CHUYEN DE TICH PHAN

Sau đó dùng đồng nhất thức... Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng... 2 Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau.. Cho hàm số f x liên

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :

1 1

x x

dx a

1 1

2 2

 x2 a dx x x2 a alnx x2 a C

2 2

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  a; b có nguyên hàm là F (x)

Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn   ,  và có miền giá trị là  a; b

1

x x

e

dx e

e

x

dx x I

1 3

ln 1

Bài làm :

a) Đặt

2 2

1

xdx xdx

dt x

1 0

t x

t x

2

1 ln 2

1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 2

xdx I

b) Đặt te x 1  dte x dx

1 1

2

e t x

e t x

1

1 1 1

1 1

0

2

2 2

dx e I

e

e e

e x

x

x tdt x

t e x

t x

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : 



nxdx mx

cos sin

1

1 cos 1

2 sin

2 tan

t

t x t

t x x



dx x d x c

x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

Đặt :

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin



dx n x d x c

m x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

) 1 2 2 ( 3

2 3

2 ln

1 2

1

2 3 1

x

dx x

I

e

Đặt :

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

0

4 1

) 1 (sin

1 0

t x

t x



Vậy :

24

7 3

1 )

1 (sin

1 3 2

1 4 2

0 0

t x

t x

2 5

2 1

1 cos

1

0

1 0 3 5

1 0

1 0

2 4 2

2 2

0

5 2

dt t t dt

t xdx

0 0

t x

t x



Vậy :

4 15

13 3

5

1

1 1 1

tan

4 0 1 0

3 5

1 0

1 0

2 2

4 2

6 4

0

6 3

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

Tính các tích phân sau :

0

2 2 2 2

1

cos sin

.

cos sin



dx x b

x a

x x

0

2

2 cos 2 cos



dx x

2

0

b t x

a t x



b a a b

b a t

a b

t

dt a b

dx x b x a

x x I

2

1 cos

sin

cos sin

2 2 2

2

2 0

2 2 2

2 1

xdx a

a

xdx x

dx x b

x a

x x I

2

1 2

cos 4

1 2

sin 2

1

cos sin cos

sin

.

cos sin

2 0

2 0

2 0 2

0

2 2 2 2 1

0 0

t x

t x

0

2 3

0

2

2

3 2

1 2

3 2

cos 2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I



2

3 cos

3

2 0





u t

u t

Vậy :

 

2 4 2

1 2

1

cos 1 2 3

sin 2 3 2

1 2

3 2 1

2 4

4

4

2 4

2

2 3

u

udu

t

dt I

4

1



dx x x

0 2

5 cos 3 sin 4

6 cos 7 sin



dx x x

x x

2

tan 2

dx

x dt

x t

0 0

t x

t x



6

1 2 1

1 5

1

1 3 1

2 4

1 2

1 0

1 0

2 1

0

2 2 2

2 1

t

t t

t

t I

b)Đặt :

5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 5

cos 3 sin

4

6 cos 7 sin

C x

x

x x

B A x

x

x x

9 ln 2 5

cos 3 sin 4 ln

5 cos 3 sin 4

1 5

cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 1 5

cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

1 2 0

2 0 2

x x

dx x

x x

x

x x

dx x x

x x

0 3

2 sin



x dx I

c) 2 

0

3 3

1 cos

sin

4



dx x

x

0 5

3 cos 2 sin

1



dx x x

0 6

3 cos 2 sin

1 cos sin



dx x x

x x

1

với  a,n CN 0 , 1 ta có :

a x

, , , ,

2

ac b

R c b a

dx b

a a

dx c bx ax

b ax a

dx c bx ax

b

a b ax a

I

2 2

2

2 2

2 2

2 2

n n

n

t

dt a

a dx

c bx ax

dx I

2

1 2

4

x P I

b x b x

b

a x a x

a x

Q

x

P

n n

m m

x Q

x R x A x Q

x P

n

r n

m n

n n

x m

a x

A a

x

A a

x

A a

i n

i

i i

m

a x

A a

x

x P

1 1

2

) )(

)(

D c

x

C b x

B a x

A c

x b x a x

*Qt 2':  

n n n

n n

n m

c bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

x P

1 1

2 1 1

i i n

m t

c bx ax

B x A x

A c

bx ax x

x P

A c

bx ax x

1 1 2

2

c bx ax

C x B c

bx ax

C x B x

A c

bx ax x

2 2

0 1

1 2

1 2

dx x

2 2

1

0

2 2

2

2 1

2 2

1 1

1 2

2 ln 1 ln 2 2

1 1 1

Tính các tích phân sau :

0

2 4

2 1

2 4

dx x

a x

dx

x x

x x

dx x

1 0

2 2

2 2 1

1 2

1 3 1 3

3

2 3

arctan 3

1 arctan

b) Đặt :         2  1 

2 2

1 2

1 2

2 4

2 2

A C C B x B A x x

C Bx x

A x

0 2

4 2

0

C B A

A C

C B

B A

2 2

2

1

2 2

2 2

1

2 4

dx x

x x

dx x

x

x

5 2 2 2

2 4 3

B x

A x

x

x

b)

3 1

3 2

1

2      x

B x

A x

4 1

x

x x

x

x

d)

2 2

1 1

2

3 2

D x

C x

B x

A x

x x

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

BÀI TẬP

1 0

1 0

1 0

t x

t x

0 1

1 0 1

0

1 1

x f

t

t x

a

t f a dt a

t f dx a

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

x f dx a

x f a dx a

x f

x x

t x

sin

f x

dx x f dx x f x

0 0

sin 2

sin

sin sin

2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau

Nếu hàm số f x liên tục trên  a, b và fabx   f x Thì ta luôn có :

b

a

dx x f b a dx x f

x



0

2

Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T

a

T

dx x f dx x f

T T

a

T a

x

f

0 0

T

dx x f dx x f

0

Xét a f x dx

0

T t

T

dt t f dt T t

0

(đpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T, thì ta luôn

0

2 2

2 2

cos 4

9

sin

.

dx x

x x

0

2 4

cos 1

sin

dx x

x x

sin





dx x x

2 2 6

1

sin

dx x

x x

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u lnxhay u loga x

e

xdx I

1

3 ln

e v dx

e dv

dx du x

u

0 1

0

1 0 1

xdx dv

xdx du

x u

sin cos

2

2

4 sin

2 cos

.

2 0 2

0

2 2

0 1

xdx x

x x dx e x

Ta đi tính tích phân 2

0

sin



xdx x

xdx dv

dx du x

u

cos sin

0 2

0 2

0

2 0 2

x xdx x

Thế vào (1) ta được :

4

8

2 1

0 1

dv

dx x du x

1 1 1

e e e

x x x dx x

x xdx I

cos



dx x

xdx dv

dx e du e

cos sin

0 0 0

1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1

xdx dv

dx e du e

sin cos

Vậy : J e x xdxe x x e x xdx I

0 0 0

sin sin

cos

.

Thế vào (1) ta được :

2

1 1

I e

dx x dv

dx du x

u

tan cos

ln 4 tan

tan cos

4 0 4

0

4 0 4

x x dx x

x I

dv

dx x x

du x

e e e

dv

dx x x

du x

1 1 1

3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I

I

e e e

1

e

dx x x

1 0

e

dx x I

0

7

cos 1

sin 1



dx e x

Muốn tính       

b

a

dx x g x f

a

dx x g x f

2 4

2 2

1 4

1

2 2

2 2

1 2 2

0 2 2

2 3 2

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx a x x

I a

Nếu 0 a 1

4 3

3 3

3

2 1

3 2 1

0

3 2

0

2 2 3

1 3 2 3

2

3 2 1

3 2 0

3 2

a a x

ax x

1 0

2 3 2

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx

a x x

, 1

1 2 0

3 2

1 1

0 2 2

2 ,

max

3 1

3 1 0

2 3

1 2 1

0 3

3 0



dx x x

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

a c bx ax

a

R

b ax t

1 ,

a c bx ax a

x ax bx cdx St t dt

R

b ax t

1 ,

4 0

a c bx ax a

R

b ax t

1 ,

bx ax x

2 2

a t

x a c

bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

7

4x

x

dx I

2

3 7

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

3

3 2

2

cos 3

1 1 tan 3 3

1 tan 3

C x

x

x C

t

t C

2 3

1 1

3

1 sin

3

1

2 2

Tính : a)   

1

2

x x

xdx

1 2

2

x x x

dx I

2 2

1

1 3 2

1

4

3 2

1

t

dt t

t

x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

x

C t

t t

dt t

t I

1 ln 2

1 1

1 ln

2

1 1 2

3 1

1 3

2

1

2 2

2 2

x   

t t

dt x

2 1

2

C

x C

1 1

2 3 5

1 1 6

6 1

dt t x

x

dx I

C x

x x

x

C t

t t t

6 1

3 1

2

1 ln 6 6 3 2

6 6

3

2 3

x dx

x

x x x

2

1 2

1 1

1 1

2 1

 1 1

2

1 2

1

dx x

x x

t dx

t

x x

x

2 2

1

2 1

1 1

Vậy :

dt t dx

x

x

x

x t

1 2

t x t

x

2 2

2

2

9 2

x x x

x

C t

t

t dt

t t t

dt t

t dt

t

t t

t t

t I

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2 2 1

9 4

6561 9

ln 162 4

9 16

1

4

6561 ln

162 4 16

1 6561

162 16

1

81 16

1 4

9 2

9

2 9

t

t dx t

t x t

x

2 2

2

2

4 2

x x x

x

C t

t

t dt t t

t

dt t

t dt

t

t t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2 2

4

64 4

ln 36 4

4

64 ln 36 4

256 36

16 4

4 2

4

2

4 16

2 1

dx x

x

I

Đặt : x t dx costdt

2

1 sin

0 2

1



t x

t x

0 2

0 2

1 2

cos 1 8

1 cos

2 3

t x

t x

2 2 8

3

2

1

2 1

2

dt t

t

tdt dx

x x

dx I

4

x

dx I

d)I4  1 x2dx d)    

dx x

x I

1 1

1 1

1

2 6

1 ln 1

1 ln

3 2

2 1

1 1

1 1

1

0

1 0

1

1

2 2 2

x

x x

f

x

x x

1 1

f f

Vậy :

 

2

1 1 5

2

2

1 1 5

2

2 , 1 2

1 1 5

2

2 1 2

2 1 2

1 2 2

1 2

x

dx dx

x

x dx

x x

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

 0 , 1 2

1 1 1 1 1

1 x x  2  2 x x  x

1 0

Chứng minh rằng :

e

dx x

x

e x

12 1

sin

3 1 2







 

Bài làm :

 

e e x

1 2

1

1 1

sin

dx x

e

dx x

4 1





t x

t x

x

c)

8

2 4

6

3 6

3 2

0

2 1

0

.g x dx f x dx g x dx x

b x x

2)Tính thể tích :

1 1

x

e x

Nếu diện tích S x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên tục trên đoạn  a, b thì thể tích vật thể được tính :

 x dx f V

y

b x a

i

i i

i i x

i i

x x

n

i f n

1

n

i f n

n

i n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường tròn có dạng :

2 2 2

2 2

x R y

R y



t R x

t x



t R x

t x

Vậy :

dvdt

R t

x R

dt t R

tdt R t R

S

2 2 0 2

2 0 2 2

0

2 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 cos sin

A(1,4) và hệ số góc là k Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất

4 2

3 4

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

2

2 3 2

2

1 2

x k x

x x x x

x

x k x

k x dx x x

k S

4

4

2 1 2

2 1 2 2 1 2

1 2

1 2

k k x x x

x x

x

k x x

k x x

Thế vào  * ta được :

 4 16

16 4 6

1

4 2

1 4 4 3

1 16 4

2 2

2 2

k k

k k k

Vậy : minS  4 3 khi k  2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

x ay

y ax

2

a

x ay

a y x y x

n a x

a

x ay

y

x

0 0

n a x

a

x ay

a ax x

a

x ay

a y

x

0 0

2

Ta lại có :

2 2

2

a a

x y

ax y

a

x ay

y ax

Vậy diện tích cần tính là :

 dvtt a

a

x x a

dx a

x x a dx

a

x ax S

a

a a

2 0

3 2 3

0

2 2 1 0

2

3

1 3

0 1

2

y

x y

x y

y x

1

2 2 2 2

b a b

y a

x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

5 5

5 5

3 2 1

5 5

5 5

.

1

3 2

n n

0 x0x1x2 x n1x n  và chiều dài phân hoạch

n x x

x x

n

i n

i

i i i

6

1 lim

lim

1 0

S

n n l

n

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

n n n

n n

1 1 1

1 3

1 1 2

1 1 1

n n

Ta lập phân hoạch đều trên  0 , 1 với các điểm chia :

1

0 x0x1x2 x n1x n  và chiều dài phân hoạch

n x x

l  i  i1  1

1 lim

1 1

1

n

i n f

x x

n

i n

i

i i i

2 ln 1 ln 1 lim

0 1

0 0

S

n n l

n