GIỚI HẠN DÃY SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐhttp://e-learning.hcmut.edu.vn/... Các phép toán trên dãy hội tụlim , lim... GIỚI HẠN KẸP... TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ,Dãy giảm & bị chặn

GIỚI HẠN DÃY SỐhttp://e-learning.hcmut.edu.vn/

Dãy đơn điệu

{xn} là dãy tăng ⇔ xn ≤ xn+1, với mọi n đủ lớn{xn} là dãy giảm ⇔ xn ≥ xn+1, với mọi n đủ lớn

Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.

Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng

(giảm) ngặt

1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”)

2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”)

(dùng cho dãy số dương)

3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn

Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:

1

1 1

Dãy bị chặn

{xn} là dãy bị chặn trên ⇔ ∃M : xn ≤ M, ∀ n ≥ N0{xn} là dãy bị chặn dưới ⇔ ∃m : xn ≥ m, ∀ n ≥ N0{xn} bị chặn ⇔ {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới

VD: Xét tính bị chặn của các dãy

b

{ }2

1 /

a

n

•Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞

{ }x n = { x x x x x x x x1 , , , , , , , , , , 2 3 4 5 6 7 8 L x n L}

DÃY CON

Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này

1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta được 1 dãy con của {xn}

VD:

{x2n – 1{x2n} }

{x2n-1} = {x1, x3, x5, …}

{x2n} = {x2, x4, x6, …}

1 1

Các phép toán trên dãy hội tụ

lim , lim

SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CON

lim xn = a ⇔ Mọi dãy con của { xn} đều → a

Dãy { xn} phân kỳ ⇔ ∃∃ 1 dãy con phân kỳ 2 dãy con co ùlim nhau≠

x

Hệ quả:

GIỚI HẠN KẸP

Dãy phân kỳ ra vô cùng

Giới hạn = ± ∞ : không thể xét | xn – a | !

Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ:

Không có giới

hạn Phân kỳ ra vô cùng

Các phép toán trên dãy phân kỳ ra ∞

0

lim 0

0( 0),

n n

GIỚI HẠN CƠ BẢN

n n

n n

α α

α α

a

a n

→∞ = ∀ >

ln

5 / lim 0, 0

p n

n

→∞ = ∀ >

lnp n = nα = a n

Ví dụ

n n n n n

×

×

K K

TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS

Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ,Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ

VD: 1/ Chứng minh tồn tại giới hạn sau:

2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số:

2

n n

x

1

0 2

SOÁ e

1 1

n n

n n

1 1

n k k

!

n

k= k

< + ∑

PHÁ DẠNG VÔ ĐỊNH 1 ∞

n

a n

n n

4

lim 1

4 Biến đổi