bất đẳng thức

II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂNBẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 1.. Bất đẳng thức Cô-si Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của ch

BÀI 1

Chứng minh rằng:

x3 + y3 ≥ x2y +xy2 , ∀ x,y ≥ 0

Giải:

Ta có: x3 – x2y +y3 – xy2

= x2(x – y) + y2(y – x) = (x – y)(x2 – y2)

= (x – y)(x – y)(x + y) = (x – y)2 (x + y) ≥ 0 , ∀ x,y ≥ 0

II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH

CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN(BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1 Bất đẳng thức Cô-si

Định lí:

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ

hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b

0 ,

,

+

≤ a b a b ab

2

b a

ab = +

Chứng minh:

2

2 2

) (

2 2

ab b

a b

a ab

b

a

ab − + = − + = − + −

0 2

)

≤

−

−

2

b

a

ab ≤ +

⇒

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tức là a = b

0 )

( a − b 2 =

Ví dụ 1:

0 ,

0 ,

6 3

3

3 3 2

3

3

≥

≥

∀

≥ +

≥

+

y x

xy y

x hay

y x

y x

2 1

1 2

1

≥ +

≥ +

x

x hay

x

x x

x

Ví dụ 2:

2 Các hệ quả:

Hệ quả 1:

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

0 ,

2

1

>

∀

≥

a a

Hệ quả 2:

Nếu x,y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

Ý nghĩa hình học

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất

1cm

cv = 16cm

S = 16cm2

Cv = 16cm

S = 15cm2

Tính chu vi và diện tích của mỗi hình sau Nhận xét?

Hệ quả 3:

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Ý nghĩa hình học

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

1

S = 16cm2 , cv = 16cm S = 16cm2 , cv = 20cm

Tính chu vi và diện tích của mỗi hình sau Nhận xét?

III BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ

TRỊ TUYỆT ĐỐI

Hđ6

Nhắc lại

định

nghĩa giá

trị tuyệt

đối ?







<

−

≥

=

0 ,

0

, x

x x

x x

Tính giá

trị tuyệt

đối của

các số

sau

a) 0 b) 1,25 c) – ¾ d) – π

Giải

π

−

=

−

=

=

4

3 4

3

25 ,

1 25

, 1

0 0

Tính chất:

a > 0

Nội dung Điều kiện

x x

x x

x ≥ 0 , ≥ , ≥ −

a x

a a

x ≤ ⇔ − ≤ ≤

a x

a

x ≥ ⇔ ≤ − hoặc x ≥ a

b a

b a

b

a − ≤ + ≤ +

Ví dụ:

[ − 2 ; 0 ]

∈

x Cho Chứng minh rằng: x + 1 ≤ 1

Giải:

[ − 2 ; 0 ] ⇒ − 2 ≤ ≤ 0

x

1 1

1 1

1

1 0

1 1

2

≤ +

⇒

≤ +

≤

−

⇒

+

≤ +

≤ +

−

⇒

x

x

x

CỦNG CỐ

1) Nhớ kĩ Bất đẳng thức Cô-si

0 ,

,

2

+

≤ a b hay a b ab a b ab

2) Nắm được các tính chất của bđt chứa dấu giá trị tuyệt đối

3) Về nhà làm các bài tập trang 79