúc với mặt phẳng

( )α

tại điểm M

nên

1 =3,

I M I M2 =3

và

1, , 2

I M I

thẳng hàng (do

1 / / 2

I M I M

) nên

1 2 = 1 + 2 =6

I I I M I M

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho mặt cầu

( )S x: 2+y2+ +z2 2x−4y−6z+ =5 0

và mặt

phẳng

( )α : 2x y− −2z+ =1 0

Mặt phẳng

( )α

tiếp xúc với mặt cầu

( )S

tại điểm M có tọa độ là:

A

(1;1;1 )

B

(1;2;3 )

C

(3;3; 3 − )

D

(−2;1;0 )

Lời giải

Mặt phẳng

( )α

tiếp xúc với mặt cầu

( )S

tại điểm M ⇒

tọa độ M thỏa

( )α

và

( )S

Lần lượt thế tọa độ M ở 4 phương án vào

( )α

và

( )S

thì chỉ có phương án A thỏa vì 2.1 1 2.1 1 0− − + =

và

1 + + +1 1 2.1 4.1 6.1 5 0.− − + =

Chọn đáp án A

Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

1

− và hai điểm (2;1;0 ,)

A B(−2; 3; 2)

Viết phương trình mặt cầu đi qua , A B và có tâm I thuộc đường thẳng d

A ( ) (2 ) (2 )2

x+ + +y + −z =

B.( ) (2 ) (2 )2

x− + −y + +z =

C ( ) (2 ) (2 )2

x− + −y + +z =

D.( ) (2 ) (2 )2

x+ + +y + −z =

Lời giải

Phương trình tham số đường thẳng

2 :

1 2

y t

d

 = +

 =



 = −



10

Trang 11

Ta có:

(1 2 ; ; 2 ) ( ( 1 2 ; 1; 2 ) )

3 2 ; 3; 2 2

 = − + − −



∈ ⇒ + − ⇒ 

= + − − −



uur uur

Vì mặt cầu ( )S

đi qua hai điểm ,A B nên: R IA IB= = ⇔ IA2 =IB2

⇔ − + + − + − = + + − + − −

⇔ + = ⇔ = − ⇒ − − ⇒ = =

Phương trình mặt cầu ( )S cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2

x+ + +y + −z =

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho hai đường thẳng

( )d1 :

1 0 5

= +



 =



 = − +



y

và

( )d2 : 0

4 2 '

5 3 '

=



 = −



 = +



x

Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của

( )d1

và

( )d2 làm đường kính có phương trình là:

A

B

C

D

Lời giải

( )d1

có vtcp

1 = 1;0;1

ur

u

( )d2

có vtcp

2 = 0; 2;3 −

uur

u

( )1 (1 ;0; 5 )

( )2 (0;4 2 ';5 3 ')

( 1 , 4 2 ',10 3 ' )

uuur

Trang 12

là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

( )d1

và

( )d2

1

1 10 3 ' 0

2 4 2 ' 3 10 3 ' 0 3 13 ' 22 ' 1





uuur ur

AB u

Khi đó:

(4;0; 2 , − ) (0;6;2 )

Mặt cầu đường kính AB có tâm

(2;3;0)

I

và bán kính

17 2

R

có phương trình:

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho mặt cầu

: + + −2 +6 +2 + =8 0

và

đường thẳng (Δ):

4 4

1 3 1

= +



 = +



 = +



Mặt phẳng

( )α

chứa

( )∆

và tiếp xúc với

( )S

có phương trình là: A

2 0

− − − =

x y z

B

2 0

+ + − =

x y z

C

2x y z− − + =2 0

D

2x y z+ − =0

Lời giải

( )∆

có vtcp

(4;3;1 )

=

r

u

Vì mặt phẳng

( )α

chứa

( )∆ nên vectơ pháp tuyến

r

n

của

( )α

vuông góc với .

r

u

Tìm tích .

r r

n u

ở 4 phương án chỉ có phương án A là r rn u. =1.4 1.3 1.1 0.− − =

Chọn đáp án A

Oxyz

, mặt cầu tâm

(6;3; 4− )

I

tiếp xúc với trục Oxcó bán kính là:

5

Lời giải

12

Trang 13

Gọi H là điểm tiếp xúc của mặt cầu tâm I với trục Ox.

( ;0;0 )

∈ ⇒

⊥ ⇒uuurr= ⇒ − = ⇒ =

Vậy mặt cầu có bán kính bằng 6

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho đường thẳng

( )∆ :

1 3 2

= − +



 = −



 = − +



( )α :x−2y z− + =3 0,( )β : 2x y+ −2z− =1 0

Gọi

( )S

là mặt cầu có tâm I là giao điểm của

( )∆

và

( )α

đồng thời

( )β

cắt

( )S

theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 2π Phương trình của

( )S

là:

A

2+ −2 + +1 =2

B

2+ +2 + +1 =4

C

( ) (2 ) (2 )2

D

( ) (2 ) (2 )2

Lời giải

Tâm I là giao điểm của

( )∆

và

( )α

nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

0; 2; 1

I

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho mặt cầu

( )S x: 2+y2+z2- 2 - 2 - 2 -1 0x y z =

và mặt

phẳng

( )α :x+2y+2z+ =4 0

Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M thuộc

( )S

đến

( )α

là:

Trang 14

Lời giải

( )S

có tâm

(1;1;1 ,)

I

bán kính R=2.

Ta có

( )

( ; ) 1 2.1 2.1 4 3

1 4 4

+ +

d I

Suy ra

( )S

và

( )α

không có điểm chung

Khi đó để khoảng cách M thuộc

( )S

đến

( )α

là ngắn nhất thì M nằm trên đường thẳng d qua I và

vuông góc với

( )α

và khoảng cách đó bằng

( )

( ; α )− = − =3 2 1

Chọn đáp án A

Oxyz

, với giá trị nào của m thì phương trình

2+ 2+ −2 2 +2 −1 +4 +5 =0

là phương trình mặt cầu ?

A

5 1

2

< ∨ >

B

5 1

2

C m≥3

D Một đáp số khác

Lời giải Câu 70: Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi

2

<





 >



m

Chọn đáp án A

Oxyz

, cho

( )S

là mặt cầu tâm

(2;1; 1− )

I

và tiếp xúc với mặt phẳng

( )P : 2x−2y z− + =3 0

bán kính

( )S

là:

2 3

C

4 3

D

2 9

Lời giải

14

Trang 15

Câu 71:

( )

( ; ) 2.2 2.1 ( )1 3 2

4 4 1

+ +

R d I P

Chọn đáp án A

Oxyz

, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với

(1;0;0 ,)

A

(0;1;0 ,) (0;0;1 ,) (1;1;1)

có bán kính là:

A

3 2

3

D

3 4

Lời giải Câu 72: Gọi phương trình mặt cầu

( )S

ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

2+ 2+ −2 2 −2 −2 + =0

0

+ + − >

a b c d

Vì

(1;0;0 ,)

A B(0;1;0 ,) (C 0;0;1 ,) (D 1;1;1)

thuộc mặt cầu

( )S

nên ta có hệ phương trình:

1 2

1

2

0

 =



=

 =



a

c d

c

a b c d

d

     

=  ÷  ÷  ÷+ + =

     

R

Chọn đáp án A

Oxyz

, mặt cầu tâm

(−1; 2;0)

I

đường kính bằng 10 có phương trình là:

A

(x+1) + −(y 2) + =z 25

B

(x+1) + −(y 2) + =z 100

Trang 16

(x−1) + +(y 2) + =z 25

D

(x−1) + +(y 2) + =z 100

Lời giải Câu 73: Mặt cầu tâm

(−1;2;0)

I

đường kính bằng 10 nên có bán kính R=5

(x+1) + −(y 2) + =z 25

Chọn đáp án A

Oxyz

, mặt cầu

( )S

có tâm

(−1;2;1)

I

và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) :P x−2y−2z− =2 0

A

( ) (2 ) (2 )2

B

( ) (2 ) (2 )2

C

( ) (2 ) (2 )2

D

( ) (2 ) (2 )2

Lời giải Câu 74: Mặt cầu

( )S

có tâm

(−1; 2;1)

I

( ) :P x−2y−2z− =2 0

nên có bán kính

1 2.2 2.1 2

3

1 4 4

+ +

R

( ) (2 ) (2 )2

Chọn đáp án B

Oxyz

, cho mặt cầu tâm

(4; 2; 2− )

I

bán kính R tiếp xúc với mặt

phẳng

( )P :12x− − =5z 19 0

Bán kính R của mặt cầu bằng:

39 13

Lời giải Câu 75: Mặt cầu

( )S

có tâm

(−1; 2;1)

I

( )P :12x− − =5z 19 0

nên có bán kính

( )

( )2

2 2

12.4 5 2 19

3

+ + −

R

16

Trang 17

Chọn đáp án B.

Oxyz

, bán kính của mặt cầu tâm

(1;3;5)

I

và tiếp xúc với đường

thẳng

12

-x t

=



 =



 =



là :

7

D 7

Hướng dẫn giải:

0 0

0; 1; 2 ; 1; 1; 1

, 1; 4;3

1; 1; 1

M I a

M I

d I d

a a



= − −



uur uuuur uur uuuur

uur uur

Chọn A

Oxyz

, cho

(2;0;0 ,) (0; 2;0 ,) (0;0;2 ,) (2;2; 2)

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

3

C

3 2

D

2 3

Giả sử mặt cầu có dạng:

( )S x: 2+ + +y2 z2 2ax+2by+2cz d+ =0 ( )*

Thay

(2;0;0 ,) (0;2;0 ,) (0;0; 2 ,) (2; 2; 2)

vào

( )*

ta được:

Vậy

Chọn B

Trang 18

Oxyz

, cho mặt phẳng

( )α : 4x+3y−12z+ =10 0

và mặt cầu

S x +y + −z x− y− z− =

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

( )S

và song song với

( )α

có phương trình là:

A

4x+3y−12z+78 0=

B

4x+3y−12z−26 0=

C



 + − + =



D



 + − − =



Gọi

( )β

là mặt phẳng cần tìm Phương trình

( )β

là:

( )β : 4x+3y−12z d+ =0

( )S x: 2+y2+ −z2 2x−4y−6z− = ⇒2 0 I(1;2;3 ;) R=4

( )

( ) ( )

1

2

78 4.1 3.2 12.3 26

26 13

169 : 4 3 12 78 0 : 4 3 12 26 0

d

β β β

=





Chọn D

Oxyz

, bán kính của mặt cầu tâm

(3;3; 4)

và tiếp xúc với trục

Oy

bằng:

5

D

5 2

Gọi I′

là hình chiếu của I lên

Oy

(0;3;0)

R II′

⇒ = uur = + − =

Chọn A

Oxyz

, cho bốn điểm

(1;1;1 ,) (1;2;1 ,) (1;1; 2 ,)

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có toạ độ là:

A

3 3 3

; ;

2 2 2

−

B

3 3 3

; ;

2 2 2

C

(3;3;3)

D

(3; 3;3− )

18

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	0,91 MB
File đính kèm	mặt cầu tronmg không gian.rar (734 KB)