dấu của tam thức bậc 2

I/ ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC

BẬC HAI

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)= ax2 + bx + c, trong đó a,b,c là những hệ

số ,a ≠ 0

1.Tam thức bậc hai:

Ví dụ: cho tam thức bậc hai

f(x)= x2 – 5x + 4 Tính f(4), f(2), f(1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng

Giải:

f(4) = 0 ; f(2) = 2 > 0 ; f(1) = 0 ; f(0) = 4 > 0

Quan sát đồ thị và chỉ ra các khoảng mà đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành

Đồ thị nằm phía trên trục hoành

khi x ∈ (- ∞; 1) và (4; + ∞ )

Đồ thị nằm phía dưới trục hoành

y

5/2 4

2.Dấu của tam thức bậc hai:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (a≠ 0), ∆ =b2 – 4ac

Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, ∀x Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ

khi x = - b/2a

Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x <

x1 hoặc x > x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x <

x2 trong đó x1 ,x2 là hai nghiệm của f(x)

Định lí:

3 Áp dụng

Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 3x –

5

Giải

∆= 32 – 4.(-1)(-5) = - 11 < 0

a = - 1 < 0

⇒ f(x) < 0 ,∀x

Xét dấu tam thức f(x) = 2x2 – 5x + 2

Giải

f(x) có hai nghiệm x1 = ½ ; x2 = 2

a = 2 > 0

x -∞ ½ 2 +∞

Hđộng 2

Xét dấu tam thức f(x) = 3x2 + 2x – 5

Giải:

f(x) có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = - 5/3

Bảng xét dấu

x - ∞ - 5/3 1 +∞ f(x) + 0 _ 0 +

Hđộng 2

Xét dấu tam thức f(x) = 9x2 – 24x + 16

Giải:

f(x) có ∆ = 0

a = 9 > 0

⇒ f(x) > 0, ∀x ≠ 4/3

Xét dấu biểu thức

4

1

2 )

2

−

−

−

=

x

x

x x

f

Nghiệm của 2x2 – x – 1 là x1 = 1, x2 = - ½

Nghiệm của x2 – 4 là x3 = 2, x4 = - 2

Bảng xét dấu

x -∞ -2 -1/2 1 2 + ∞

2x 2 – x – 1 + + 0 - 0 + +

x 2 – 4 + 0 - - - 0 + f(x) + - 0 + 0 - +

II/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:

Giải bpt bậc hai ax2 + bx + c < 0 là tìm các khoảng

1.Bất phương trình bậc hai:

ĐN:

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0,

ax2 + bx + c > 0 ,…),trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a ≠ 0

2.Giải bất phương trình bậc hai:

Hđộng 3 Trong các khoảng nào

f(x) = - 2x2

+3x + 5

trái dấu

với hệ số

của x2

a = - 2 < 0 Nghiệm của f(x) là – 1 và 5/2 f(x) > 0 , ∀x ∈ (- 1; 5/2)

f(x) = -3x2

+ 7x – 4

cùng dấu

với hệ số

của x2 a = - 3 < 0

Nghiệm của f(x) là 1 và 4/3 f(x) < 0 , ∀x ∈ (-∞; 1) ∪ (4/3; +∞)