Sau khi chúng ta đã được học giới hạn và khái niệm đạo hàm chúng ta có một công cụ đạo hàm để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số.. Định lý 2: Như vậy từ định lý trên để xét tính
Trang 1TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
A LÝ THUYẾT
I Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên
Việc xét tính đồng biến, nghịch biến ở các lớp dưới 9, 10,11 ta đi xét tỷ số
Ta biết khi hàm số đồng biến ( nghịch biến)
Sau khi chúng ta đã được học giới hạn và khái niệm đạo hàm chúng ta có một công cụ đạo hàm
để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số Mỗi liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm được thể hiện bới định lý
II Định lý:
Định lý 1:
*Nếu ( dấu xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm đồng biến trên
* Nếu ( dấu xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm nghịch biến trên
* Nhận xét
+ Các hàm số đa th c, ph n th c và hàm số ch a căn mà ta xét thư ng ch bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta ch quan t m đến dấu của đạo hàm là chủ yếu
+ Các hàm số lượng giác tu n hoàn nên ch c n xét dấu đạo hàm trên một chu kì
Định lý 2:
Như vậy từ định lý trên để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên ta thư ng đi xét dấu của trên
III Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp giải: Ta thư ng thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
Bước 3: Giải phương trình , hoặc tìm các giá trị mà hàm số không có đạo hàm tại
Bước 3: Sắp xếp các giá trị theo th tự tăng d n Sau đó lập bảng biến thiên
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Trang 3Dạng 2: Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Bài toán 1: Ch ng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên
Phương pháp:
*Để ch ng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên là đi ch ng
minh
* Ta xét dấu của , hoặc lập BBT để kết luận điều c n ch ng minh
Ví dụ : Ch ng minh
trị
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên
Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên
Phương pháp:
Hàm số đồng biến ( nghịch biến)
Vấn đề của chúng ta b y gi là tìm cách giải vài toán (*)
* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thư ng đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó Thông thư ng có thể vận dụng điều kiện tam
th c bậc hai để giải quyết Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam th c bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trư ng hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau
* Để giải quyết bài toán (*) ta thư ng đi theo hai hướng
Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận
Hướng 2: Đưa về tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu
Ví dụ 1:
thi thử ĐH-Năm 2012)
Giải:
TXĐ
Như ta đã biết, hàm số đồng biến trên khoảng trên
Như vậy yêu c u của bài toán đưa về bài toán
tìm để
Bài toán này có hai cách giải thư ng dùng như sau
Cách 1: Cô lập và khảo sát hàm số
Ta có
Xét
Trang 4Cách 2: Sử dụng dấu tam th c bậc 2
trên
Giải:
TXĐ
Hàm số đồng biến trên
Ta dễ thấy trong bài toán này không thể cô lập được nên không thể dùng cách 1 để giải quyết bài toán này được, do đó ta phải dùng cách 2
Do đó Hàm số đồng biến trên
Vậy là các giá trị c n tìm
trên
Giải:
TXĐ
Ta có
Hàm số nghịch biến trên
Ta thấy chưa là tam th c bậc hai nên ta phải xét hai trư ng hợp
TH2: , khi đó là tam th c bậc 2 nên nàm số nghịch biến
trên
Trang 5Vậy là các giá trị c n tìm
* Từ các ví dụ trên ta c n lưu ý một số điểm sau
-Nếu trong ch ch a tham số bậc nhất khi đó ta sẽ cô lập được nên có thể dùng cách 1
để giải
_Nếu không cô lập được và dấu của là dấu của một tam th c bậc hai có ch a tham số thì chúng ta thư ng dùng cách 2 để giải
-
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 3: Ch ng minh
Phương pháp:
Ch ng minh
Ta lập bảng biến thiên ( hoặc xét dấu của để kết luận
Ví dụ 1:
Ch ng minh rằng
Giải:
Xét hàm số
Vậy đồng biến trên nửa khoảng
Do đó
( ĐPCM)
Kiến thức bổ sung:
* Hàm số đồng biến trên thì
Trang 7
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
trên
4 Ch ng minh rằng
5 Ch ng minh rằng