véc tơ trong không gian

Chương IIIVéctơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian I/Định nghĩa và các phép toán về vec tơ trong không gian: không cùng nằm trong một mặt phẳng B A D , , AB AC AD uu

Chương III

Véctơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian

I/Định nghĩa và các phép toán về vec tơ trong không gian:

không cùng nằm trong một mặt phẳng

B

A

D

, ,

AB AC AD

uuur uuur uuur

(Tương tự như trong mặt phẳng)

HĐ1: a/Cho tứ diện ABCD kể tên các vectơ có điểm

đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện

b/Chứng minh: AC + BD = AD + BC

B i 1 Vect trong không gian à ơ

c/Gäi M, N lµ trung ®iÓm AD, BC

A

B

C

D

. M

.

N

Chøng minh MN = 1/2(AB + DC)

Ta cã: MN = MA + AB + BN

MN = MD + DC + CN 2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN 2MN = AB + DC

G

d/Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD

Chøng minh: AB + AC + AD = 3AG

(SGK/87)

HĐ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ AB

C

D'

D

C'

A'

A

B'

B

AB = A’B’ = DC = D’C’

b) C/m đẳng thức: AB + AD + AA’= AC’ (1)

Ta có AB + AD + AA’ =

AC + AA’ = AC’

Tương tự, ta cũng chứng minh được: DA + DC + DD’ = DB’ ,

II/Điều kiện đồng phẳng của 3 vec tơ:

1/Định nghĩa:

-3 vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng

-Cho 3 vectơ a, b, c

+N u a, b, c cùng thuộc mp(P)ế

+Nếu 1 trong 3 vectơ thuộc mp (P), 2 vectơ còn lại song song với mp(P)

(hoặc 2 vectơ thuộc mp(P), vectơ còn lại song song với mp(P)) thì 3 vectơ đó đồng phẳng

thì 3 vectơ đó đồng phẳng

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AB, CD

Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng

N

M

D

C B

A

P

Q

HD: Gọi P, Q là trung điểm của AC, BD

Yêu cầu:

-Chứng minh MPNQ là hình bình

hành, suy ra MN thuộc mp(MPNQ)

-Chứng minh BC và AD song

song với mp(MPNQ)

2/Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:

a/Định lý 1:

a , b , c đồng phẳng ⇔ có cặp số m, n sao cho c = ma + nb

(trong đó a và b không cùng phương; m, n duy nhất)

M B

A

Ta có: MN = 1/2(BC + AD)

⇒ MN = 1/2BC + 1/2AD

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AB, CD

Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng

Ghi chú: Nếu có c = ma + nb thì ta nói vectơ c biểu thị được

qua hai vectơ a và b

(Nghĩa là luôn tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực m, n, p sao cho

x = ma + nb + pc )

b/ Định lý 2 (biểu thị 1 vectơ qua 3 vectơ không đồng phẳng):

Nếu a , b , c không đồng phẳng thì với mọi vectơ x ta luôn biểu thị

được vectơ x qua 3 vectơ a , b , c

Ví dụ: Cho AB = a , AD = b , AE = c Gọi I là trung điểm BG Hãy biểu thị AI qua a , b, c

A

D F

G

.

I

⇒ AI = 1/2(AB + AG)

(Tức là phải tìm một bộ 3 số thực

m, n, p để AI = ma + nb + pc )

Ta có AB + AG = 2AI

Các kiến thức cần nắm:

1) Vectơ trong không gian có các quan hệ và

phép toán như trong mặt phẳng

2) Ba vectơ đồng phẳng là 3 vectơ có giá cùng

song song với một mặt phẳng; điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

3) Nắm đựoc quy tắc hình hộp,

Bài tập: 2, 3, 4 SGK trang 91