bài gỉang toán cao cấp

Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính 1.. Phép biểu diễn tuyến tính... Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính1.. Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính.. Xét sự phụ thuộc – độc

Các nội dung chính

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn

tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập

tuyến tính.

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

của một hệ vectơ.

3 Một số ví dụ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn

tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính:

Trong cho m véc tơ , , … , (∗)

Lấy m số thực bất kỳ , , … , và lập

Định nghĩa: Mỗi tổng (1) được gọi là một

tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ ( ∗) Các

số , , , gọi là các hệ số của tổ

hợp tuyến tính đó

Nhận xét:

+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của

cùng một hệ véc tơ , , … , là một

tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó:

+ Tích của một tổ hợp tuyến tính bất kỳ

của hệ véc tơ , , … , với một số

bất kỳ là một tổ hợp tuyến tính của hệ

véc tơ đó:

Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ n chiều , , … ,

cho trước:

là không gian véc tơ con của không gian

.

Hãy chứng minh định lý trên

2.Phép biểu diễn tuyến tính

Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ , , … ,

nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này.

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến

tính qua hệ vectơ , , … , nếu tồn

tại bộ m số , , , sao cho:

Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y,

tức là: tồn tại số sao cho: = thì ta nói X, Y tỷ lệ

Ví dụ 1: Cho các vectơ

= , −

= , = ,

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ

Ví dụ 2: Cho các vectơ

= , − , ,

= , − , ,

= − , , ,

= − , , ,

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ

vectơ , , hay không?

= , − , ,

= , − , ,

= − , , ,

= − , , ,

Trả lời: ????? Không

Nhận xét: Vectơ 0 luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều:

Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua

0  0.X  0.X    0.X

Biểu diễn tầm thường

Trả lời:

Thay số ta được:

          

Đây thực chất là hệ phương trình tuyến tính m ẩn số: , , … , với ma trận mở

A





Các véc tơ được xếp dạng cột

Thường giải hệ này bằng phương pháp Gauss:

+ Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính được qua , , … ,

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu

+ Nếu hệ có vô số nghiệm thì X biểu diễn tuyến tính được qua , , … ,

bằng vô số cách.

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ

X = (2, 1, –1) qua hệ véc tơ:

Giải:

1

2

3

X 1,3, 2

X 2,5,1

X 3,7,5













Thay số ta được

Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ

Với giá trị nào của k thì véc tơ

X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ đã cho ?

1 2 3

X 1, 2, 3, 0

X 2, 3, 1, 5

X 3, 4, 3, 2



  





 



Giải: Giả sử ta có:

Thay số ta được:

1 1 2 2 3 3